Morse Lemma

Morses lemma er et udsagn, der beskriver opførselen af en glat eller analytisk reel funktion i et kvarter af et ikke-degenereret kritisk punkt . Et af de enkle, men vigtigste resultater af Morse-teorien ; opkaldt efter udvikleren af teorien, og som etablerede dette resultat i 1925, den amerikanske matematiker Marston Morse .

Ordlyd

Lade være en funktion af klassen , hvor , der har et punkt som dets ikke-degenererede kritiske punkt, det vil sige på dette tidspunkt forsvinder differentialet , og hessisk er ikke-nul. Så, i et eller andet område af punktet , eksisterer der et system af -glatte lokale koordinater (kort) med oprindelse i punktet , således at for al lighed [1] $f:\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R}$ $C^{r+2}$ $r\geq 1$ $0\i \mathbb{R} ^{n}$ $\frac{\partial f}{\partial x}$ ${\Bigl |}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2))}{\Bigr |}$ $U$ $0$ $C^{r}$ $(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})$ $0$ $x\i U$

f(x)=f(0)-x_{1}^{2}-\dots -x_{k}^{2}+x_{{k+1}}^{2}+\dots +x_{n }^{2}

I dette tilfælde kaldes det tal, der bestemmes af signaturen af den kvadratiske del af kimen i punktet , indekset for det kritiske punkt for den givne funktion - et specialtilfælde af det generelle begreb Morse-indekset . $k$ $f$ $0$ $0$

Variationer og generaliseringer

Toujrons sætning

I nærheden af et kritisk punkt med endelig multiplicitet er der et koordinatsystem, hvor en glat funktion har form af et gradspolynomium ( vi kan tage Taylor-polynomiet af funktionen i et punkt i de oprindelige koordinater). I tilfælde af et ikke-degenereret kritisk punkt bliver multipliciteten , og Toujrons sætning til Morses lemma [1] [2] . $0$ $\mu$ $f(x)$ $P_{{\mu +1}}(x)$ $\mu +1$ $P_{{\mu +1}}(x)$ $f(x)$ $0$ $\mu=1$

Morses lemma med parametre

Lade være en glat funktion, der har oprindelsen af koordinater som sit kritiske punkt, ikke-degenereret i variablerne . Derefter, i et område af punktet , er der glatte koordinater, hvori $f(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots,y_{m}):\mathbb{R} ^{{n+m}}\to \mathbb{R}$ $0$ $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $0$

f(x,y)=\alpha _{1}x_{1}^{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}^{2}\,+\,f_{0}(y_ {1},\ldots ,y_{m}),\quad \alpha _{i}=\pm 1,

hvor er nogle glatte funktioner. Denne erklæring giver os mulighed for at reducere undersøgelsen af en singularitet (kritisk punkt) af en funktion af variable til undersøgelsen af en singularitet af en funktion af et mindre antal variabler (nemlig fra antallet af variable, der er lig med corranken af hessiske af den oprindelige funktion) [1] . $f_0$ $n+m$

Beviset for dette udsagn kan udføres ved induktion på n ved hjælp af Hadamards lemma eller på anden måde [1] .

Om beviser

Normalt bevist ved direkte konstruktion af en diffeomorfisme [3] . Et mere konceptuelt bevis bruger Mosers trick [4] .

Noter

↑ 1 2 3 4 Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singulariteter af differentiable kortlægninger.
↑ A. M. Samoilenko, Om ækvivalensen af en glat funktion til et Taylor-polynomium i et kvarter af et kritisk punkt af endelig type, Funkts. analyse og dens anvendelser, 2:4 (1968), s. 63-69.
↑ Milnor, J. Morse Theory / Per. fra engelsk. V. I. Arnold . - 1965. - 184 s.
↑ Palais, Richard S. "The Morse lemma for Banach spaces." Bulletin of the American Mathematical Society 75.5 (1969): 968-971.

Litteratur

Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singulariteter af differentiable kortlægninger. — M. : MTsNMO , 2009. — 672 s. - ISBN 978-5-94057-456-9 .

Darinsky B. M., Sapronov Yu .

Zorich V. A. Matematisk analyse.

Milnor, J. Morse Teori / Per. fra engelsk. V. I. Arnold . - 1965. - 184 s.

Milnor, J. Morse Teori / Per. fra engelsk. V. I. Arnold . - 1965. - 184 s.

Hirsch M. Differentiel topologi / Pr. fra engelsk. D.B. Fuks .. - M . : Mir, 1979. - 279 s.

Takens F. En note om jetflys tilstrækkelighed. — Inventiones Mathematicae, bd. 13, nr. 3, 1971, s. 225-231.

Pavlova N.G., Remizov A.O. En introduktion til singularitetsteori . - M. : MIPT, 2022. - 181 s. - ISBN 978-5-7417-0794-4 .