C*-algebra

En C*-algebra er en Banach-algebra med en involution , der opfylder egenskaberne for den adjoint-operator .

Et særligt tilfælde af en C*-algebra er en kompleks algebra over et felt A af kontinuerlige lineære operatorer på et komplekst Hilbert-rum med to yderligere egenskaber:

A er et topologisk lukket sæt i operatørnormens topologi .
A er lukket under driften af at tage konjugationer af operatorer .

En anden vigtig klasse af ikke-Hilbert C*-algebraer er algebraerne for kontinuerlige funktioner i rummet . $C_{0}(X)$ $x$

C*-algebraer blev først overvejet hovedsageligt med det formål at bruge dem i kvantemekanik til at modellere algebraer af fysisk observerbare objekter. Denne forskningslinje begyndte med Werner Heisenbergs matrixkvantemekanik og , i en mere matematisk form, med Pascual Jordans arbejde omkring 1933. Efterfølgende forsøgte John von Neumann at etablere den generelle struktur af disse algebraer ved at skabe en række papirer om operatørringe. Disse papirer omhandlede en særlig klasse af C*-algebraer, som nu er kendt som von Neumann-algebraer .

Omkring 1943 gav Israel Gelfand og Mark Naimark , ved hjælp af begrebet helt regulære ringe, en teoretisk karakterisering af C*-algebraer [1] .

C*-algebraer er i øjeblikket et vigtigt værktøj i teorien om enhedsrepræsentationer af lokalt kompakte grupper og bruges også i algebraiske formuleringer af kvantemekanik . Et andet aktivt forskningsområde er klassificeringen eller bestemmelsen af graden af mulig klassificering for adskillelige simple nukleare C*-algebraer.

Formel definition

En C*-algebra [2] er en Banach-algebra A over feltet af komplekse tal , for alle elementer, hvoraf en mapping er defineret med følgende egenskaber: ${\textstyle x\in A}$ ${\textstyle x\mapsto x^{*}}$

Denne mapping er en involution for hvert x i A :

x^{**}=(x^{*})^{*}=x

For alle x , y i A :

(x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}

(xy)^{*}=y^{*}x^{*}

For hvert komplekst tal i og hvert x i A : $\lambda$ $\mathbb {C}$

(\lambda x)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}

For alle x i A :

\|x^{*}x\|=\|x\|\|x^{*}\|

Bemærk. De første tre identiteter siger, at A er en *-algebra . Den sidste identitet kaldes en C*-identitet og svarer til formlen

${\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|^{2))$

C*-identitet er et meget stærkt krav. For eksempel, sammen med spektralradiusformlen , følger det, at C* -normen er entydigt bestemt af den algebraiske struktur:

\|x\|^{2}=\|x^{*}x\|=\sup\{|\lambda |:x^{*}x-\lambda \,1\ {\text{ ikke reversibel}}\}.

En afgrænset operator : A B mellem C*-algebraer A og B kaldes en *-homomorfi, hvis $\pi$ $\til$

for alle x og y fra A ,

\pi (xy)=\pi (x)\pi (y)

for alle x fra A ,

\pi (x^{*})=\pi (x)^{*}

I tilfælde af C*-algebraer er enhver *-homomorfi mellem C*-algebraer kontraktiv, det vil sige begrænset af normen . Desuden er en injektiv *-homomorfi mellem C*-algebraer isometrisk . Disse egenskaber er konsekvenser af C*-identiteten. $\pi$ $\leq 1$

En bijektiv *-homomorfi kaldes en C*-isomorfi , i hvilket tilfælde A og B siges at være isomorfe . $\pi$

Noter

↑ I. Gelfand , M. Neumark . Om indlejring af normerede ringe i ringen af operatører i Hilbert-rummet , Mat. Sb., 12(54):2 (1943), 197-217.
↑ Denne definition blev først givet i artiklen af I. Gelfand , M. Neumark . Om indlejring af normerede ringe i ringen af operatører i Hilbert-rummet , Mat. Sb., 12(54):2 (1943), 197-217.

C*-algebra

Formel definition

Noter

Links