Positiv operator (Hilbert space)

En positiv operator i et Hilbert-rum er en lineær operator sådan, at for ethvert af Hilbert-rummene. Brug notationen [1] for en positiv operator . Nogle gange klassificeres nuloperatoren ikke som en positiv operator og skrives hvis operatoren er positiv, og hvis den er positiv eller nul. [2] $EN$ $(Axe, x) \ge 0$ $x$ $A\ge0$ $A>0$ $EN$ $A\ge0$ $EN$

En afgrænset positiv operator er selvadjoint , og dens spektrum ligger på den positive halvakse , og dette er en nødvendig og tilstrækkelig betingelse [1] . En ubegrænset positiv operator er symmetrisk og tillader en selvadjoint forlængelse, som også er en positiv operator [3] [4] . $[0, \infty)$

Egenskaber

Følgende egenskaber gælder for afgrænsede lineære operatorer .

Hvis operatør og reelt tal , så . $A\ge0$ $\alpha \ge 0$ $\alpha A\ge 0$
Hvis den inverse operator også findes, så . $A\ge0$ $A^{{-1}}$ $A^{-1} \ge 0$
$A^* A \ge 0, \, AA^* \ge 0$ for enhver lineær operator . Især for enhver selvstændig operatør . Derfor kan enhver projektionsoperator [2] tjene som et eksempel på en positiv operator . $EN$ $A^2 \ge 0$ $EN$
Produktet af to permutable positive operatorer er også en positiv operator [5] .
For en positiv operator og alle elementer i Hilbert-rummet gælder den generaliserede Schwartz-ulighed : $EN$ $x,y$

|(A x, y)|^2 \le (A x, x) (A y, y)

[6] .

Kvadratrod

Hver afgrænset positiv operator har en unik positiv kvadratrod , det vil sige en operator sådan at . Hvis operatoren er inverterbar , så er den også inverterbar. Kvadratroden pendler med en hvilken som helst operator, der kan commuteres med [7] [8] . $EN$ $B$ $B^2 = A$ $EN$ $B$ $B$ $EN$

Polær ekspansion

Enhver afgrænset lineær operator i et Hilbert-rum har en dekomponering , hvor er en positiv operator og er en partiel isometri. Hvis er en normal operator , så er operatoren i den polære nedbrydning unitær . $T$ $T=OP$ $P$ $U$ $T$ $U$

Ordreforhold

På sættet af symmetriske operatorer introduceres en partiel ordensrelation : eller hvis operatoren er positiv, med andre ord for et hvilket som helst af Hilbert-rummene . Denne ordrerelation har følgende egenskaber. $A\ge B$ $B \le A$ $A-B$ $(A x, x) \ge (B x, x)$ $x$

Hvis og , så . $A\ge B$ $C \ge D$ $A + C \ge B + D$
Hvis og , så . $A\ge B$ $B \ge C$ $A \ge C$
Hvis og , så . $A\ge B$ $c>0$ $c A \ge c B$
Enhver monoton afgrænset sekvens af symmetriske operatorer konvergerer til en eller anden symmetrisk operator [2] [6] .

Semi-limited operator

En symmetrisk operator kaldes lavere semi-bounded , hvis der eksisterer et reelt tal , således at $S$ $c$

(S x, x) \ge c(x, x)

for ethvert af operatørens omfang ; den største af alle værdier , som denne ulighed gælder for, kaldes operatørens infimum . Den øvre semibounded operator og dens øvre grænse [9] er defineret på samme måde . $x$ $S$ $c$ $S$

Den positive operator er et specialtilfælde af en operator semi-bundet nedenfor. På den anden side kan enhver semi-begrænset operator udtrykkes i form af en positiv operator ved hjælp af en af følgende formler: $P$

S = P + cI, \quad S = -P + cI,

hvor er identitetsoperatøren [10] . $jeg$

Friedrichs ekspansion. Enhver semi-bounded symmetrisk operator (især en positiv operator) kan udvides til en semi-bounded self-adjoint operator , og operatoren vil have den samme (øvre eller nedre) grænse som [11] . $S$ $EN$ $EN$ $S$

Tilfældet med et endeligt-dimensionelt rum

En symmetrisk operator (en operator med en symmetrisk matrix ) i et euklidisk rum kaldes ikke-negativ hvis for nogen . I dette tilfælde kaldes den kvadratiske form ikke-negativ , og operatormatrixen kaldes ikke- negativ bestemt . $S$ $R$ $(S x, x) \ge 0$ $x\i R$ $(S x, x)$ $S$

En symmetrisk operator kaldes positiv bestemt hvis for enhver vektor fra . I dette tilfælde kaldes den kvadratiske form og operatormatrixen positiv bestemt . $S$ $x \ne 0$ $R$ $(S x, x) > 0$ $(S x, x)$ $S$

Det er muligt at bestemme, om en matrix er positiv eller ikke-negativ bestemt ved hjælp af Sylvester-kriteriet [12] .

Eksempel

Et eksempel på en operator, der er delvist afgrænset nedenfor, er Sturm-Liouville-operatoren

A u(x) = -(p(x)u'(x))' + q(x) u(x),

hvor

p(x) \ge 0, \quad q(x) \ge q_0, \quad (0 \le x \le 1),

hvis den betragtes i rummet $L_2(0, 1)$ , med henvisning til definitionsdomænet for funktionen , to gange kontinuerligt differentierbar og opfylder betingelserne $u(x)$

u(0) = 0, \quad u'(1) + hu(1) = 0,

hvor er en eller anden konstant ; funktionerne antages også at være kontinuerlige . Faktisk kan det verificeres ved direkte beregning, at $h\ge0$ $p(x), p'(x), q(x)$

(A u, u) = hp(1) |u(1)|^2 + \int\limits_0^1 p(x) |u'(x)|^2 dx + \int\limits_0^1 q(x) ) |u(x)|^2 dx \ge \int\grænser_0^1 q_0 |u(x)|^2 dx = q_0 (u, u).

Hvis , så er operatøren positiv [11] . $q_0 \ge0$

Se også

Noter

↑ 1 2 Rudin U. Funktionsanalyse, 1975 , s.12.32.
↑ 1 2 3 Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elements of functional analysis, 1965 , s. 317.
↑ Shulman V.S., Lomonosov V.I. Positiv operator // Mathematical Encyclopedia : [i 5 bind] / Kap. udg. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1984. - T. 4: Ok - Slo. - 1216 stb. : syg. — 150.000 eksemplarer.
↑ Strengt taget, i tilfælde af en ubegrænset operator, er uligheden i definitionen taget for alle fra domænet af den symmetriske operator , som er tæt i hele Hilbert-rummet. $(A x, x) \ge 0$ $x$ $EN$
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elements of functional analysis, 1965 , s. 318.
↑ 1 2 Riess F., Sökefalvi-Nagy B. Lectures on Functional Analysis, 1979 , s. 104.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elements of functional analysis, 1965 , s. 320.
↑ Rudin W. Funktionsanalyse, 1975 , s.12.33.
↑ Akhiezer N. I., Glazman I. M. Theory of linear operators in Hilbert space, 1966 .
↑ Riess F., Sökefalvi-Nagy B. Lectures on Functional Analysis, 1979 , s. 122.
↑ 1 2 Riess F., Sökefalvi-Nagy B. Lectures on Functional Analysis, 1979 , s. 124.
↑ Gantmakher F. R. Matrix Theory. - Ed. 2., yderligere .. - M . : Nauka, Ch. udg. Fysisk.-Matematik. lit., 1966.

Litteratur

Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. Elementer af funktionel analyse. - Ed. 2., revideret .. - M . : Nauka, 1965. - 520 s.
Rudin W. Funktionsanalyse. - M . : Mir, 1975. - 444 s.
Riess F. , Sökefalvi-Nagy B. Forelæsninger om funktionsanalyse. — M .: Mir, 1979. — 592 s.
Akhiezer N. I. , Glazman I. M. Teori om lineære operatorer i et Hilbert-rum. - Ed. 2., revideret. og yderligere .. - Videnskab, kap. udg. fysik og matematik lit., 1966. - 543 s.