Spektralteori er en generel term i matematik, som refererer til teorier, der udvider begreberne egenfunktion og egenværdi fra kvadratiske matricer til bredere klasser af lineære operatorer i forskellige rum. Sådanne teorier opstår naturligt i studiet af systemer af lineære ligninger og deres generaliseringer. Sådanne teorier er tæt forbundet med analytiske funktioner, da en operators spektrale egenskaber er relateret til de analytiske funktioner af den spektrale parameter.
Selve udtrykket "spektralteori" blev introduceret af David Hilbert i den oprindelige formulering af teorien om Hilbert-rum , som blev formuleret ved hjælp af den kvadratiske form af et uendeligt antal variable. Derfor blev den oprindelige version af spektralsætningen formuleret som en forlængelse af sætningen om reduktionen af en kvadratisk form til hovedakserne . Nyere forskning i kvantemekanik gjorde det muligt at forklare funktionerne i atomets spektrum , hvilket var ret uventet.
Der er tre hovedformuleringer af spektralteorien, som hver især har grund til at blive betragtet som nyttige. Efter Hilberts oprindelige formulering er senere forskning i spektralteorien om den normale operator i Hilberts rum blevet skræddersyet til fysikkens behov, især forskningen udført af von Neumann [1] . Yderligere udvikling af teorien kunne også omfatte Banach algebraer . Disse undersøgelser førte til Gelfands repræsentation, som fuldstændigt dækker det kommutative tilfælde, og senere til ikke-kommutativ harmonisk analyse.
Forskellen kan forstås ved at drage en parallel til Fourier-analyse. Fourier-transformationen på den reelle akse er på den ene side den spektrale teori om differentiering som differentialoperator. Men i praksis viser det sig, at man er nødt til at arbejde med en generalisering af egenfunktioner (f.eks. ved at bruge Hilbert space framing). På den anden side er det ret nemt at konstruere en gruppealgebra, der opfylder de grundlæggende egenskaber for Fourier-transformationen, og det kan gøres ved hjælp af Pontryagin-dualitet .
De spektrale egenskaber for operatorer på Banach-rum kan også undersøges, for eksempel har kompakte operatorer på et Banach-rum spektrale egenskaber, der ligner matricers egenskaber.
Oscillationerne blev forklaret præcist ved hjælp af spektralteoriens metoder,
Spektralteori er tæt forbundet med studiet af lokaliserede svingninger af forskellige objekter, fra atomer og molekyler i kemi til akustiske bølgeledere. Disse vibrationer har frekvenser (naturlige vibrationsfrekvenser). Det anvendte spørgsmål er, hvordan man beregner disse frekvenser. Dette er en ret vanskelig opgave, da hver krop ikke kun har en grundlæggende tone (svarende til den laveste frekvens), men også mange overtoner, hvis sekvens er ret ikke-triviel.
Matematisk teori på det tekniske niveau er ikke bundet til denne form for fysiske overvejelser, selvom der er mange eksempler på gensidig påvirkning. For første gang blev udtrykket spektrum i denne betydning, tilsyneladende, taget af Hilbert i 1897 fra en artikel af Wilhelm Wirtinger om Hills differentialligning , og derefter blev udtrykket samlet op af hans elever, herunder Erhard Schmidt og Hermann Weyl .
Først tyve år senere, efter Schrödingers formulering af kvantemekanik, blev forbindelsen mellem operatørens matematiske spektrum og atomets spektrum etableret. Selvom der, som bemærket af Henri Poincaré , var mistanke om en forbindelse med den matematiske model af svingninger meget tidligere, blev den dog afvist af ret simple kvantitative argumenter, for eksempel manglende evne til at forklare Balmer-frekvensserien . Således var navnet på spektralteorien ikke logisk relateret til dens evne til at forklare atomets spektrum , det var blot en tilfældighed.