Fredholm operatør

En Fredholm-operator , eller en Noetherian-operator , er en lineær operator mellem vektorrum (normalt af uendelig dimension), hvis kerne og cokernel er endelig-dimensionelle. Med andre ord, lad X, Y være vektorrum. En operatør hedder Fredholm if $T:X\to Y$

${\mathrm {dim}}\,\ker T<\infty$ ,
${\mathrm {dim}}\;{\mathrm {koker}}\,T<\infty$ .

En operatør mellem finit-dimensionelle rum er altid Fredholm.

Normalt overvejes konceptet for Banach-rum, og operatøren antages at være afgrænset.

Det skal også bemærkes, at i kraft af sin definition er en Fredholm-operatør altid normalt opløselig .

Fredholm operatørindeks

For sådanne operatører giver begrebet operatørindeks mening :

{\mathrm {ind}}\,T={\mathrm {dim}}\,\ker T-{\mathrm {dim}}\;{\mathrm {koker}}\,T

Desuden eksisterer der for hver konkret givet en Fredholm-operatør med indeks n. $n\in {\mathbb {Z}}$

Transformationer af Fredholm-operatorer

Adjoint til Fredholm-operatøren er også Fredholm: . Desuden er der et en-til-en forhold mellem disse operatørers indeks: $T\in {\mathcal {N}}(X,\;Y)\Leftrightarrow T^{{'}}\in {\mathcal {N}}(Y^{{'}},\;X^{{ ')))$ ${\mathrm {ind}}\,T^{{'}}=-{\mathrm {ind}}\,T$
Sammensætningen af Fredholm-operatorer er en Fredholm-operator, og dens indeks er ( Atkinsons teorem ) ${\mathrm {ind}}\,TS={\mathrm {ind}}\,T+{\mathrm {ind}}\,S$
Den kompakte forstyrrelse bevarer Fredholm-ejendommen og operatørens indeks: $T\in {\mathcal {N}}(X,\;Y),\;S\in {\mathcal {K}}(X,\;Y)\Rightarrow T+S\in {\mathcal {N} }(X,\;Y),\;{\mathrm {ind}}\,(T+S)={\mathrm {ind}}\,T$
Fredholm-ejendommen og indekset er også bevaret under tilstrækkeligt små afgrænsede forstyrrelser, dvs. Med andre ord er sættet åbent i sættet af afgrænsede operatorer. $\forall T\in {\mathcal {N}}(X,\;Y)\;\eksisterer \varepsilon :\,\forall S\in {\mathcal {B}}(X,\;Y),\| S\|\leqslant \varepsilon \Rightarrow T+S\in {\mathcal {N}}(X,\;Y),\;{\mathrm {ind}}\,(T+S)={\mathrm { ind}}\,T$ ${\mathcal {N}}(X,\;Y)$ ${\mathcal {B}}(X,\;Y)$

Fredholms sætning

K\in {\mathcal {K}}(X,\;X)\Højrepil ({\mathrm {I_{X}}}-K)

er Fredholm (her er identitetsoperatøren på X).

{\mathrm {I_{X))}

Kriterier for at være fredholmsk

Noethers kriterium: T er Fredholm hvis, hvis og kun hvis T er næsten invertibel , det vil sige, den har en næsten invers operator.
Nikolskys kriterium: T er Fredholm hvis og kun hvis T er nedbrydeligt til en sum S+K, hvor S er invertibel og K er kompakt . Eller, som er det samme: , hvor er sættet af reversible lineære operatorer . ${\mathcal {N}}(X,\;Y)={\mathrm {Inv}}(X,\;Y)\,+\,{\mathcal {K}}(X,\;Y)$ ${\mathrm {Inv}}(X,\;Y)$

Litteratur

Kutateladze S. S. Grundlæggende om funktionel analyse. - 3. udg. - Novosibirsk: Matematisk Instituts Publishing House, 2000. - 336 s. — ISBN 5-86134-074-9 . .