K-teori

K-teori er en matematisk teori, der studerer ringe genereret af vektorbundter over topologiske rum eller skemaer . I algebraisk topologi kaldes denne generaliserede kohomologiteori topologisk K-teori . I algebra og algebraisk geometri kaldes den tilsvarende gren algebraisk K-teori. Det spiller også en vigtig rolle i operatoralgebraer og kan betragtes som en teori om visse typer af invarianter af store matricer [1] .

K-teori involverer konstruktion af familier af K- funktioner , der kortlægger topologiske rum eller skemaer til de tilsvarende ringe; disse ringe afspejler nogle aspekter af strukturen af de originale rum eller skemaer. Som med funktorer i kategorien af grupper, der bruges i algebraisk topologi, gør denne funktionelle kortlægning det lettere at beregne nogle topologiske egenskaber fra de kortlagte ringe end fra de oprindelige rum eller skemaer. Eksempler på resultater afledt af K-teoriens tilgang omfatter Grothendieck-Riemann-Roch-sætningen, Bott-periodicitet, Atiyah-Singer-indekssætningen og Adams-operationer.

I højenergifysik bruges K-teori, og især K-teori med torsion, i type II strengteori, hvor det er blevet foreslået, at de klassificerer D-braner , Ramond-Ramond feltstyrker og nogle spinorer på generaliserede komplekse manifolder.

I det kondenserede stofs fysik er K-teori blevet brugt til at klassificere topologiske isolatorer , superledere og stabile Fermi-overflader .

Grothendiecks konstruktion

Grothendiecks konstruktion er en nødvendig komponent for konstruktionen af K-teori. Lad være en monoid. Betegn ved følgende ækvivalensforhold på $(A,+')$ $\sim$ $A\time A:$

(a_{1},a_{2})\sim (b_{1},b_{2})

hvis der eksisterer sådan, at Så har sættet gruppestrukturen , hvor: $c\in A,$ $a_{1}+'b_{2}+'c=a_{2}+'b_{1}+'c.$ $G(A)=A\ gange A/\sim$ $(G(A),+)$

[(a_{1},a_{2})]+[(b_{1},b_{2})]=[(a_{1}+'b_{1},a_{2}+' b_{2})]

Ækvivalensklasserne i denne gruppe bør betragtes som formelle forskelle mellem elementer i en Abelsk monoid.

For bedre at forstå denne gruppe, overvej nogle af ækvivalensklasserne for den abelske monoid . Vi betegner monoidens enhed som . For det første for enhver , da vi kan sætte og anvende ligheden fra ækvivalensforholdet for at få . Det betyder $(A,+)$ $0$ $(0,0)\sim (n,n)$ $n\in A$ $c=0$ $n=n$

[(a,b)]+[(b,a)]=[(a+b,a+b)]=0

derfor har vi en additiv invers for hvert element i . Derfor kan ækvivalensklasser ses som formelle forskelle . En anden nyttig observation er invariansen af ækvivalensklasser under skalering: $G(A)$ $[(a,b)]\i G(A)$ $ab$

(a,b)\sim (a+k,b+k)

for alle

k\in A

Grothendieck-konstruktionen kan ses som en funktion . Den efterlades konjugeret med hensyn til den tilsvarende glemmefunktion . Med andre ord, hvis er en abelsk monoid, er en abelsk gruppe, så kan hver homomorfi af abelske monoider associeres med en unik gruppehomomorfi . $G:\mathbf {AbMon} \to \mathbf {AbGrp}$ $U:\mathbf {AbGrp} \to \mathbf {AbMon} .$ $EN$ $B$ $\phi :A\to U(B)$ $G(A)\to B$

Et godt eksempel at overveje er den abelske monoid , sættet af naturlige tal. Det kan vi se . For ethvert par kan vi finde minimumsrepræsentanten ved hjælp af skaleringsinvarians. For eksempel, $\mathbb {N}$ $G((\mathbb {N} ,+))=(\mathbb {Z} ,+)$ $(a,b)$ $(a',b')$

(4,6)\sim (3,5)\sim (2,4)\sim (1,3)\sim (0,2)

Generelt, hvis vi sætter , så finder vi det $k=\min\{a,b\}$

(a,b)\sim (ak,bk)

, som har formen eller

(c,0)

(0,d).

Dette viser, hvad vi kan tænke på som positive heltal og -- som negative heltal. ${\displaystyle(a,0)}$ $(0,b)$

Definitioner

Der er en række grundlæggende definitioner af K-teori: to fra topologi og to fra algebraisk geometri.

Lad være et kompakt Hausdorff topologisk rum . Betegn som sæt af endelig-dimensionelle vektorbundter over op til isomorfi, og lad isomorfiklassen for et vektorbundt betegnes med . Da isomorfi-klasser af vektorbundter opfører sig godt med hensyn til direkte summer, kan vi definere en direkte sum af to elementer som $x$ ${\text{Vect}}(X)$ $x$ $\pi :E\to X$ $[E]$ ${\text{Vect}}(X)$

[E]\oplus [E']=[E\oplus E']

Det er tydeligt, at der er tale om en abelsk monoid, hvor identiteten er givet af det trivielle vektorbundt . Så kan vi anvende Grothendiecks konstruktion til at opnå en abelsk gruppe fra denne abelske monoid. Denne gruppe kaldes K-teori og betegnes . $({\text{Vect}}(X),\oplus )$ $\mathbb {R} ^{0}\ gange X\to X$ $x$ $K^{0}(X)$

Serre-Swan-sætningen giver mulighed for at give en alternativ beskrivelse af vektorbundter som projektive moduler over en ring afkontinuerte komplekst værdifulde funktioner påSå kan de identificeres med idempotente matricer i en eller anden matrixring. Vi kan definere ækvivalensklasser af idempotente matricer og danne en abelsk monoid. Hans Grothendieck design kaldes også. $C^{0}(X;\mathbb {C} )$ $x.$ $M_{n\times n}(C^{0}(X;\mathbb {C} ))$ ${\textbf {Idem}}(X)$ $K^{0}(X)$

I algebraisk geometri kan den samme konstruktion anvendes på algebraiske vektorbundter over glatte skemaer. Der er også en alternativ konstruktion til enhver Noethersk ordning . Nemlig på sættet af isomorfi-klasser af kohærente skiver på man kan indføre en ækvivalensrelation: hvis der er en kort nøjagtig sekvens $x$ $\operatørnavn {Coh} (X)$ $x$ $[{\mathcal {E}}]=[{\mathcal {E}}']+[{\mathcal {E}}'']$

0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0.

Dette giver en gruppe , der er isomorf, hvis skemaet er glat. Gruppen har også en ringstruktur, defineret som $K_{0}(X)$ $K^{0}(X)$ $x$ $K_{0}(X)$

[{\mathcal {E}}]\cdot [{\mathcal {E}}']=\sum (-1)^{k}\left[\operatørnavn {Tor} _{k}^{{ \mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}}')\right].

Ved at bruge Grothendieck-Riemann-Roch-sætningen , har vi det

\operatorname {ch} :K_{0}(X)\otimes \mathbb {Q} \to A(X)\otimes \mathbb {Q}

er en isomorfi af ringe. Derfor kan vi bruge til intersektionsteori. $K_{0}(X)$

Tidlig historie

Det kan siges, at dette emne begynder med Alexander Grothendieck (1957), som brugte det til at formulere sin Grothendieck-Riemann-Roch-sætning. Navnet "K-teori" kommer fra det tyske "Klasse" ("klasse"). Grothendieck studerede sammenhængende skiver på en algebraisk sort "X". I stedet for at arbejde direkte med skiver, definerede han gruppen ved at bruge isomorfi-klasserne af skiver som generatorer, med en relation, der identificerer enhver forlængelse af to skiver med deres sum. Den resulterende gruppe kaldes "K(X)", når kun lokalt frie skiver betragtes , eller "G(X)", når alle skiver er sammenhængende. En af disse to konstruktioner kaldes Grothendieck-gruppen "K(X)" har kohomologisk adfærd og "G(X)" har homologisk adfærd.

Hvis "X" er en jævn sort, så er disse to grupper de samme. Hvis det er en glat affin sort, så splittes alle forlængelser af lokalt frie skiver, så gruppen har en alternativ definition.

I topologi , ved at anvende den samme konstruktion på vektorbundter, definerede Michael Atiyah og Friedrich Hirzebruch "K(X)" for det topologiske rum "X" i 1959 og ved hjælp af Botts periodicitetssætning gjorde de det til grundlaget for udvidet kohomologiteori. Dette spillede en vigtig rolle i det andet bevis på Atiyah-Singer-indekssætningen (ca. 1962). Desuden førte denne tilgang til en ikke-kommutativ K-teori for C*-algebraer .

Så tidligt som i 1955 brugte Jean-Pierre Serre parallellen mellem vektorbundter og projektive moduler til at formulere Serres formodning , som siger, at hvert endeligt genereret projektivt modul over en polynomialring er fri ; dette udsagn viste sig at være sandt, men blev først bevist 20 år senere. (Serra-Swan-sætningen er et andet aspekt af denne analogi.)

Videreudvikling

En anden historisk kilde til algebraisk K-teori var arbejdet af J. G. C. Whitehead et al. på det, der senere blev kendt som Whitehead-torsionen.

Dette blev efterfulgt af en periode, hvor forskellige deldefinitioner af "højere K-teori-funktioner" blev givet. Endelig blev to nyttige og ækvivalente definitioner givet af Daniel Quillen ved hjælp af homotopi teori i 1969 og 1972. En variant blev også givet af Friedhelm Waldhausen for at studere den "algebraiske K-teori om rum", som er relateret til studiet af pseudoisotopier. Mange moderne studier af højere K-teori er forbundet med algebraisk geometri og studiet af motivisk kohomologi .

De tilsvarende konstruktioner, der involverer hjælpekvadratformen , kaldes L-teori . Det er det vigtigste instrument for morsekirurgi .

I strengteori blev K-teoriens klassificering af Ramond-Ramond spændingsfelter og ladninger af stabile D-braner først foreslået i 1997 [2] .

Eksempler

Det enkleste eksempel på en Grothendieck-gruppe er Grothendieck-gruppen af et punkt for et felt . Da vektorbundtet over dette rum blot er et endeligt-dimensionelt vektorrum, der er et frit objekt i kategorien kohærente skiver (derfor også projektiv), er isomorfiklassen monoid , i henhold til vektorrummets dimension. Den tilsvarende Grothendieck-gruppe er . ${\text{Spec))(\mathbb {F} )$ $\mathbb {F}$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$
En af de vigtige egenskaber ved Grothendieck-gruppen i et Noether-skema er, at [3] . Derfor er Grothendieck-gruppen af enhver Artinian -algebra lig med . $x$ $K(X)=K(X_{\tekst{rød)))$ $\mathbb {F}$ $\mathbb {Z}$
En anden vigtig formel for Grothendieck-gruppen er den projektive bundt-formel: [4] hvis er et vektorbundt med rang "r" over et Noetherian-skema , så er Grothendieck-gruppen i det projektive bundt et frit -modul med rang "r" med grundlag . Denne formel giver dig mulighed for at beregne Grothendieck-gruppen . ${\mathcal {E}}$ $x$ $\mathbb {P} ({\mathcal {E}})=\operatørnavn {Proj} (\operatørnavn {Sym} ^{\bullet }({\mathcal {E}}^{\vee }))$ $K(X)$ ${\displaystyle 1,\xi ,\dots ,\xi ^{n-1))$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {F} }^{n))$

Ansøgninger

Virtuelle bundter

En nyttig anvendelse af Grothendieck-gruppen er definitionen af virtuelle vektorbundter. For eksempel, hvis vi har en indlejring af glatte mellemrum , så er der en kort nøjagtig rækkefølge $Y\hookrightarrow X$

0\to \Omega _{Y}\to \Omega _{X}|_{Y}\to C_{Y/X}\to 0

hvor er et konormalt skær i . Hvis vi har et særligt rum indlejret i et glat rum , definerer vi en virtuel konormal bunke som $C_{Y/X}$ $Y$ $x$ $Y$ $x$

[\Omega _{X}|_{Y}]-[\Omega _{Y}]

En anden nyttig anvendelse af virtuelle bundter er relateret til definitionen af en virtuel tangentbundt for skæringspunktet mellem rum: lad være projektive undervarieteter af en glat projektiv sort. Så kan vi definere det virtuelle tangentbundt af deres skæringspunkt som $Y_{1},Y_{2}\subset X$ $Z=Y_{1}\cap Y_{2}$

[T_{Z}]^{vir}=[T_{Y_{1}}]|_{Z}+[T_{Y_{2}}]|_{Z}-[T_{X}] |_{Z}.

Kontsevich bruger denne konstruktion i et af sine værker. [5]

Zhens karakterer

Chern-klasserne kan bruges til at konstruere en ringhomomorfi fra en topologisk K-teori om et rum til at (fuldføre) dets rationelle kohomologiringe. Chern-symbolet "ch" i linjebundtet "L" er defineret af formlen

\operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^ {m}}{m!}}.

Mere generelt, hvis er en direkte sum af linjebundter, med de første Chern-klasser, er Chern- karakteren defineret additivt ${\displaystyle V=L_{1}\oplus \dots \oplus L_{n))$ $x_{i}=c_{1}(L_{i}),$

\operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\dots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\dots +x_{n}^{m}).

Chern-symbolet er til dels nyttigt, fordi det gør det lettere at beregne Chern-klassen for et tensorprodukt. Chern-symbolet bruges i formuleringen af Hirzebruch-Riemann-Roch-sætningen.

Ekvivariant K-teori

En ækvivariant algebraisk K-teori er en algebraisk K-teori relateret til kategorien af ækvivariante kohærente skiver på et algebraisk skema med en lineær algebraisk gruppehandling , via Quillens Q-konstruktion; altså per definition, $\operatorname {Coh} ^{G}(X)$ $x$ $G$

K_{i}^{G}(X)=\pi _{i}(B^{+}\operatørnavn {Coh} ^{G}(X)).

Dette er især Grothendieck-gruppen . Denne teori blev udviklet af R. W. Thomason i 1980'erne. [6] Især beviste han ækvivariante analoger til fundamentale teoremer såsom lokaliseringssætningen. $K_{0}^{G}(C)$ $\operatorname {Coh} ^{G}(X)$

Se også

Bott Periodicity
QC teori
CR teori
Liste over kohomologiske teorier
Algebraisk K-teori
Topologisk K-teori
Operator K-teori
Grothendieck-Riemann-Roch-sætning

Noter

↑ [[ Michael Atiyah |Atiyah, Michael]] (2000), K-Theory Past and Present, arΧiv : math/0012213 .
↑ Ruben Minasian ( http://string.lpthe.jussieu.fr/members.pl?key=7 Arkiveret 22. september 2020 på Wayback Machine ), og Gregory Moore i K-teori og Ramonds anklage - Ramonda Arkiveret fra 21. april 2020 på Wayback Machine
↑ Grothendieck-gruppe for projektiv plads over dobbelttallene . mathoverflow.net . Hentet 16. april 2017. Arkiveret fra originalen 17. april 2017. (ubestemt)
↑ Manin, Yuri Ivanovich . Forelæsninger om K-funktionen i algebraisk geometri (engelsk) // Uspekhi matematicheskikh nauk : journal. - Det russiske videnskabsakademi , 1969. - 1. januar ( vol. 24 , nr. 5 ). - S. 1-89 . — ISSN 0036-0279 . - doi : 10.1070/rm1969v024n05abeh001357 . - .
↑ [[ Maxim Kontsevich |Kontsevich, Maxim]] (1995), Optælling af rationelle kurver via torushandlinger, Kurvernes modulrum (Texel Island, 1994) , vol. 129, Progress in Mathematics, Boston, MA: Birkhauser Boston, s. 335-368
↑ Charles A. Weibel, Robert W. Thomason (1952-1995) Arkiveret 7. februar 2020 på Wayback Machine .

Litteratur

Atiyah M. Forelæsninger om K - teori . - M . : Udenlandsk litteratur, 1967. - 261 s.