Ergodicitet

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 13. november 2020; verifikation kræver 1 redigering .

Ergodicitet er en speciel egenskab ved nogle dynamiske systemer , der består i det faktum, at i evolutionsprocessen passerer næsten enhver tilstand med en vis sandsynlighed nær enhver anden tilstand i systemet.

For ergodiske systemer skal den matematiske forventning til tidsserier falde sammen med den matematiske forventning til rumserier. Det vil sige, for at bestemme systemets parametre kan man observere opførselen af et af dets elementer i lang tid, eller det er muligt at overveje alle dets elementer (eller en hel del elementer) på meget kort tid. Hvis systemet har egenskaben ergodicitet, vil de samme resultater i begge tilfælde blive opnået.

Fordelen ved ergodiske dynamiske systemer er, at sådanne systemer med tilstrækkelig observationstid kan beskrives med statistiske metoder. For eksempel er temperaturen af en gas et mål for den gennemsnitlige energi af et molekyle. Vi skal først bevise ergodiciteten af dette system.

Ergodisk teori er en af grenene af generel dynamik.

Definition

Lad være et sandsynlighedsrum og være en målebevarende kortlægning. $(X,\;\Sigma ,\;\mu \,)$ $T:X\to X$

Kortlægningen T er ergodisk i forhold til, hvis følgende betingelse er opfyldt: $\mu$

for enhver T -invariant delmængde (det vil sige sådan, at ) enten , eller . $E\in \Sigma$ $T^{-1}(E)=E$ $\mu (E)=0$ $\mu (E)=1$

Noter

Definitionen svarer til følgende betingelser,

For enhver delmængde af positive mål har vi $E\in \Sigma$ $\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty}T^{-n}E\right)=1$ ;
For alle to sæt E og H af positiv måling eksisterer der n > 0, således at *: ; $\mu ((T^{-n}E)\cap H)>0$
Enhver T -invariant målbar funktion er konstant næsten overalt. $f:X\to \mathbb {R}$

Se også

Litteratur

V. I. Arnold , A. Avets . Ergodiske problemer i klassisk mekanik . - Moskva-Izhevsk: RHD, 1999.
I.P. Kornfeld, Ya. G. Sinai , S.V. Fomin Ergodisk teori. — M.: Nauka, 1980.
Katok A. B. , Hasselblat B. Introduktion til den moderne teori om dynamiske systemer / overs. fra engelsk. A. Kononenko med deltagelse af S. Ferleger. - M . : Faktoriel, 1999. - 768 s. — ISBN 5-88688-042-9 .
Katok A. B. , Hasselblat B. Introduktion til den moderne teori om dynamiske systemer med gennemgang af de seneste præstationer / Pr. fra engelsk. udg. A. S. Gorodetsky. — M .: MTSNMO , 2005. — 464 s. — ISBN 5-94057-063-1 .
Khinchin A. Ya. Mathematical Foundations of Statistical Mechanics , M. - L., 1943.
Nemytsky V. V. , Stepanov V. V. Kvalitativ teori om differentialligninger , 2. udgave, M. - L., 1949.
Halmos P. Forelæsninger om ergodisk teori: pr. fra engelsk. - M., 1959.
GD Birkhoff , Proof of the ergodic theorem, (1931), Proc Natl Acad Sci USA, 17 s. 656-660.
J. von Neumann , Proof of the Quasi-ergodic Hypothesis, (1932), Proc Natl Acad Sci USA, 18 s. 70-82.
J. von Neumann , Physical Applications of the Ergodic Hypothesis, (1932), Proc Natl Acad Sci USA, 18 s. 263-266.

Ergodicitet

Definition

Noter

Se også

Litteratur

Links