Dirichlet række

I nærheden af Dirichlet kaldes en række af formen

\sum _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {a_{n}}{n^{s}}},

hvor s og a n er komplekse tal , n = 1, 2, 3, … .

Abscissen af konvergensen af en Dirichlet-række er et tal således, at når det konvergerer; abscissen af absolut konvergens er et sådant tal , at for serien konvergerer absolut . For enhver Dirichlet-række gælder forholdet (hvis og er endelige). $\sigma _{c}$ $\operatørnavn {Re}s>\sigma _{c}$ $\sigma _{a}$ $\operatorname {Re} s>\sigma _{a}$ $0\leqslant \sigma _{a}-\sigma _{c}\leqslant 1$ $\sigma _{c}$ $\sigma _{a}$

Denne serie spiller en væsentlig rolle i talteorien . De mest almindelige eksempler på en Dirichlet-serie er Riemann zeta-funktionen og Dirichlet L-funktionen . Rækken er opkaldt efter Gustav Dirichlet .

Konvergens på forskellige punkter

Hvis nogle serier konvergerer på et komplekst punkt , så konvergerer den samme serie på et hvilket som helst punkt for hvilket . Det følger af dette, at der eksisterer et punkt sådan, at for , serien konvergerer, og for , den divergerer. Et sådant punkt kaldes konvergensens abscisse. $s_{0}=\sigma _{0}+t_{0}i$ $s=\sigma +ti$ $\sigma >\sigma _{0}$ $\sigma=\sigma _{c}$ $\operatørnavn {Re}s>\sigma _{c}$ $\operatørnavn {Re}s<\sigma _{c}$

Abscissen af absolut konvergens for en serie er et punkt sådan, at ved , serien konvergerer absolut. Det er rigtigt, at . ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s))))$ $\sigma _{a}$ $\operatorname {Re} s>\sigma _{a}$ $0\leqslant \sigma _{a}-\sigma _{c}\leqslant 1$

Funktionens adfærd hos kan være forskellig. Edmund Landau viste, at et punkt er enestående for nogle Dirichlet-serier, hvis det er dets abscisse af konvergens. $\operatørnavn {Re}s$ $s=\sigma _{c}$ $\sigma _{c}$

Eksempler

\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s))},

hvor er Riemann zeta-funktionen . $\zeta (s)$

{\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}},

hvor μ( n ) er Möbius-funktionen .

{\frac {1}{L(\chi ,s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\chi (n)}{n ^{s}}},

hvor er Dirichlet L-funktionen . $L(\chi ,s)$

\operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{s}}},

hvor Li s ( z ) er polylogaritmen .

harmoniske serier

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}} +{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{k}}+\cdots

divergerer.

Sekvenser og rækker
Sekvenser	Numerisk rækkefølge Grundlæggende rækkefølge Lineær tilbagevendende sekvens Fibonacci-tal krøllede tal Faktoriel Barker-sekvens de bruijn rækkefølge
Rækker, grundlæggende	Rækkesum Resten af rækken Betinget konvergens Skiftende serie Række multisektion
Talserier ( operationer med talserier )	harmoniske serier Leibniz-serien En række omvendte firkanter En række gensidige primtal Dirichlet række Mercator serien Række Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funktionelle rækker	Taylor-serien Laurent-serien Fourier-serien Trigonometrisk Fourier-serie trigonometriske serier Wiener-serien
Andre rækketyper	Neumann-serien Puiseux række