Almindelig nummer

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 4. juni 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Almindelige tal er tal, der ligeligt deler potenser af 60 (eller tilsvarende potenser af 30 ). For eksempel er 60 2 = 3600 = 48 × 75, så både 48 og 75 er divisorer af potensen 60. De er således almindelige tal . Tilsvarende er disse tal, hvis eneste primdivisor er 2, 3 og 5.

Tal, der deler sig ligeligt til en potens af 60, forekommer inden for flere områder af matematikken og dens anvendelser, og har forskellige navne hentet fra disse forskellige studieretninger.

Talteori

Formelt er et regulært tal et heltal af formen 2 i ·3 j ·5 k for ikke-negative heltal i , j og k . Dette tal er en divisor . Regelmæssige tal kaldes også 5 - glatte , hvilket indikerer, at deres største primfaktor er højst 5.

De første par almindelige numre

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48, 50, 54, 60, ... (sekvens A051037 i OEIS ).

Nogle andre sekvenser i OEIS har definitioner, der inkluderer 5-glatte tal [2] .

Selvom regulære tal virker tætte i intervallet 1 til 60, er de ret sjældne blandt store heltal. Et regulært tal n = 2 i 3 j 5 k er mindre end eller lig med N hvis og kun hvis punktet ( i , j , k ) tilhører et tetraeder , afgrænset af koordinatplanerne og planet

som det kan ses ved at tage logaritmen af ​​begge sider af uligheden 2 i ·3 j ·5 k ≤ N . Derfor kan antallet af regulære tal, der ikke overstiger N , estimeres som volumenet af dette tetraeder, som er lig med

Endnu mere præcist, at bruge "O"-notationen er stor , antallet af almindelige tal op til N er

og det er blevet foreslået, at fejlen ved denne tilnærmelse faktisk er [3] . En lignende formel for antallet af 3-glatte tal op til N er givet af Srinivasa Ramanujan i hans første brev til Godfrey Harold Hardy [4] .

Babylonsk matematik

I babylonsk sexagesimal notation har det reciproke af et regulært tal en endelig repræsentation, så det er let deleligt. Især hvis n deler 60 k , så er den sexagesimale repræsentation af 1/ n 60 k / n forskudt med et eller andet antal steder.

Antag for eksempel, at vi vil dividere med det fælles tal 54 = 2 1 3 3 . 54 er en divisor af 603 , og 603/54 = 4000, så at dividere med 54 i sexagesimal kan gøres ved at gange med 4000 og skifte tre cifre. I sexagesimal 4000 = 1x3600 + 6x60 + 40x1, eller (som angivet af Joyce) 1:6:40. Så 1/54 i sexagesimal er 1/60 + 6/60 2 + 40/60 3 , som også betegnes 1:6:40, som de babylonske konventioner gjorde. uden at angive graden af ​​det indledende ciffer. Omvendt er 1/4000 = 54/60 3 , så at dividere med 1:6:40 = 4000 kan gøres ved at gange med 54 og skifte tre sexagesimale cifre.

Babylonierne brugte tabeller med gensidige regelmæssige tal, hvoraf nogle har overlevet indtil i dag (Sachs, 1947). Disse tabeller eksisterede relativt uændret gennem babylonisk tid [5] .

Skønt hovedårsagen til at foretrække almindelige tal frem for andre er endeligheden af ​​deres gensidige tal, inkluderede nogle babylonske beregninger bortset fra gensidige også regulære tal. For eksempel er der fundet tabeller med regulære firkanter [5] , og den ødelagte kileskrift af Plimpton- tavlen 322 er blevet fortolket af Otto E. Neugebauer som en opregning af pythagoræiske tripler genereret af begge regulære tal p , q , der er mindre end 60 [6] .

Musikteori

I musikteorien inkluderer den naturlige afstemning af den diatoniske skala almindelige tal: tonehøjdene i en oktav af denne skala har frekvenser, der er proportionale med tallene i sekvensen 24, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48 næsten fortløbende regelmæssige tal. For et instrument med denne stemning er alle tonehøjder således regulære harmoniske med samme grundfrekvens . Denne skala kaldes 5 -limit tuning, hvilket betyder, at intervallet mellem to vilkårlige toner kan beskrives som produktet af 2 i 3 j 5 k potenser af primtal op til 5, eller tilsvarende, som et forhold mellem regulære tal.

Andre 5-limit musikskalaer end den velkendte diatoniske skala fra vestlig musik er også blevet brugt både i traditionel musik fra andre kulturer og i moderne eksperimentel musik: Honingh & Bod (2005 ) lister 31 forskellige 5-limit skalaer taget fra en stor database med musikalske skalaer. Hver af disse 31 skalaer deler med diatonisk intonation den egenskab, at alle intervaller er forhold mellem regulære tal. Euler Tonal Grid giver en praktisk grafisk repræsentation af tonehøjden i enhver 5-grænse tuning ved at udtrække oktavforhold (potenser af to), så de resterende værdier danner et plant gitter . Nogle musikteoretikere har mere generelt udtalt, at regulære tal er fundamentale for selve tonemusikken, og at tonehøjdeforhold baseret på primtal større end 5 ikke kan være konsonante [7] . Moderne klaverers lige temperament er dog ikke en 5-limit stemning, og nogle moderne komponister har eksperimenteret med stemninger baseret på primtal større end 5.

I forbindelse med anvendelsen af ​​almindelige tal til musikteori er det interessant at finde par af regulære tal, der adskiller sig med ét. Der er præcis ti sådanne par ( x , x + 1) [8] og hvert sådant par definerer en superpartikelrelation ( x + 1)/ x , hvilket giver mening som et musikalsk interval. Det er 2/1 ( oktav ), 3/2 ( perfekt femte ), 4/3 ( perfekt fjerde ), 5/4 ( dur tredje ), 6/5 ( mol tredje ), 9/8 ( dur sekund ), 10/9 ( mol sekund ), 16/15 ( diatonisk halvtone ), 25/24 ( kromatisk halvtone ) og 81/80 ( syntonisk komma ).

Algoritmer

Algoritmer til beregning af regulære tal i stigende rækkefølge blev populariseret af Edsger Dijkstra . Dijkstra [9] [10] krediterer Hamming med problemet med at konstruere en uendeligt stigende sekvens af alle 5-glatte tal; dette problem er nu kendt som Hamming-problemet , og de således opnåede tal kaldes også Hamming-tal . Dijkstras ideer til at beregne disse tal er som følger:

Denne algoritme bruges ofte til at demonstrere styrken af ​​et dovent funktionelt programmeringssprog , fordi (implicit) parallelle effektive implementeringer, der bruger et konstant antal aritmetiske operationer pr. genereret værdi, let konstrueres som beskrevet ovenfor. Lige så effektive strenge funktionelle eller imperative sekventielle implementeringer er også mulige, mens eksplicit parallelle generative løsninger kan være ikke-trivielle [11] .

I programmeringssproget Python bruges doven funktionskode til generering af almindelige tal som en af ​​de indbyggede tests for korrektheden af ​​sprogimplementeringen [12] .

Et relateret problem diskuteret i Knuth (1972 ) er at liste alle k -cifrede hexadecimale tal i stigende rækkefølge, som det blev gjort (for k = 6) af Seleucid -æraskriveren Inakibit-Anu i tablet AO6456. I algoritmiske termer svarer dette til at generere (i rækkefølge) en undersekvens af en uendelig række af almindelige tal i området 60 k til 60 k + 1 . Se Gingerich (1965 ) for en tidlig beskrivelse af den computerkode, der genererer disse tal ude af rækkefølge og derefter sorterer dem; Knuth beskriver en særlig algoritme, som han tillægger Bruins (1970 ), til hurtigere at generere sekscifrede tal, men den generaliserer ikke direkte til store værdier af k . Eppstein (2007 ) beskriver en algoritme til beregning af tabeller af denne type i lineær tid for vilkårlige værdier af k .

Andre applikationer

Heninger, Rains & Sloane (2006 ) viser, at når n er et regulært tal, der er deleligt med 8, er den genererende funktion af et n - dimensionalt ekstremalt selv unimodulært gitter den n . potens af et polynomium.

Som med andre klasser af glatte tal er regelmæssige tal vigtige som problemstørrelser i computerprogrammer til at udføre Fast Fourier Transform , en teknik til at analysere dominerende signalfrekvenser i tidsvarierende data . Eksempelvis kræver Tempertons (1992 ) metode , at længden af ​​transformationen er et almindeligt tal.

Bog 8 i Platons stater har en allegori om ægteskab baseret på det meget regulære tal 60 4 = 12.960.000 og dets divisorer. Senere forskere brugte både babylonsk matematik og musikteori i et forsøg på at forklare denne passage [13] . (Se Platons nummer .)

Noter

  1. ↑ Inspireret af lignende diagrammer af Erkki Kurenniemi i " Chords, scales and divisor lattices" Arkiveret 10. februar 2021 på Wayback Machine .
  2. ↑ OEIS-søgning efter sekvenser med 5-glathed Arkiveret 10. april 2021 på Wayback Machine .
  3. ↑ Neil Sloan . On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . Hentet 10. april 2021. Arkiveret fra originalen 6. maj 2021.
  4. ↑ Berndt, Bruce K. & Rankin, Robert Alexander, red. (1995), Ramanujan: Letters and Commentaries , vol. 9, History of Mathematics, American Mathematical Society, s. 23, ISBN 978-0-8218-0470-4  .
  5. ↑ 12 Aaboe (1965 ).
  6. ↑ Se Conway & Guy (1996 ) for en populær behandling af denne fortolkning. Plimpton 322 har andre fortolkninger, se hans artikel for, men de inkluderer alle regulære numre.
  7. ↑ Asmussen (2001 ) siger for eksempel, at "i ethvert stykke tonal musik" skal alle intervaller være forhold mellem regulære tal, hvilket gentager lignende påstande fra meget tidligere forfattere som Habens (1889 ). I moderne musikteoretisk litteratur tilskrives denne påstand ofte Longuet-Higgins (1962 ), som brugte et grafisk design tæt på et tonalt netværk til at organisere 5-limit pitches.
  8. ↑ Halsey & Hewitt (1972 ) bemærkede, at dette følger af Størmers sætning ( Størmer 1897 ) og gav beviser i denne sag; se også Silver (1971 ).
  9. ↑ Dijkstra, Edsger W. (1976), 17. En øvelse tilskrevet RW Hamming , A Programming Discipline , Prentice-Hall, s. 129–134 , ISBN 978-0132158718 , < https://archive.org/details/disciplineofprog0000dijk/page/129 > 
  10. ↑ Dijkstra, Edsger W. (1981), Hamming Exercise in SASL , Rapport EWD792. Oprindeligt distribueret privat som en håndskrevet seddel. , < http://www.cs.utexas.edu/users/EWD/ewd07xx/EWD792.PDF > Arkiveret 4. april 2019 på Wayback Machine 
  11. ↑ Se for eksempel Hemmendinger (1988 ) eller Yuen (1992 ).
  12. ↑ Funktion m235 på test_generators.py Arkiveret 29. september 2007 på Wayback Machine .
  13. ↑ Barton (1908 ); McClain (1974 ).

Links

Eksterne links