Et kolossalt overskud

Et kolossalt rigeligt tal ( CA fra det engelske  kolossalt rigeligt tal ) er et naturligt tal , der i en vis streng forstand har mange divisorer : der eksisterer sådan, at for alle :

hvor er funktionen af ​​summen af ​​divisorer [1] . Alle kolossalt overflødige tal er også superredundante tal , men det modsatte er ikke sandt.

De første 15 kolossalt overflødige numre [2] - 2 , 6 , 12 , 60 , 120 , 360 , 2520 , 5040 , 55440, 720720, 1441440 , 4324320 , 70s er også tal 60, 60, 320, 70, 70, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 70, 60, 70, 6, 6

Historie

Kolossalt overskydende tal blev først undersøgt af Ramanujan , og hans resultater skulle medtages i hans 1915 papir om det supersammensatte tal [3] . Desværre var udgiveren af ​​det tidsskrift, som Ramanujan sendte sit arbejde til, London Mathematical Society , i økonomiske vanskeligheder på det tidspunkt, og Ramanujan gik med til at fjerne nogle aspekter af arbejdet for at reducere trykomkostningerne [4] . Hans konklusioner var hovedsageligt drevet af Riemann-hypotesen , og med denne antagelse fandt han øvre og nedre grænser for størrelsen af ​​kolossalt overflødige tal og beviste, at det, der ville blive kendt som Robins ulighed (se nedenfor) gælder for alle tilstrækkeligt store værdier af n [5] .

Klassen af ​​tal blev revideret i en noget stærkere form i et papir fra 1944 af Leonidas Alaoglu og Pal Erdős , hvor de forsøgte at udvide Ramanujans resultater [6] .

Egenskaber

De kolossalt overflødige tal er en af ​​flere klasser af heltal, der forsøger at fange ideen om at have flere divisorer. For et positivt heltal n giver summen af ​​divisorfunktionen σ( n ) summen af ​​alle de tal, der deler n , inklusive 1 og n selv . Paul Bachmann viste, at σ( n ) i gennemsnit er omkring π 2 n / 6 [7] . Grönwalls sætning siger i mellemtiden, at den maksimale rækkefølge af σ( n ) er lidt større, især er der en stigende rækkefølge af heltal n , således at for disse heltal er σ( n ) omtrent den samme størrelse som e γ n log (log( n )), hvor γ er Euler-Mascheroni-konstanten [7] . Derfor omfavner kolossalt overflødige tal ideen om at have flere divisorer ved at kræve, at de for nogle maksimerer værdien af ​​funktionen

for alle værdier . Resultaterne af Bachmann og Grönwall garanterer, at for enhver denne funktion har et maksimum, og at når ε har en tendens til nul, vil disse maksima stige. Der er således uendeligt mange kolossalt overflødige tal, selvom de er ret sjældne, og kun 22 af dem er mindre end 10 18 [8] .

For hver ε har ovenstående funktion et maksimum, men det er ikke indlysende, og faktisk er det ikke sandt, at for hver ε er denne maksimumværdi unik. Alaoglu og Erdős undersøgte, hvor mange forskellige værdier af n kan give den samme maksimale værdi af ovenstående funktion for en given værdi af ε. De viste, at for de fleste værdier af ε vil der være et enkelt heltal n , der maksimerer funktionen. Senere viste Erdős og Jean-Louis Nicolas dog, at for et bestemt sæt af diskrete værdier af ε, kan der være to eller fire forskellige værdier af n , der giver den samme maksimale værdi [9] .

I deres papir fra 1944 foreslog Alaoğlu og Erdős, at forholdet mellem to på hinanden følgende kolossalt overflødige tal altid var et primtal . De viste, at dette følger af et særligt tilfælde af de fire eksponentielle hypoteser i transcendental talteori , især at for to forskellige primtal p og q er det kun reelle tal t , for hvilke både p t og q t er rationelle tal, der er positive heltal. . Ved at bruge det tilsvarende resultat for tre primtal - et specialtilfælde af de seks eksponentielle sætninger , som K. L. Siegel beviste - var de i stand til at vise, at kvotienten af ​​to på hinanden følgende kolossalt overflødige tal altid er lig med enten et primtal eller et semi-primtal , det vil sige et tal, der kun består af to primfaktorer . Kvotienten kan aldrig være kvadratet af et primtal.

Alaoglu og Erdős' formodning forbliver åben, selvom den er blevet testet i det mindste op til 10 7 [10] Hvis det er sandt, ville dette betyde, at der er en sekvens af primtal, som ikke kan skelnes p 1 , p 2 , p 3 ,... sådan at n - e kolossalt overflødige tal havde formen:

Hvis det antages, at formodningen er korrekt, starter denne sekvens af primtal med 2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, 2 (sekvens A073751 i OEIS ). Alaoglu og Erdős' formodning ville også betyde, at ingen værdi af ε giver fire distinkte heltal n som maksima for ovenstående funktion.

Forbindelse med Riemann-hypotesen

I 1980'erne viste Guy Robin [11] , at Riemann-hypotesen svarer til at sige, at følgende ulighed er sand for alle > 5040: (hvor er Euler-Mascheroni-konstanten ):

Denne ulighed er kendt for at mislykkes for 27 numre (sekvens A067698 i OEIS ):

Robin viste, at hvis Riemann-hypotesen er sand, så er = 5040 det sidste heltal, som den fejler. Uligheden er nu kendt som Robins ulighed efter hans arbejde. Robins ulighed, hvis nogensinde ikke opfyldt, er kendt for at mislykkes for det kolossalt overflødige tal "n"; således er Riemann-hypotesen reelt ækvivalent med Robins ulighed, som er gyldig for hvert kolossalt overskydende tal n > 5040.

I 2001-2002 demonstrerede Lagarias [8] en alternativ form for Robins udsagn , der ikke kræver undtagelser, ved at bruge et harmonisk tal i stedet for en logaritme :

Eller bortset fra 8 undtagelser fra n = 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24, 60:

Links

1. ↑ K. Briggs, Excess numbers and the Riemann hypothesis , Experimental Mathematics 15:2 (2006), s. 251–256, doi : 10.1080/10586458.2006.10128957 .
2. ↑ OEIS -sekvens A004490 _
3. ^ S. Ramanujan , " Superkomponentnumre ", Proceedings of the London Mathematical Society 14 (1915), s. 347–407, MR : 2280858 .
4. ↑ S. Ramanujan, Collected Papers , Chelsea , 1962.
5. ↑ S. Ramanujan, "Superkomponentnumre. Kommenteret med et forord af J.-L. Nicolas og G. Robin", Ramanujan's Journal 1 (1997), s. 119–153.
6. ↑ Alaoglu, L. & Erdős, P. (1944), Om superkomponent og lignende numre , Proceedings of the American Mathematical Society bind 56: 448–469, doi : 10.2307/1990319 , < http://www.renyi.hu /~ p_erdos/1944-03.pdf > Arkiveret 12. november 2017 på Wayback Machine . 
7. ↑ 1 2 G. Hardy , E. M. Wright, Introduktion til talteori. 5. udgave , udg. Oxford University , Oxford , 1979.
8. ↑ 1 2 J. C. Lagarias, Et elementært problem svarende til Riemann-hypotesen Arkiveret 10. oktober 2014 på Wayback Machine , American Mathematical Monthly 109 (2002), s. 534-543 .
9. ↑ P. Erdős, J.-L. Nicolas, "Distribution of overabundant numbers", Bulletin of the French Mathematical Society 103 (1975), s. 65-90.
10. ↑ N. J. A. Sloan , Primtal, som, når de ganges i rækkefølge, giver en sekvens af kolossalt overflødige tal Arkiveret 16. april 2021, på Wayback Machine , The Online Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Fonden.
11. ↑ G. Robin, "Large Values ​​of the Divisor Sum Function and the Riemann Hypothesis", Journal of Pure and Applied Mathematics 63 (1984), s. 187–213.

Eksterne links

• Keith Briggs om kolossalt overskydende tal og Riemann-hypotesen
• Introduktion til MathWorld
• Noter om Riemann-hypotesen og overskydende tal
• Mere om Robins RH-formulering