Praktisk nummer

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 10. november 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Et praktisk tal eller panaritmisk tal [1] er et positivt heltal n , således at alle mindre positive heltal kan repræsenteres som summen af forskellige divisorer af n . For eksempel er 12 et praktisk tal, da alle tal fra 1 til 11 kan repræsenteres som summen af divisorerne 1, 2, 3, 4 og 6 i dette tal - bortset fra divisorerne selv, har vi 5 = 3 + 2, 7 = 6 + 1, 8 = 6 + 2, 9 = 6 + 3, 10 = 6 + 3 + 1 og 11 = 6 + 3 + 2.

Rækkefølgen af praktiske tal (sekvens A005153 i OEIS ) begynder med

1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 104, 108, 112, 120, 126, 128, 132, 140, 144, 150....

Praktiske tal blev brugt af Fibonacci i sin bog Liber Abaci (1202) i forbindelse med problemet med at repræsentere rationelle tal som egyptiske brøker . Fibonacci definerede ikke formelt praktiske tal, men han gav en tabel med repræsentation af egyptiske brøker for brøker med praktiske nævnere [2] .

Navnet "praktisk nummer" blev givet af Srinivasan [3] . Han bemærkede, at "delingen af penge, vægt og andre mål ved hjælp af tal som 4, 12, 16, 20 og 28, som normalt er så ubelejlige, at de fortjener at blive erstattet af potenser af 10." Han genopdagede en række teoretiske egenskaber ved sådanne tal og var den første til at forsøge at klassificere disse tal, mens Stuart [4] og Sierpinski [5] fuldførte klassificeringen. At definere praktiske tal gør det muligt at afgøre, om et tal er praktisk ved at se på faktoriseringen af et tal. Ethvert lige perfekt tal og enhver potens af to er et praktisk tal.

Det kan påvises, at praktiske tal ligner primtal i mange henseender [6] .

Beskrivelse af praktiske tal

Srinivasans originale beskrivelse [3] siger, at et praktisk tal ikke kan være et utilstrækkeligt tal , det er et tal, hvis sum af alle divisorer (inklusive 1 og selve tallet) er mindre end det dobbelte af tallet, bortset fra en mangel lig med en. Hvis vi for et praktisk tal skriver et ordnet sæt af divisorer , hvor og , så kan Srinivasans udsagn udtrykkes ved uligheden $n$ ${d_{1},d_{2},...,d_{j))$ $d_{1}=1$ $d_{j}=n$

{\displaystyle 2n\leqslant 1+\sum _{i=1}^{j}d_{i))

Med andre ord skal den ordnede sekvens af alle divisorer af et praktisk tal være en komplet undersekvens . ${d_{1}<d_{2}<...<d_{j))$

Denne definition blev udvidet og afsluttet af Stuart [4] og Sierpinski [5] , som viste, at bestemmelsen af, om et tal er praktisk, bestemmes af dets faktorisering til primfaktorer . Et positivt heltal større end et med en faktorisering (med stigende prim-divisorer sorteret ) er praktisk, hvis og kun hvis hver af dens prim-divisorer er lille nok til at have en repræsentation som en sum af mindre divisorer. For at dette er sandt, skal det første primtal være lig med 2, og for enhver i fra 2 til k , for hvert efterfølgende primtal , skal uligheden holde $n=p_{1}^{\alpha _{1}}...p_{k}^{\alpha _{k}}$ ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\dots <p_{k))$ $p_{i}$ $p_{i}-1$ $p_{1}$ $p_{i}$

p_{i}\leqslant 1+\sigma (p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\dots p_{i-1}^{ \alpha _{i-1)))=1+\prod _{j=1}^{i-1}{\frac {p_{j}^{\alpha _{j}+1}-1}{ p_{j}-1}},

hvor betyder summen af divisorerne af tallet x . For eksempel er det praktisk, fordi uligheden gælder for hver primtal divisor: og . $\sigma (x)$ $2\times 3^{2}\times 29\times 823=429606$ $3\leqslant \sigma (2)+1=4.29\leqslant \sigma (2\gange 3^{2})+1=40$ $823\leqslant \sigma (2\ gange 3^{2}\ gange 29)+1=1171$

Ovenstående betingelse er nødvendig og tilstrækkelig. I én retning er denne betingelse nødvendig for at kunne repræsentere n som en sum af divisorer , for hvis uligheden blev overtrådt, ville tilføjelse af alle de mindre divisorer give en sum for lille til at få . I den anden retning er tilstanden tilstrækkelig, hvilket kan opnås ved induktion. Mere strengt, hvis dekomponeringen af tallet n opfylder ovenstående betingelse, så kan ethvert tal repræsenteres som summen af divisorerne af tallet n efter følgende trin [4] [5] : $p_{i}-1$ $p_{i}-1$ $m\leqslant \sigma (n)$

Lad , og lad . $q=\min\{\lgulv m/p_{k}^{\alpha _{k))\rgulv ,\sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k))\}$ $r=m-qp_{k}^{\sigma _{k))$
Da det kan vises ved induktion, hvilket er praktisk, kan vi finde en repræsentation af q som summen af divisorer . $q\leqslant \sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k)))$ $n/p_{k}^{\alpha _{k))$ $n/p_{k}^{\alpha _{k))$
Da det kan vises ved induktion, hvilket er praktisk, kan vi finde en repræsentation af r som en sum af divisorer af . $r\leqslant \sigma (n)-p_{k}^{\alpha _{k))\sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k)))=\sigma (n/ p_{k})$ ${\displaystyle n/p_{k))$ ${\displaystyle n/p_{k))$
Divisorrepræsentationen af r danner sammen med koefficienten for hver divisor af divisorrepræsentationen af q tilsammen repræsentationen af m som summen af divisorerne af n . $p_{k}^{\alpha _{k))$

Egenskaber

Det eneste ulige praktiske tal er 1, for hvis n > 2 er et ulige tal, så kan 2 ikke udtrykkes som summen af forskellige divisorer af n . Srinivasan [3] bemærkede, at andre praktiske tal end 1 og 2 er delelige med 4 og/eller 6.
Produktet af to praktiske tal er også et praktisk tal [7] . Et stærkere udsagn, det mindste fælles multiplum af to praktiske tal, er også et praktisk tal. Tilsvarende er mængden af alle praktiske tal lukket under multiplikation.
Det kan ses af Stewart og Sierpinskis beskrivelse af tal, at i det tilfælde, hvor n er et praktisk tal, og d er en af dets divisorer, skal n*d også være et praktisk tal.
I sættet af alle praktiske tal er der et sæt af praktiske primtal. Et praktisk primtal er enten et praktisk og kvadratfrit tal eller et praktisk tal, og når det divideres med en hvilken som helst af dets primtal divisorer, hvis eksponent i nedbrydningen er større end 1, ophører med at være praktisk. Rækkefølgen af praktiske primtal (sekvens A267124 i OEIS ) begynder med

1, 2, 6, 20, 28, 30, 42, 66, 78, 88, 104, 140, 204, 210, 220, 228, 260, 272, 276, 304. 348, 364, 368, 380, 390, 414, 460...

Relation til andre klasser af tal

Flere andre bemærkelsesværdige sæt af heltal består udelukkende af praktiske tal:

Ud fra egenskaberne ovenfor, for et praktisk tal n og en af dets divisorer d (dvs. d | n ), skal n*d også være et praktisk tal, så enhver potens af 3 gange 6 skal også være et praktisk tal. da 6 er enhver potens af 2.
Enhver potens af to er et praktisk tal [3] . En topotens opfylder trivielt beskrivelsen af praktiske tal i form af heltalsfaktorisering - alle primtal i talfaktoriseringen, p 1 , er lig med to, hvilket er det, der kræves.
Ethvert lige perfekt tal er også et praktisk tal [3] . Det følger af Eulers resultat , at et lige perfekt tal skal være af formen . Den ulige del af denne udvidelse er lig med summen af divisorerne af den lige del, så enhver ulige primtal divisor af et sådant tal må ikke være større end summen af divisorerne af den lige del af tallet. Dette tal skal således opfylde beskrivelsen af praktiske tal. $2^{n-1}(2^{n}-1)$
Ethvert urtal (produktet af de første i - primtal for et eller andet tal i ) er et praktisk tal [3] . For de to første primorials, to og seks, er dette klart. Hvert successivt primtal dannes ved at gange primtallet p i med et mindre primtal, der er deleligt med både 2 og det foregående primtal . Ifølge Bertrands postulat , således at hver forudgående prime divisor af primorialen er mindre end en af divisorerne af den foregående primorial. Ved induktion følger det, at enhver primorial opfylder beskrivelsen af praktiske tal. Da urtallet per definition er firkantfrit, er det også et praktisk primtal. $p_{i-1}$ $p_{i}<2p_{i-1}$
Ved at generalisere primtallene skal ethvert tal, der er et produkt af ikke-nul potenser af de første k primtal, være praktisk. Dette sæt inkluderer supersammensatte Ramanujan- tal (tal med et antal divisorer, der er større end et hvilket som helst mindre positivt tal), såvel som fakulteter [3] .

Praktiske tal og egyptiske brøker

Hvis n er praktisk, så kan ethvert rationelt tal på formen m / n med m < n repræsenteres som en sum , hvor alle d i er distinkte divisorer af n . Hvert led i denne sum reduceres til en brøkdel af én , således at en sådan sum giver repræsentationen af tallet m / n som en egyptisk brøk . For eksempel, $\sum {\tfrac {d_{i}}{n}}$

{\frac {13}{20}}={\frac {10}{20}}+{\frac {2}{20}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{20}}.

Fibonacci giver i sin bog fra 1202 Liber Abaci [2] nogle metoder til at finde repræsentationen af et rationelt tal som en egyptisk brøk. Af disse er den første metode at kontrollere, om tallet allerede er en brøkdel af en, og den anden metode er at repræsentere tælleren som summen af divisorerne af nævneren, som beskrevet ovenfor. Denne metode garanterer kun succes, når nævneren er et praktisk tal. Fibonacci gav tabeller over sådanne repræsentationer for brøker med de praktiske tal 6, 8, 12, 20, 24, 60 og 100 som nævnere.

Vause [8] viste, at ethvert tal x / y kan repræsenteres som en egyptisk brøk med led. Beviset bruger søgningen efter en række praktiske tal n i med den egenskab, at ethvert tal mindre end n i kan skrives som summen af forskellige divisorer af n i . Så vælges i sådan, at u er delelig med y , hvilket giver kvotienten q og resten r . Det følger af dette valg, at . Efter at have udvidet tællerne på højre side af formlen til summen af divisorerne af tallet n i , får vi repræsentationen af tallet i form af en egyptisk brøk. Tenenbaum og Yokota [9] brugte en lignende teknik ved at bruge en anden række praktiske tal for at vise, at ethvert tal x / y har en egyptisk brøkrepræsentation, hvor den største nævner er . $\scriptstyle O({\sqrt {\log y)))$ $\scriptstyle O({\sqrt {\log n_{i-1))})$ ${\displaystyle n_{i-1}<y\leqslant n_{i))$ ${\displaystyle xn_{i))$ $\scriptstyle {\frac {x}{y}}={\frac {q}{n_{i}}}+{\frac {r}{yn_{i}}}$ $\scriptstyle O({\frac {y\log ^{2}y}{\log \log y)))$

Ifølge formodningen fra september 2015 af Chih-Wei Sun [10] har ethvert positivt rationelt tal en egyptisk brøkrepræsentation, hvor enhver nævner er et praktisk tal. Der er et bevis på formodningen i David Eppsteins blog [11] .

Primtalsanalogi

En grund til interessen for praktiske tal er, at mange af deres egenskaber ligner primtals egenskaber . Desuden er sætninger, der ligner Goldbach-formodningen og tvillingeformodningen , kendt for praktiske tal - ethvert positivt lige tal er summen af to praktiske tal, og der er uendeligt mange tripletter af praktiske tal [12] . Giuseppe Melfi viste også, at der er uendeligt mange praktiske Fibonacci-numre (sekvens A124105 i OEIS ). Et lignende spørgsmål om eksistensen af et uendeligt antal Fibonacci-primtal forbliver åbent. Houseman og Shapiro [13] viste, at der altid er et praktisk tal i intervallet for ethvert positivt reelt x , som er analogen til Legendres formodning for primtal. $x-2,x,x+2$ $[x^{2},(x+1)^{2}]$

Lad p ( x ) tælle antallet af praktiske tal, der ikke overstiger x . Margenstern [14] formodede, at p ( x ) asymptotisk er lig med cx /log x for en eller anden konstant c , som ligner formlen i primtalssætningen og forstærker et tidligere udsagn af Erdős og Loxton [15] om, at praktiske tal har tæthed nul i sættet af heltal. Sayes [16] beviste, at for passende konstanter c 1 og c 2

c_{1}{\frac {x}{\log x}}<p(x)<c_{2}{\frac {x}{\log x)),

Endelig beviste Weingartner [17] Margensterns formodning ved at vise det

p(x)={\frac {cx}{\log x}}\left(1+O\!\left({\frac {\log \log x}{\log x}}\right) \ret),

for og nogle konstante . $x\geqslant 3$ $c>0$

Noter

↑ Margenstern ( Margenstern 1991 ), der citerer Robinson ( Robinson 1979 ) og Heyworth ( Heyworth 1980 ), bruger navnet "panaritmiske tal".
↑ 12 Sigler , 2002 .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Srinivasan, 1948 .
↑ 1 2 3 Stewart, 1954 .
↑ 1 2 3 Sierpiński, 1955 .
↑ Hausman, Shapiro (1984 ); Margenstern (1991 ); Melfi (1996 ) Saias (1997 ).
↑ Margenstern (1991) .
↑ Vose, 1985 .
↑ Tenenbaum, Yokota, 1990 .
↑ En formodning om enhedsbrøker, der involverer primtal (link ikke tilgængeligt) . Hentet 30. maj 2018. Arkiveret fra originalen 19. oktober 2018. (ubestemt)
↑ 0xDE: Egyptiske brøker med praktiske nævnere . Hentet 30. maj 2018. Arkiveret fra originalen 2. januar 2019. (ubestemt)
↑ Melfi, 1996 .
↑ Hausman, Shapiro, 1984 .
↑ Margenstern, 1991 .
↑ Erdős, Loxton, 1979 .
↑ Saias, 1997 .
↑ Weingartner, 2015 .

Litteratur

Paul Erdős , Loxton JH Nogle problemer i partitio numerorum // Journal of the Australian Mathematical Society (Serie A). - 1979. - T. 27 , no. 03 . — S. 319–331 . - doi : 10.1017/S144678870001243X .
Heyworth MR Mere om panaritmiske tal // New Zealand Math. Mag.. - 1980. - T. 17 , no. 1 . — S. 24–28 . . Som citeret i Margenstern ( 1991 ).
Miriam Hausman, Harold N. Shapiro. Om praktiske tal // Meddelelser om ren og anvendt matematik . - 1984. - T. 37 , no. 5 . — S. 705–713 . - doi : 10.1002/cpa.3160370507 .
Maurice Margenstern. Résultats et conjectures sur les nombres pratiques // Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I. - 1984. - Vol. 299 , no. 18 . — S. 895–898 . Som citeret i Margenstern ( 1991 ).
Maurice Margenstern. Les nombres pratiques: teorier, observationer og formodninger // Journal of Number Theory . - 1991. - T. 37 , no. 1 . — S. 1–36 . - doi : 10.1016/S0022-314X(05)80022-8 .
Giuseppe Melfi. På to formodninger om praktiske tal // Journal of Number Theory. - 1996. - T. 56 , no. 1 . — S. 205–210 . - doi : 10.1006/jnth.1996.0012 .
Dragoslav S. Mitrinovic, József Sandor, Borislav Crstici. III.50 Praktiske tal // Håndbog i talteori, bind 1. - Kluwer Academic Publishers, 1996. - Vol. 351. - S. 118–119. - (Matematik og dens anvendelser). - ISBN 978-0-7923-3823-9 .
Robinson DF Egyptiske brøker via græsk talteori // New Zealand Math. Mag.. - 1979. - T. 16 , no. 2 . — s. 47–52 . . Som citeret i Margenstern ( 1991 ) og Mitrinovic Mitrinović , Sándor & Crstici (1996 ).
Entiers à diviseurs denses, I // Journal of Number Theory. - 1997. - T. 62 , no. 1 . — S. 163–191 . - doi : 10.1006/jnth.1997.2057 .
Fibonaccis Liber Abaci / Laurence E. Sigler (oversættelse). - Springer-Verlag, 2002. - S. 119-121 . — ISBN 0-387-95419-8 .
Waclaw Sierpinski . Sur une propriété des nombres naturels // Annali di Matematica Pura ed Applicata. - 1955. - T. 39 , no. 1 . — S. 69–74 . - doi : 10.1007/BF02410762 .
Srinivasan AK Praktiske tal // Aktuel videnskab . - 1948. - T. 17 . — S. 179–180 .
Stewart BM Summer af distinkte divisorer // American Journal of Mathematics . - The Johns Hopkins University Press, 1954. - V. 76 , no. 4 . — S. 779–785 . - doi : 10.2307/2372651 . — .
Tenenbaum G., Yokota H. Længde og nævnere af egyptiske brøker // Journal of Number Theory. - 1990. - T. 35 , no. 2 . — S. 150–156 . - doi : 10.1016/0022-314X(90)90109-5 .
Vose M. Egyptiske brøker // Bulletin of the London Mathematical Society . - 1985. - T. 17 , no. 1 . - S. 21 . - doi : 10.1112/blms/17.1.21 .
Weingartner A. Praktiske tal og fordelingen af divisorer // The Quarterly Journal of Mathematics. - 2015. - T. 66 , no. 2 . — S. 743–758 . - doi : 10.1093/qmath/hav006 . - arXiv : 1405.2585 .

Links

Tabeller med praktiske tal Arkiveret 26. december 2017 på Wayback Machine udarbejdet af Giuseppe Melfi.
Praktisk nummer (engelsk) på PlanetMath-webstedet .
Weisstein, Eric W. Praktisk nummer (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .

Klasser af naturlige tal

Beføjelser og
relaterede numre

Achilles
Grad 2
10 grader
12 grader
firkanter
Cuba
fjerde grader
Femte grad
Perfekt grad
Fuld multiple
Potens af et primtal

Tal på formen
a × 2 b ± 1

Andre
polynomielle
tal

Rekursivt
definerede
tal

Sæt af tal
med specifikke
egenskaber

Udtrykt
i mængder

Ikke-hypotenuse
Praktisk
Principal semisimplet
Ulama
Wolsenholm

Fås
med en sigte

lykketal

Relaterede koder
_

Mirtens

krøllede tal

2-dimensionel

centreret _	trekantet firkant femkantet sekskantet sekskantet ottekantet ikke-kantet tikantet stjerneklar
off- center	trekantet firkant firkantet trekantet sekskantet ottekantet

3-dimensionel

centreret _	tetraedrisk kubik oktaedral dodekaedral icosahedral
off- center	tetraedrisk oktaedral dodekaedral icosahedral Stjerne-oktaedral
pyramideformet _	firkant femkantet sekskantet sekskantet

4-dimensionel

centreret _	pentakorisk trekantet i en firkant
off- center	pentatop

Pseudosimple

Carmichael
Catalana
elliptisk
Euler
Euler-Jacobi
Gård
Frobenius
Luca
Somera - Luca
stærkt pseudo-simpelt

kombinatoriske
tal

Klokkenumre
kage numre
Catalana
Dedekind
Delanoya
Euler
Fussa - Catalana
central polygonal
Lobba
Motzkin numre
Narayana
Antal Bell-bestillinger
Schroeder-numre
Schroeder - Hipparchus

Aritmetiske
funktioner

σ( n )	overflødig næsten perfekt aritmetik kolossalt overflødig Descartes halvperfekte tal meget overflødige tal høje komponenttal hyperperfekte tal multiperfekte tal engageret praktisk primitivt overflødigt lidt overflødig tau tal majestætiske tal overflod af tal supersammensatte tal superperfekte tal
Ω( n )	næsten simpelt halvsimpelt
φ( n )	meget kovalent høj-totient perfekt totient lidt totient
s( n )	venlige beskæftiget utilstrækkelig semi-perfekt

Euklid
formuetal

Ved divisorer

Andre prime
divisorer eller
relateret
til delelighed

Underholdende
matematik

Talsystemer _	automorfe tal cyklisk Osiris Dudeni lige cifre ekstravagant Factorion Friedman tilfreds Nivena Kita Lichrel beløb med manglende ciffer Armstrong palindromisk pandigital parasitisk skadelig magisk primitiv repdigits genforeninger selvgenereret selvbeskrivende Smarandsha - Wellena strengt ikke-palindromisk skiftere forskydning trimorfe bølget vampyrer

Aronson sekvens
pandekage numre

Tal efter delelighedskarakteristika
Generel information	Faktorisering af heltal Delbarhed enhedsdivisor Divisor funktion primtal Grundlæggende sætning for aritmetik Aritmetisk tal
Faktoriseringsformer	primtal Komposit nummer Semiprime rektangulært tal Sphenisk tal Kvadratløst tal Fuld multiple Perfekt grad Achilles nummer glat nummer Almindelig nummer groft tal usædvanligt antal
Med begrænsede divisorer	perfekt tal Lidt utilstrækkelige tal Lidt overflødige tal Multiperfekt tal Hemiperfekte tal hyperperfekt tal super perfekt nummer enhedsprimtal semiperfekt tal pararytmisk tal Erdős-Nicolas nummer
Tal med mange divisorer	Overskydende tal Primitive overskydende tal Meget overflødige tal Super redundante numre Enormt overflødige tal supersammensat tal Et meget supersammensat tal mærkeligt nummer
Relateret til aliquot -sekvenser	helligt tal venlige tal offentlige numre Kvasivenlige tal
Andet	Ikke nok tal ven tal sublimerede tal Malmtal ydmygt nummer Lige cifre ekstravagant nummer