Cycloid
Cycloid (fra græsk κυκλοειδής "rund") - en flad transcendental kurve .
En cykloid defineres kinematisk som banen for et fast punkt i en genererende cirkel (med radius ), der ruller uden glid langs en lige linje .
Ligninger
Lad os tage den vandrette koordinatakse som en ret linje, langs hvilken den genererende cirkel med radius ruller . Cycloid er beskrevet som:
- parametrisk .
- ligning i kartesiske koordinater .
- som løsning på en differentialligning .
Egenskaber
- Cycloid er en periodisk funktion langs abscissen, med en periode . Det er praktisk at tage entalspunkter ( spidspunkter ) af formen , hvor er et vilkårligt heltal, for periodens grænser.
- For at tegne en tangent til cykloiden ved dets vilkårlige punkt A , er det nok at forbinde dette punkt med det øverste punkt i den genererende cirkel. Forbinder A til det laveste punkt i den genererende cirkel, får vi normalen .
- Længden af cykloidbuen er . Denne ejendom blev opdaget af Christopher Wren ( 1658 ). Afhængigheden af cykloidbuelængden(e) af parameteren t er som følger [1] : .
- Arealet under hver bue af cykloiden er tre gange større end arealet af den genererende cirkel. Torricelli sagde, at Galileo opdagede dette faktum eksperimentelt: han sammenlignede vægten af pladerne med en cirkel og med en bue af en cykloid. [2] Matematisk blev denne kendsgerning først bevist af Roberval omkring 1634 ved hjælp af metoden med udelelige .
- Krumningsradius af den første bue af cycloiden er .
- En "omvendt" cykloid er en kurve med den stejleste nedstigning ( en brachistochrone ). Desuden har den også egenskaben af tautokronisme : en tung krop placeret på et hvilket som helst punkt af cykloidbuen når vandret på samme tid.
- Oscillationsperioden for et materialepunkt , der glider langs en omvendt cykloid, afhænger ikke af amplituden . (Øjeblikkelig konsekvens af tautokronisme).
- Udviklingen af en cykloid er en cykloid, der er kongruent med den oprindelige og forskudt parallelt med den oprindelige, så toppunkterne bliver til " punkter ".
- De sidste to egenskaber opdaget af Huygens blev brugt af ham til at skabe nøjagtige mekaniske ure .
- Maskindele, der samtidigt udfører ensartede rotations- og translationsbevægelser, beskriver cykloidale kurver : cycloid, epicycloid , hypocycloid , trochoid , astroid ( jf. konstruktionen af Bernoullis lemniscat ).
Historisk disposition
De første videnskabsmænd, der var opmærksomme på cykloiden, var Nicholas af Cusa i det 15. århundrede og Charles de Beauvel i arbejdet i 1501. Men seriøs undersøgelse af denne kurve begyndte først i det 17. århundrede .
Navnet cycloid blev opfundet af Galileo (i Frankrig blev denne kurve først kaldt roulette ). En meningsfuld undersøgelse af cycloiden blev udført af en samtidig af Galileo Mersenne . Blandt transcendentale kurver (det vil sige kurver, hvis ligning ikke kan skrives som et polynomium i ), er cycloiden den første, der studeres.
Pascal skrev om cykloiden [3] [4] :
Roulette er en linje så almindelig, at der efter den lige linje og cirklen ikke er mere fælles linje; det tegnes så ofte for alles øjne, at man må undre sig over, at de gamle ikke overvejede det ... for dette er ikke andet end en sti beskrevet i luften af et hjulsøm ...
Originaltekst (fr.)[ Visskjule] La Roulette est une ligne si commune, qu'apres la droitte, & la circulaire, il n'y en a point de si frequente; Et elle se décrit si fouuent aux yeux de tout le monde, qu'il ya lieu de s'estonner qu'elle n'ait point esté considerée par les anciens, dans lesquels on n'en trouue rien : Car ce n'est autre valgte que le chemin que fait en l'air, le clou d'une rouë...Den nye kurve vandt hurtigt popularitet og blev udsat for dyb analyse, hvor Descartes , Fermat , Newton , Leibniz , brødrene Jacob og Johann Bernoulli og andre videnskabsmænd fra det 17.-18. århundrede deltog. På cycloid blev metoderne til matematisk analyse , der dukkede op i disse år, aktivt finpudset .
Det faktum, at den analytiske undersøgelse af cykloiden viste sig at være lige så vellykket som analysen af algebraiske kurver gjorde et stort indtryk og blev et vigtigt argument til fordel for "udligning af rettigheder" af algebraiske og transcendentale kurver.
Se også
Noter
- ↑ Arkhipov G.I. , Sadovnichiy V.A. , Chubarikov V.N. Forelæsninger om matematisk analyse / Red. V. A. Sadovnichy. - 2. udg. - M . : Højere skole , 2000. - S. 261. - 695 s. - 8000 eksemplarer. — ISBN 5-06-003955-2 .
- ↑ Alexandrova N. V. Historie om matematiske termer, begreber, notation: Ordbogsopslagsbog, red. 3 . - Sankt Petersborg. : LKI, 2008. - S. 213 . — 248 s. - ISBN 978-5-382-00839-4 .
- ↑ Klyaus E. M., Pogrebyssky I. B. , Frankfurt W. I. Pascal. - M .: Nauka , 1971. - S. 191. - ( Videnskabelig og biografisk litteratur ). — 10.000 eksemplarer.
- ↑ Pascal, Blaise. Histoire de la roulette, appellée autrement la trochoïde, ou la cycloïde, où l'on rapporte par quels degrez on est arrivé à la connoissance de la nature de cette ligne . 10. oktober 1658. S.1.
Litteratur
- Berman G. N. Cycloid. M., Nauka, 1980, 112 s.
- Gindikin S. G. Historier om fysikere og matematikere . - tredje udgave, udvidet. - M .: MTSNMO , 2001. - S. 126-165. — ISBN 5-900916-83-9 .
- Matematisk encyklopædi (i 5 bind) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 5.
- Markushevich A. I. Remarkable Curves , Popular Lectures in Mathematics , Issue 4, Nauka 1978 , s. 32.
Links
- Cycloidale kurver ( animation ).
| Kurver | |||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Definitioner | |||||||||||||||||||
| Forvandlet | |||||||||||||||||||
| Ikke-plan | |||||||||||||||||||
| Flad algebraisk |
| ||||||||||||||||||
| Flad transcendental |
| ||||||||||||||||||
| fraktal |
| ||||||||||||||||||