Prisme (geometri)

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 13. april 2022; verifikation kræver 1 redigering .

Mange ensartede prismer

Sekskantet prisme

Type

Ensartet polyeder

Ejendomme

vertex-transitiv
konveks polyhedron

Kombinatorik

Elementer

3 n kanter
2 n toppunkter

Facetter

I alt - 2+ n
2 {n}
n {4}

Vertex konfiguration

4.4.n

Dobbelt polyeder

Bipyramide

Scan

Klassifikation

Schläfli symbol

{n}×{} eller t {2, n }

Dynkin diagram

Symmetri gruppe

D n h , [ n ,2], (* n 22), rækkefølge 4 n

Mediefiler på Wikimedia Commons

Et prisme ( lat. prisma fra andet græsk πρίσμα "noget savet af") er et polyeder , hvis to flader er kongruente (lige) polygoner , der ligger i parallelle planer, og de resterende flader er parallellogrammer , der har fælles sider med disse polygoner. Disse parallelogrammer kaldes prismets sideflader , og de resterende to polygoner kaldes dets baser .

Polygonen, der ligger ved bunden, bestemmer navnet på prismet: trekant - trekantet prisme , firkantet - firkantet; femkant - femkantet ( pentaprisme ) osv.

Et prisme er et specialtilfælde af en cylinder i generel forstand (ikke-cirkulær).

Prismeelementer

Navn	Definition	Betegnelser på tegningen	Tegning
Fundamenter	To flader, der er kongruente polygoner, der ligger i planer parallelt med hinanden.	$ABCDE$ , $KLMNP$
Sideflader	Alle ansigter undtagen baser. Hver sideflade er nødvendigvis et parallelogram.	$ABLK$ , , , _ $BCML$ $CDNM$ $DEPN$ $EAKP$
Side overflade	Sammenflettede sideflader.
Fuld overflade	Forening af baser og lateral overflade.
Sideribber	Fælles sider af sidefladerne.	$AK$ , , , _ $BL$ $CM$ $DN$ $EP$
Højde	Et segment, der forbinder de planer, som prismets baser ligger i og vinkelret på disse planer.	$KR$
Diagonal	Et segment, der forbinder to hjørner af et prisme, som ikke hører til den samme flade.	$BP$
Diagonalt plan	Planet, der passerer gennem prismets sidekant og basens diagonal.	$EBP$
Diagonalt snit	Skæringspunktet mellem et prisme og et diagonalplan. Et parallelogram er dannet i sektionen, inklusive dets specielle tilfælde - en rombe, et rektangel, en firkant.	$EBLP$
Vinkelret (ortogonalt) snit	Skæringspunktet mellem et prisme og et plan vinkelret på dets sidekant.

Prisme-egenskaber

Prismets baser er lige store polygoner.
Prismets sideflader er parallellogrammer.
Prismets sidekanter er parallelle og lige store.
Rumfanget af et prisme er lig med produktet af dets højde og arealet af basen:

V=S\cdot h

Rumfanget af et prisme med en regulær n -gonal base er

V={\frac {n}{4}}hs^{2}\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{n}}

(her er længden af polygonens side).

Det samlede overfladeareal af et prisme er lig med summen af dets laterale overfladeareal og to gange basisarealet.
Arealet af sidefladen af et vilkårligt prisme , hvor er omkredsen af den vinkelrette sektion, er længden af sidekanten. $S=P\cdot l$ $P$ $l$
Arealet af den laterale overflade af et lige prisme , hvor er omkredsen af prismets basis, er prismets højde. $S=P\cdot h$ $P$ $h$
Arealet af den laterale overflade af et lige prisme med en regelmæssig n -gonal base er lig med

A={\frac {n}{2}}s^{2}\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{n}}+nsh.

Den vinkelrette sektion er vinkelret på alle sidekanter af prismet.
Vinklerne af et vinkelret snit er de lineære vinkler af de dihedrale vinkler ved de tilsvarende sidekanter.
Den vinkelrette sektion er vinkelret på alle sideflader.
Det dobbelte polyeder af et lige prisme er bipyramiden .

Typer af prismer

Et prisme, hvis basis er et parallelogram , kaldes et parallelepipedum .

Et lige prisme er et prisme, hvis sidekanter er vinkelrette på grundplanet, hvilket betyder, at alle sideflader er rektangler [1] .

Et ret rektangulært prisme kaldes også en cuboid . Schläfli-symbolet for et sådant prisme er { }×{ }×{ }.

Et regulært prisme er et lige prisme, hvis basis er en regulær polygon . Sidefladerne af et regulært prisme er lige store rektangler .

Et regulært prisme, hvis sideflader er firkanter (hvis højde er lig med siden af basen) er et semiregulært polyeder . Schläfli-symbolet for et sådant prisme er t{2,p}. Direkte prismer med regulære baser og de samme kantlængder danner en af to uendelige sekvenser af semiregulære polyedre ( antiprismer danner den anden sekvens ).

Skrå prismer kaldes prismer, hvis kanter ikke er vinkelrette på bundens plan.

Et afkortet prisme er et polyeder, der er afskåret fra prismet af et plan, der ikke er parallelt med bunden [2] . Et afkortet prisme er ikke i sig selv et prisme.

Schlegel-diagrammer

trekantet prisme	4-vinklet prisme	5-vinkel prisme	sekskantet prisme	7-vinklet prisme	ottekantet prisme

Symmetri

Symmetrigruppen af et ret n -gonalt prisme med en regulær base er gruppen D n h af orden 4 n , bortset fra kuben, som har symmetrigruppen O h af orden 48, der indeholder tre versioner af D 4h som undergrupper . Rotationsgruppen er D n af orden 2 n , undtagen i tilfælde af en terning, hvor rotationsgruppen er O af orden 24, som har tre versioner af D 4 som undergrupper.

Symmetrigruppen D n h inkluderer den centrale symmetri , hvis og kun hvis n er lige.

Generaliseringer

Prismatisk polyedre

Et prismatisk polyeder er en generalisering af et prisme i rum med dimension 4 og højere. Et n - dimensionelt prismatisk polyeder er konstrueret af to ( n − 1 )-dimensionelle polyedre flyttet til den næste dimension.

Elementerne i den prismatiske n - dimensionelle polytop fordobles fra elementerne i den ( n − 1 )-dimensionelle polytop, hvorefter nye elementer af det næste niveau skabes.

Lad os tage et n - dimensionelt polyeder med elementer ( i - dimensionelt ansigt , i = 0, …, n ). Et prismatisk ( )-dimensionelt polyeder vil have elementer af dimension i (for , ). $f_{i}$ $n+1$ ${\displaystyle 2f_{i}+f_{-1))$ $f_{-1}=0$ $f_{n}=1$

Efter dimensioner:

Vi tager en polygon med n hjørner og n sider. Vi får et prisme med 2 n hjørner, 3 n kanter og flader. $2+n$
Tag et polyeder med v hjørner, e kanter og f flader. Vi får et (4-dimensionelt) prisme med 2 v hjørner, kanter, flader og celler. $2e+v$ $2f+e$ $2+f$
Tag et 4-dimensionelt polyeder med v - spidser, e - kanter, f - flader og c - celler. Vi får et (5-dimensionelt) prisme med 2 v hjørner, kanter, (2-dimensionelle) flader, celler og hyperceller. $2e+v$ $2f+e$ $2c+f$ $2+c$

Ensartet prismatisk polyedre

En regulær n - polytop repræsenteret af Schläfli-symbolet { p , q , ..., t } kan danne en ensartet prismatisk polytop af dimension ( n +1 ) repræsenteret ved det direkte produkt af to Schläfli-symboler : { p , q ,. .., t } ×{}.

Efter dimensioner:

Et prisme fra et 0-dimensionelt polyeder er et linjestykke repræsenteret af det tomme Schläfli-symbol {}.
Et prisme fra et 1-dimensionelt polyeder er et rektangel opnået fra to segmenter. Dette prisme er repræsenteret som et produkt af Schläfli-symbolerne {}×{}. Hvis prismet er et kvadrat , kan notationen forkortes: {}×{} = {4}.
- Eksempel: Kvadrat, {}×{}, to parallelle segmenter forbundet med to andre segmenter, sider .
Et polygonalt prisme er et 3-dimensionelt prisme lavet af to polygoner (den ene opnået ved parallel translation af den anden), der er forbundet med rektangler. Fra en regulær polygon { p } kan du få et homogent n -gonalt prisme, repræsenteret ved produktet { p }×{}. Hvis p = 4 , bliver prismet en terning : {4}×{} = {4, 3}.
- Eksempel: Femkantet prisme , {5}×{}, to parallelle femkanter forbundet med fem retvinklede sider .
Et 4-dimensionelt prisme opnået fra to polyedre (det ene opnået ved parallel translation af det andet), med forbindende 3-dimensionelle prismatiske celler. Fra et regulært polyeder { p , q } kan man opnå et homogent 4-dimensionelt prisme repræsenteret ved produktet { p , q }×{}. Hvis polyederet er en terning, og siderne af prismet også er terninger, bliver prismet en tesserakt : {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.
- Eksempel: dodekaedrisk prisme , {5, 3}×{}, to parallelle dodekaeder forbundet med 12 femkantede prismer ( sider ).
…

Højdimensionelle prismatiske polyedre eksisterer også som direkte produkter af to polyedre. Dimensionen af et prismatisk polyeder er lig med produktet af dimensionerne af produktets elementer. Det første eksempel på et sådant produkt findes i 4-dimensionelt rum og kaldes duoprismer , som opnås ved at gange to polygoner. Regulære duoprismer er repræsenteret ved symbolet { p }×{ q }.

Familie af regulære prismer

Konfiguration	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	17.4.4	∞.4.4
Polygon
Mosaik

Snoet prisme og antiprisme

Et snoet prisme er et ikke-konveks prismatisk polyeder opnået fra en ensartet q -gonal ved at dividere sidefladerne med en diagonal og dreje den øverste base, normalt med en vinkel på radianer ( grader), i en retning, hvor siderne bliver konkave [3] [4] . ${\frac {\pi }{q}}$ ${\frac {180}{q))$

Et snoet prisme kan ikke brydes op i tetraedre uden at indføre nye hjørner. Det enkleste eksempel med trekantede baser kaldes Schoenhardt polyhedron .

Et snoet prisme er topologisk identisk med et antiprisme , men har halvdelen af symmetrierne : D n , [ n ,2] + , af størrelsesordenen 2 n . Dette prisme kan opfattes som et konveks antiprisme med tetraedrene fjernet mellem trekanterpar.

trekantet	firkantet		12-sidet
Schoenhardt polyeder	Snoet firkantet antiprisme	Firkantet antiprisme	Snoet dodekagonal antiprisme

Relaterede polyedre og flisebelægninger

Familie af regulære prismer

Konfiguration	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	17.4.4	∞.4.4
Polygon
Mosaik

Familie af konvekse kupler

n	2	3	fire	5	6
Navn	{2} \|\| t{2}	{3} \|\| t{3}	{4} \|\| t{4}	{5} \|\| t{5}	{6} \|\| t{6}
Kuppel	Diagonal kuppel	Tri-slope kuppel	Firehøjde kuppel	fem skråninger kuppel	Sekskantet kuppel (flad)
Beslægtede ensartede polyedre	trekantet prisme	Cuboctahedron	Rhombicubo- oktaeder	Rhombicos dodecahedron	Rhombotry - sekskantet mosaik

Symmetrier

Prismer er topologisk en del af en sekvens af ensartede afkortede polyedre med vertex-konfigurationer (3.2n.2n) og [n,3].

Symmetrimuligheder * n 32 trunkerede fliser: 3,2 n , 2 n
Symmetri * n 32 [n,3]	sfærisk				Euklidisk	Kompakt hyperbolsk.		Paracompact _	Ikke-kompakt hyperbolsk.
Symmetri * n 32 [n,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]
Afkortede figurer
Konfiguration	3.4.4	3.6.6	3.8.8	3.10.10	3.12.12	3.14.14	3.16.16	3.∞.∞	3.24i.24i	3.18i.18i	3.12i.12i
Delte figurer
Konfiguration	V3.4.4	V3.6.6	V3.8.8	V3.10.10	V3.12.12	V3.14.14	V3.16.16	V3.∞.∞

Prismerne er topologisk en del af en sekvens af skæve polyedre med toppunktsfigurer (3.4.n.4) og fliser på det hyperbolske plan . Disse vertex-transitive figurer har (*n32) spejlsymmetri .

Symmetrimuligheder * n 42 udvidede flisebelægninger: 3.4. n.4 _
Symmetri * n 32 [n,3]	sfærisk				Euklidisk	Kompakt hyperbolsk		Paracompact
Symmetri * n 32 [n,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
Figur
Konfiguration	3.4.2.4	3.4.3.4	3.4.4.4	3.4.5.4	3.4.6.4	3.4.7.4	3.4.8.4	3.4.∞.4

Sammensatte polyedre

Der er 4 ensartede forbindelser af trekantede prismer:

Forbindelse af fire trekantede prismer , forbindelse af otte trekantede prismer , forbindelse af ti trekantede prismer , forbindelse af tolv trekantede prismer . Honeycombs

Der er 9 ensartede honningkager , inklusive celler i form af trekantede prismer:

gyro-aflange alternerende kubiske honningkager ,
aflange vekslende kubiske honningkager ,
roterede trekantede prismatiske honningkager ,
snub firkantet prismatisk honeycomb ,
trekantede prismatiske honningkager ,
trekantede-sekskantede prismatiske honningkager ,
afkortede sekskantede prismatiske honningkager ,
rombotrihexagonal prismatisk honningkage ,
snævre sekskantede prismatiske honningkager ,
aflange trekantede prismatiske honningkager .

Relaterede polytoper

Det trekantede prisme er det første polyeder i rækken af semi-regulære polyedere . Hvert efterfølgende ensartede polyeder indeholder det foregående polyeder som en toppunktsfigur . Thorold Gosset identificerede denne serie i 1900 som indeholdende alle facetter af regulære multidimensionelle polyedre , alle simplicer og ortoplekser ( regulære trekanter og firkanter i tilfælde af trekantede prismer). I Coxeter- notation er et trekantet prisme givet ved symbolet −1 21 .

k 21 i et rum med dimension n
Plads	endelig						Euklidisk	hyperbolsk
E n	3	fire	5	6	7	otte	9	ti
Coxeter gruppe	E3=A2A1	E4=A4	E5=D5	E₆	E₇	E₈	E₉ = Ẽ₈ = E₈ +	E10 = T₈ = E₈ ++
Coxeter diagram
Symmetri	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[3 1,2,1 ]	[3 2,2,1 ]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
Bestille	12	120	192	51 840	2 903 040	696 729 600	∞
Kurve							-	-
Betegnelse	−1 21	0 21	1 21	221 [ da	3 21	4 21	5 21	6 21

Firedimensionelt rum

Det trekantede prisme tjener som en celle i et sæt 4-dimensionelle ensartede 4-dimensionelle polyedre , herunder:

tetraedrisk prisme	oktaedrisk prisme	cuboktaedrisk prisme	icosahedral prisme	icosidodecahedral prisme	trunkeret dodekaedrisk prisme

rhombicosi- dodecahedral prisme	rhombicube - oktaedrisk prisme	trunkeret kubisk prisme	snub dodecahedral prisme	n-gonalt antiprismatisk prisme

affaset 5-cellet	skrå-trunkeret 5-celle	høvlet 5-cellet	plov-trunkeret 5-celle	skrå tesseract	skrå-trunkeret tesseract	høvlet tesseract	plov-trunkeret tesseract

skrå 24-celler	skrå-trunkeret 24-celler	høvlet 24-celler	plov-trunkeret 24-celle	skrå 120-celler	skrå-trunkeret 120-celler	høvlet 120-celler	plov-trunkeret 120-celle

Se også

Noter

↑ Kern, Bland, 1938 , s. 28.
↑ Trunkeret prisme // Great Soviet Encyclopedia : [i 30 bind] / kap. udg. A. M. Prokhorov . - 3. udg. - M . : Sovjetisk encyklopædi, 1969-1978.
↑ Gorini, 2003 , s. 172.
↑ Tegninger af snoede prismer . Hentet 28. januar 2019. Arkiveret fra originalen 29. januar 2019. (ubestemt)

Litteratur

William F. Kern, James R. Bland. Solid Mensuration med beviser . - 1938.
Catherine A. Gorini. Fakta på filen: Geometrihåndbog. - New York: Infobase Publishing, 2003. - (Fakta på fil). - ISBN 0-8160-4875-4 .
Anthony Pugh. Kapitel 2: Arkimedean polyedre, prisma og antiprismer // Polyhedra: En visuel tilgang. - Californien: University of California Press Berkeley, 1976. - ISBN 0-520-03056-7 .

Links

Weisstein, Eric W. Prism (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
George Olshevsky . " Prismatisk polytop ". Ordliste for Hyperspace.
Ikke-konvekse prismer og antiprismer (downlink siden 12-03-2018 [1696 dage])
Overfladeareal MATHguide
Bind MATHguide
Papirmodeller af prismer og antiprismer
Papirmodeller af prismer og antiprismer Stella [ .
Stella: Polyhedron Navigator : Programmer til at skabe 3D- og 4D-billeder vist på denne side.

Polyeder

korrekt

Tredimensionelle (platoniske faste stoffer)	almindelig tetraeder terning Oktaeder Dodekaeder icosahedron
4D	Fem-celler tesseract Hexadecimal celle fireogtyve celler 120 celler Seks hundrede celler
Større dimension (angivet i parentes)	Almindelig simplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) Hyperoktaeder

Regelmæssig
ikke-konveks

Tredimensionel ved antallet af
ansigter (angivet i parentes)

Monohedron (1)
Dihedron (2)
Trihedron (3)
Tetraeder (4)
Pentahedron (5)
Hexahedron (6)
Heptahedron (7)
Oktaeder (8)
Enneahedron (9)
Dekaeder (10)
Endecahedron (11)
Dodekaeder (12)
Tridecahedron (13)
Tetradecahedron (14)
Pentadekaeder (15)
Hexadekaeder (16)
Heptadekaeder (17)
Octadecahedron (18)
Enneadekaeder (19)
Icosahedron (20)
Icosotetrahedron (24)
Triacontahedron (30)
Hexacontahedron (60)
Enneacontahedron (90)
Hectotriadiohedron (132)
Apeirohedron (∞)

konveks

Arkimediske faste stoffer

catalanske kroppe

Prismer
trekantet prisme firkantet prisme Femkantet prisme Sekskantet prisme Heptagonal prisme Ottekantet prisme Ni-vinklet prisme Tikantet prisme Ellevvinklet prisme Todekagonalt prisme

Johnson polyeder

Formler ,
teoremer ,
teorier

Andet