Asymptote

Asymptote , eller asymptote [1] (fra andet græsk ἀσύμπτωτος - ikke-sammenfaldende, rører ikke en kurve med en uendelig gren) - en ret linje med den egenskab, at afstanden fra et punkt i kurven til denne rette linje har en tendens til nul, når punktet fjernes langs grenen til det uendelige [2] . Udtrykket dukkede første gang op hos Apollonius af Perga , selvom hyperbelens asymptoter blev undersøgt af Archimedes [3] .

Typer af asymptoter af grafer

Lodret

Formens rette linje er en lodret asymptote, når mindst en af lighederne er opfyldt: $x=a$

$\lim _{x\to a^{-}}f(x)=\pm \infty$
$\lim _{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty$ .

Der kan være et hvilket som helst antal lodrette asymptoter.

Linjen kan ikke være en lodret asymptote, hvis funktionen er kontinuerlig ved . Derfor bør lodrette asymptoter søges ved funktionens diskontinuitetspunkter. $-en$

Vandret og skråt

En skrå asymptote er en ret linje af formen, hvis mindst en af lighederne er opfyldt: $y=kx+b$

$\lim _{x\to +\infty }(f(x)-kx)=b$
$\lim _{x\to -\infty }(f(x)-kx)=b$ .

Desuden, hvis den første betingelse er opfyldt, så siger de, at denne linje er en asymptote ved , og hvis den anden, så en asymptote ved [4] . $x \to + \infty$ $x \til - \infty$

Hvis , så kaldes asymptoten også vandret . $k=0$

Note 1: Antallet af skrå asymptoter for en funktion kan ikke være mere end to: en for og en for , men den kan have en eller slet ingen. $x \to + \infty$ $x \til - \infty$

Note 2: Nogle kilder inkluderer kravet om, at kurven ikke skærer denne linje i nærheden af uendeligheden [5] .

Note 3: I nogle tilfælde, såsom algebraisk geometri, er en asymptote defineret som en ret linje, der er "tangent" til kurven ved uendelig [5] .

Find asymptoter

Rækkefølgen for at finde asymptoter

At finde diskontinuitetspunkter, vælge punkter, hvor der er en lodret asymptote (ved direkte verifikation af, at grænsen på dette punkt er uendelig).
Kontrollerer om grænserne og ikke er endelige . Hvis ja, så er der en vandret asymptote for hhv . $\lim _{x\to +\infty }f(x)=b$ $\lim _{x\to -\infty }f(x)=b$ $y=b$ $+\infty$ $-\infty$
At finde to grænser $\lim_{x \to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=k$
Finder to grænser , hvis mindst en af grænserne i afsnit 3 eller 4 ikke eksisterer (eller er lig med ), så eksisterer den skrå asymptote ved (eller ) ikke. $\lim_{x \to \pm \infty}(f(x)-kx)=b$ $\pm\infty$ $x \to + \infty$ $x \til - \infty$

Skrå asymptote - valg af heltalsdelen

Den skrå asymptote kan også findes ved at udtrække heltalsdelen. For eksempel:

Givet en funktion . $f(x)={\frac {2x^{3}+5x^{2}+1}{x^{2}+1))$

Ved at dividere tælleren med nævneren får vi : $f(x)=2x+5+{\frac {-2x-4}{x^{2}+1}}=2x+5+(-2)\cdot {\frac {x+2} {x^{2}+1}}$

ved , , $x\to \pm \infty$ $\frac{x+2}{x^2+1} \til 0$

og er den ønskede skrå asymptote-ligning, og på begge sider. $y=2x+5$

Egenskaber

Blandt keglesnit er det kun hyperbler , der har asymptoter . Hyperbelens asymptoter som et keglesnit er parallelle med keglens generatorer, der ligger i det plan, der går gennem keglens toppunkt parallelt med sekantplanet [6] . Den maksimale vinkel mellem hyperbelens asymptoter for en given kegle er lig med keglens åbningsvinkel og opnås med et sekantplan parallelt med keglens akse.

Se også

Asymptotisk kurve

Noter

↑ Dobbelt stress er angivet i den sovjetiske encyklopædiske ordbog. I ordbøgerne fra det 19. og første halvdel af det 20. århundrede (for eksempel i bogen: Dictionary of Foreign Words / Redigeret af I.V. Lyokhin og Prof. F.N. Petrov. - M . : State Publishing House of Foreign and National. dictionaries, 1955. - s. 77. - 856 s. ), blev den eneste variant af stress-"asymptoten" angivet.
↑ Matematisk encyklopædi (i 5 bind) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 1.
↑ Mathematical Encyclopedic Dictionary Arkiveksemplar dateret 1. august 2013 på Wayback Machine - M . : Soviet Encyclopedia, 1988. - 847 s.
↑ Kudryavtsev L. D. Kursus i matematisk analyse. - 5. udg. - M . : "Business Bustard", 2003. - T. 1. - S. 374-375. - 704 s. - ISBN 5-7107-4119-1 .
↑ 1 2 "Asymptoter" af Louis A. Talman
↑ Taylor C. Geometriske kegler; Inklusive anharmonisk forhold og projektion, med talrige eksempler . - Cambridge: Macmillan , 1863. - s. 170.

Litteratur

Rashevsky P.K. Kursus i differentialgeometri, 4. udg. M., 1956.
Grafer over funktioner: En håndbog / Virchenko N. A., Lyashko I. I., Shvetsov K. I. - Kyiv: Nauk. Dumka, 1979, - 320 s.