Lissajous figurer

Lissajous-figurer  er baner tegnet af et punkt, der samtidigt udfører to harmoniske svingninger i to indbyrdes vinkelrette retninger.

Først studeret af den franske videnskabsmand Jules Antoine Lissajous .

Beskrivelse

Figurernes form afhænger af forholdet mellem perioderne ( frekvenser ), faser og amplituder af begge oscillationer. I det simpleste tilfælde af lighed af begge perioder er figurerne ellipser, som med en faseforskel på 0 eller degenererer til linjestykker, og med en faseforskel og amplitudlighed bliver til en cirkel.

Hvis perioderne for begge oscillationer er tætte, ændres faseforskellen lineært, hvilket resulterer i, at den observerede ellipse deformeres hele tiden. Dette fænomen bruges i elektronik til at sammenligne frekvenser og justere den ene frekvens til den anden - referencefrekvensen.

Med perioder med svingninger, der adskiller sig mange gange i størrelse, er Lissajous-figurer et forvirrende billede og observeres for eksempel ikke på en oscilloskopskærm - i dette tilfælde observeres et lysende rektangel.

Hvis forholdet mellem perioderne er et rationelt tal , så vender det bevægelige punkt efter et tidsrum svarende til det mindste multiplum af begge perioder tilbage til sin oprindelige position igen, og med punktets hastighedsvektor faldende sammen med den oprindelige , hvilket resulterer i lukkede baner. Hvis forholdet mellem perioder er et irrationelt tal , genereres ikke-lukkede baner.

Lissajous-figurer er indskrevet i et rektangel, hvis centrum falder sammen med oprindelsen , og siderne er parallelle med koordinatakserne og placeret på begge sider af dem i afstande svarende til amplituderne af svingningerne.

Matematisk udtryk for Lissajous-kurven

Afhængigheden af ​​x- og y -koordinater på tidspunktet t er beskrevet af systemet

hvor A , B  er oscillationsamplituder, a , b  er frekvenser, δ  er faseforskydning.

Formen på kurven afhænger stærkt af forholdet a / b . Når forholdet er 1, ser Lissajous-figuren ud som en ellipse, under visse forhold ligner den en cirkel ( A = B , δ = π /2 radianer ) og et ret linjestykke ( δ = 0).

Et andet eksempel på en Lissajous-figur er en parabel ( b / a = 2, δ = π/4). Med andre forhold er Lissajous-tal mere komplekse tal, der er lukkede, forudsat at a / b  er et rationelt tal .

Lissajous-tal, hvor a = 1, b = N ( N  er et naturligt tal ) og

er Chebyshev polynomier af den første slags grad N (se deres trigonometriske definition ).

Eksempler

Animationen viser ændringen af ​​kurverne ved δ = 0 og et konstant stigende a / b -forhold fra 0 til 1 i trin på 0,01:

Eksempler på Lissajous-figurer med δ = π /2, et ulige naturligt tal a , og også et naturligt tal b , og | a − b | = 1:

Tekniske applikationer - frekvenssammenligninger

Hvis signaler med tætte frekvenser påføres indgangene "X" og "Y" på oscilloskopet , kan Lissajous-tallene ses på skærmen. Denne metode bruges i vid udstrækning til at sammenligne frekvenserne af to signalkilder og til at indstille en kilde til en andens frekvens. Når frekvenserne er tæt på, men ikke ens med hinanden, roterer figuren på skærmen, og rotationscyklusperioden er den gensidige af frekvensforskellen, for eksempel med en rotationsperiode på 2 sekunder, er forskellen i frekvenserne på signalerne er 0,5 Hz. Hvis frekvenserne er ens, fryser figuren ubevægelig, i enhver fase, men i praksis, på grund af kortvarige signalustabiliteter, ryster figuren på oscilloskopskærmen normalt lidt. Du kan bruge til sammenligning ikke kun de samme frekvenser, men også dem i et multiple forhold, for eksempel, hvis den eksemplariske kilde kan producere en frekvens på kun 5 MHz, og den indstillelige kilde - 2,5 MHz.

Se også

Litteratur

Links

  Gå til Wikidata-elementet  Ordbøger og encyklopædier
I bibliografiske kataloger