Koordinatsystem

Et koordinatsystem er et sæt definitioner, der implementerer koordinatmetoden , det vil sige en måde at bestemme positionen og bevægelsen af et punkt eller en krop ved hjælp af tal eller andre symboler. Det sæt af tal, der bestemmer positionen af et bestemt punkt, kaldes koordinaterne for dette punkt.

I matematik er koordinater et sæt tal forbundet med punkter i en manifold på et eller andet kort over et bestemt atlas .

I elementær geometri er koordinater størrelser, der bestemmer positionen af et punkt på et plan og i rummet. På et plan bestemmes et punkts position oftest af afstandene fra to rette linjer (koordinatakser), der skærer hinanden i et punkt (originalen) i en ret vinkel; en af koordinaterne kaldes ordinaten , og den anden kaldes abscissen . I rummet bestemmes positionen af et punkt ifølge Descartes-systemet af afstandene fra tre koordinatplaner, der skærer hinanden i et punkt vinkelret på hinanden, eller af sfæriske koordinater , hvor koordinaternes oprindelse er i centrum af kugle.

I geografi vælges koordinater som et ( tilnærmelsesvis ) sfærisk koordinatsystem - breddegrad , længdegrad og højde over et kendt fælles niveau (såsom havet). Se geografiske koordinater .

I astronomi er himmelkoordinater et ordnet par af vinkelstørrelser (for eksempel ret opstigning og deklination ), som bestemmer positionen af armaturerne og hjælpepunkterne på himmelkuglen. I astronomi bruges forskellige systemer af himmelske koordinater. Hver af dem er i det væsentlige et sfærisk koordinatsystem (uden en radial koordinat) med et passende valgt grundplan og oprindelse. Afhængigt af valget af grundplanet kaldes det himmelske koordinatsystem horisontalt (horisontplan), ækvatorialt (ækvatorialplan), ekliptisk (ekliptisk plan) eller galaktisk (galaktisk plan).

Det mest almindeligt anvendte koordinatsystem er det rektangulære koordinatsystem (også kendt som det kartesiske koordinatsystem ).

Koordinater på planet og i rummet kan indtastes på et uendeligt antal forskellige måder. Når du løser et bestemt matematisk eller fysisk problem ved hjælp af koordinatmetoden, kan du bruge forskellige koordinatsystemer, og vælge det, hvor problemet løses lettere eller mere bekvemt i dette særlige tilfælde. En velkendt generalisering af koordinatsystemet er referencerammer og referencesystemer .

Grundlæggende systemer

Dette afsnit giver forklaringer på de mest anvendte koordinatsystemer i elementær matematik.

Kartesiske koordinater

Placeringen af punktet P på planet bestemmes af kartesiske koordinater ved hjælp af et par tal $(x,y):$

$x$ er afstanden fra punktet P til y -aksen under hensyntagen til tegnet
$y$ er afstanden fra punktet P til x -aksen under hensyntagen til tegnet

Tre koordinater er nødvendige i rummet $(x,y,z):$

$x$ er afstanden fra punktet P til planet yz
$y$ er afstanden fra punktet P til planet xz
$z$ er afstanden fra punktet P til xy -planet

Polære koordinater

I det polære koordinatsystem, der anvendes på planet, er positionen af punktet P bestemt af dets afstand til origo r = |OP| og vinklen φ af dens radiusvektor til aksen Ox .

I rummet bruges generaliseringer af polære koordinater - cylindriske og sfæriske koordinatsystemer.

Cylindriske koordinater

Cylindriske koordinater er en tredimensionel analog af polære koordinater, hvor punktet P er repræsenteret af en ordnet tripel i form af et kartesisk koordinatsystem, $(r,\varphi,z).$

$0\leqslant {r}$ ( radius ) er afstanden fra z - aksen til punktet P ,
$0\leqslant \varphi <360^{\circ }$ ( azimut eller længdegrad) - vinklen mellem den positive ("plus") del af x -aksen og segmentet trukket fra polen til punktet P og projiceret på xy -planet .
$z$ (højde) er lig med den kartesiske z -koordinat for punktet P .

Bemærk: I litteraturen bruges betegnelsen ρ for den første (radiale) koordinat nogle gange , for den anden (vinkel eller azimut) - betegnelsen θ , for den tredje koordinat - betegnelsen h .

Polære koordinater har én ulempe: værdien af φ er ikke defineret ved r = 0 .

Cylindriske koordinater er nyttige til at studere systemer, der er symmetriske om en eller anden akse. For eksempel har en lang cylinder med radius R i kartesiske koordinater (hvor z -aksen falder sammen med cylinderens akse) en ligning, hvorimod det i cylindriske koordinater ser meget enklere ud, da r = R . $x^{2}+y^{2}=R^{2},$

Sfæriske koordinater

Sfæriske koordinater er en tredimensionel analog af polære.

I et sfærisk koordinatsystem er placeringen af et punkt P defineret af tre komponenter: I form af et kartesisk koordinatsystem, $(\rho ,\varphi ,\theta ).$

$0\leqslant\rho$ (radius) er afstanden fra punkt P til polen,
$0\leqslant \varphi \leqslant 360^{\circ }$ (azimut eller længdegrad) - vinklen mellem den positive ("plus") halvakse x og projektionen af segmentet trukket fra polen til punktet P på xy -planet .
$0\leqslant \theta \leqslant 180^{\circ }$ (breddegrad eller polær vinkel) - vinklen mellem den positive ("plus") halvakse z og segmentet trukket fra polen til punktet P.

Bemærk: I litteraturen er azimut nogle gange angivet med θ , og den polære vinkel med φ . Nogle gange bruges r i stedet for ρ for den radiale koordinat . Derudover kan området af vinkler for azimut vælges som (−180°, +180°] i stedet for området [0°, +360°). Endelig kan den polære vinkel måles ikke fra den positive retning af z -aksen , men fra xy -planet ; i dette tilfælde ligger den i området [−90°, +90°] og ikke i området [0°, 180°]. Nogle gange vælges rækkefølgen af koordinater i triplen anderledes end den beskrevne; for eksempel kan polære og azimutvinkler byttes om.

Det sfæriske koordinatsystem har også en ulempe: φ og θ er ikke defineret, hvis ρ = 0; vinklen φ er heller ikke defineret for grænseværdierne θ = 0 og θ = 180° (eller for θ = ±90°, hvis det passende område for denne vinkel er accepteret).

For at konstruere et punkt P i henhold til dets sfæriske koordinater, er det nødvendigt at afsætte et segment lig med ρ fra polen langs den positive halvakse z , dreje det med en vinkel θ omkring y -aksen i retning af den positive halvakse x , og drej den derefter med en vinkel θ omkring z -aksen i retning af den positive halvakse y .

Sfæriske koordinater er nyttige til at studere systemer, der er symmetriske omkring et punkt. Så ligningen for en kugle med radius R i kartesiske koordinater med oprindelsen i midten af kuglen ser ud, mens den i kugleformede koordinater bliver meget enklere: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},$ $\rho=R.$

Andre almindelige koordinatsystemer

Affint (skrå) koordinatsystem er et retlinet koordinatsystem i affint rum . På planet er givet af oprindelsespunktet O og to ordnede ikke - kollineære vektorer , som repræsenterer en affin basis. I dette tilfælde er koordinatakserne lige linjer, der går gennem startpunktet parallelt med basisvektorerne, som igen sætter den positive retning af akserne. I henholdsvis tredimensionelt rum er et affint koordinatsystem givet af en tripel af lineært uafhængige vektorer og et oprindelsespunkt. For at bestemme koordinaterne for et punkt M , beregnes koefficienterne for ekspansionen af vektoren OM i form af basisvektorerne [1] .

Barycentriske koordinater blev først indført i 1827 af A. Möbius , som løste spørgsmålet om tyngdepunktet for masser placeret ved hjørnerne af en trekant . De er affine invariante, de er et særligt tilfælde af generelle homogene koordinater . Et punkt med barycentriske koordinater er placeret i det n - dimensionelle vektorrum E n , mens de egentlige koordinater refererer til et fast system af punkter, der ikke ligger i det ( n − 1)-dimensionelle underrum. Barycentriske koordinater bruges også i algebraisk topologi i forhold til punkterne i simplekset [2] .

Bangulære koordinater er et specialtilfælde af bicentriske koordinater, et koordinatsystem på et plan, givet af to faste punkter C 1 og C 2 , gennem hvilke der tegnes en ret linje, der fungerer som abscisse-aksen. Positionen af et punkt P , der ikke ligger på denne linje, bestemmes af vinklerne PC 1 C 2 og PC 2 C 1 .

Bipolære koordinater [3] er karakteriseret ved, at i dette tilfælde fungerer to familier af cirkler med polerne A og B , samt en familie af cirkler vinkelret på dem, som koordinatlinjer på planet. Omdannelsen af bipolære koordinater til kartesiske rektangulære koordinater udføres ved hjælp af specielle formler. Bipolære koordinater i rummet kaldes bisfæriske; i dette tilfælde er koordinatfladerne kugler , overflader dannet ved rotation af cirkulære buer, såvel som halvplaner, der passerer gennem aksen O z [4] .

Bicentriske koordinater - ethvert koordinatsystem, der er baseret på to faste punkter, og inden for hvilket positionen af et andet punkt bestemmes som regel af graden af dets fjernelse eller generelt af positionen i forhold til disse to hovedpunkter. Systemer af denne art kan være ganske nyttige inden for visse områder af videnskabelig forskning [5] [6] .

Bicylindriske koordinater - et koordinatsystem, der dannes, hvis det bipolære koordinatsystem på O xy-planet overføres parallelt langs Oz - aksen. Koordinatoverfladerne er i dette tilfælde en familie af par af cirkulære cylindre , hvis akser er parallelle, en familie af cirkulære cylindre vinkelret på dem, og et plan. Særlige formler bruges også til at konvertere bicylindriske koordinater til kartesiske rektangulære koordinater for tredimensionelt rum [7] .

Dipolære koordinater er et tredimensionelt krumlinjet ortogonalt koordinatsystem baseret på en punkt (central) dipol, mere præcist, på dens koordinattransformationsinvarianter. En af invarianterne er ækvipotentialoverfladen , der tjener som koordinatoverfladen; en anden invariant er vektorfeltets kraftlinjer , som er vinkelrette på ækvipotentialfladerne. Transformationen af sfæriske eller kartesiske koordinater til dipolære udføres ved hjælp af specielle formler.

Keglekoordinater er et tredimensionelt ortogonalt koordinatsystem bestående af koncentriske kugler, som er beskrevet ved deres radius , og to familier af vinkelrette kegler , placeret langs x- og z -akserne [8] .

Rindlers koordinater bruges primært inden for rammerne af relativitetsteorien og beskriver den del af det flade rum-tid , som almindeligvis kaldes Minkowski-rummet . I den specielle relativitetsteori er en ensartet accelererende partikel i hyperbolsk bevægelse , og for hver sådan partikel i Rindler-koordinater kan et sådant referencepunkt vælges i forhold til hvilket den er i hvile.

Parabolske koordinater er et todimensionalt ortogonalt koordinatsystem, hvor koordinatlinjerne er en samling af konfokale parabler . En tredimensionel modifikation af parabolske koordinater er konstrueret ved at rotere et todimensionalt system omkringdisse parabolers symmetriakse . Parabolske koordinater har også en række potentielle praktiske anvendelser: De kan især bruges i forhold til Stark-effekten . Parabolske koordinater er forbundet med en vis relation med rektangulære kartesiske koordinater [9] .

Projektive koordinater eksisterer ifølge navnet i det projektive rum P n ( K ) og repræsenterer en en-til-en overensstemmelse mellem dens elementer og klasser af endelige delmængder af elementer i kroppen K , karakteriseret ved egenskaberne ækvivalens og orden . For at bestemme de projektive koordinater for projektive underrum er det tilstrækkeligt at bestemme de tilsvarende koordinater for punkter i det projektive rum. I det generelle tilfælde, med hensyn til et eller andet grundlag, indføres projektive koordinater ved rent projektive midler [10] .

Et toroidalt koordinatsystem er et tredimensionelt ortogonalt koordinatsystem opnået ved at rotere et todimensionalt bipolært koordinatsystem omkring en akse, der adskiller dets to foci. Det bipolære systems brændpunkter bliver henholdsvis til en ring med radius a liggende på xy -planet af det toroidale koordinatsystem, mens z - aksen bliver systemets rotationsakse. Brændringen kaldes også nogle gange grundcirklen [11] .

Trilineære koordinater er et af eksemplerne på homogene koordinater og er baseret på en given trekant, så et punkts position bestemmes i forhold til siderne af denne trekant – hovedsageligt af graden af afstand fra dem, selvom andre variationer er mulige. Trilineære koordinater kan relativt let konverteres til barycentriske; derudover er de også konverterbare til todimensionelle rektangulære koordinater, hvortil de tilsvarende formler bruges [12] .

Cylindriske parabolske koordinater er et tredimensionelt ortogonalt koordinatsystem opnået som et resultat af en rumlig transformation af et todimensionelt parabolsk koordinatsystem. Koordinatfladerne er henholdsvis konfokale parabolske cylindre. Cylindriske parabolske koordinater er forbundet af et vist forhold til rektangulære, og kan anvendes på en række områder af videnskabelig forskning [13] .

Ellipsoide koordinater er elliptiske koordinater i rummet. I dette tilfælde er koordinatoverfladerne ellipsoider , enlagede hyperboloider , såvel som tolagede hyperboloider, hvis centre er placeret ved oprindelsen. Systemet er ortogonalt. Hver tripel af tal, som er ellipsoide koordinater, svarer til otte punkter, der ersymmetriske til hinanden i forhold til planerne i O xyz -systemet [14] .

Overgang fra et koordinatsystem til et andet

Kartesisk og polær

x=r\,\cos \varphi ,

y=r\,\sin \varphi ,

r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},

\varphi =\operatørnavn {arctg}{\frac {y}{x}}+\pi u_{0}(-x)\,\operatørnavn {sgn}y,

hvor u 0 er Heaviside-funktionen med og sgn er signum-funktionen . Her bruges funktionerne u 0 og sgn som "logiske" omskiftere, svarende til betydningen "hvis .. så" (hvis ... andet) operatorerne i programmeringssprog. Nogle programmeringssprog har en speciel funktion atan2 ( y , x ), der returnerer den korrekte φ i den nødvendige kvadrant defineret af x- og y -koordinaterne . $u_{0}(0)=0,$

Kartesisk og cylindrisk

x=r\,\cos \varphi ,

y=r\,\sin \varphi ,

z=z.\quad

r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},

\varphi =\operatørnavn {arctg}{\frac {y}{x}}+\pi u_{0}(-x)\,\operatørnavn {sgn}y,

z=z.\quad

{\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\cos \varphi &-r\sin \varphi &0\\r\sin \varphi &r \cos \varphi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dz\end{pmatrix}},

{\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {x}({\sqrt {x^{2}+y^{2} }}}}&{\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&0\\{\frac {-y}{{\sqrt {x^{2 }+y^{2}}}}}&{\frac {x}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}.

Kartesisk og sfærisk

{x}=\rho \,\sin \theta \,\cos \varphi ,\quad

{y}=\rho \,\sin \theta \,\sin \varphi ,\quad

{z}=\rho \,\cos \theta ;\quad

{\rho }={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},

{\theta }=\arccos {\frac {z}{\rho }}=\operatørnavn {arctg}{\frac ({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}{z}} ,

{\varphi }=\operatørnavn {arctg}{\frac {y}{x}}+\pi \,u_{0}(-x)\,\operatørnavn {sgn}y.

{\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi &-\rho \ sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-\rho \ sin \theta &0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix}},

{\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix))={\begin{pmatrix}x/\rho &y/\rho &z/\rho \\{\frac { xz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2))))}&{\frac {yz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2 }+y^{2}}}}}&{\frac {-(x^{2}+y^{2})}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^ {2}}}}}\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}} }&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}.

Cylindrisk og sfærisk

{r}=\rho \,\sin \theta ,

{\varphi }=\varphi ,\quad

{z}=\rho \,\cos \theta ;

{\rho }={\sqrt {r^{2}+z^{2}}},

{\theta }=\operatørnavn {arctg}{\frac {z}{r}}+\pi \,u_{0}(-r)\,\operatørnavn {sgn}z,

{\varphi }=\varphi .\quad

{\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dh\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sin \theta &\rho \cos \theta &0\\0&0&1\\\cos \theta & -\rho \sin \theta &0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix}},

{\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix))={\begin{pmatrix}{\frac {r}{{\sqrt {r^{2}+z ^{2)))))&0&{\frac {z}{{\sqrt {r^{2}+z^{2))))}\\{\frac {-z}{r^{2} +z^{2}}}&0&{\frac {r}{r^{2}+z^{2}}}\\0&1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dr\\d \varphi\\dz\end{pmatrix}}.

Geografisk koordinatsystem

Det geografiske koordinatsystem giver mulighed for at identificere ethvert punkt på klodens overflade ved hjælp af et sæt alfanumeriske betegnelser. Som regel tildeles koordinater på en sådan måde, at en af markørerne angiver den lodrette position , og den anden, eller en kombination af andre, den vandrette position . Det traditionelle sæt af geografiske koordinater er breddegrad , længdegrad og højde [15] . Det geografiske koordinatsystem, der bruger de tre angivne markører, er ortogonalt.

Breddegraden af et punkt på Jordens overflade er defineret som vinklen mellem ækvatorialplanet og den rette linje, der passerer gennem dette punkt som en normal til overfladen af basisellipsoiden, der omtrent falder sammen i form med Jorden. Denne lige linje passerer normalt inden for et par kilometer fra jordens centrum, undtagen i to tilfælde: polerne og ækvator (i hvilket tilfælde den passerer direkte gennem midten). Linjer, der forbinder punkter på samme breddegrad kaldes paralleller . 0° breddegrad svarer til ækvatorplanet, Jordens nordpol svarer til henholdsvis 90° nordlig bredde, sydpolen henholdsvis 90° sydlig bredde. Til gengæld er længdegraden af et punkt på Jordens overflade defineret som vinklen i øst- eller vestretningen fra hovedmeridianen til en anden meridian, der passerer gennem dette punkt. Meridianer, der forbinder punkter af samme længdegrad, er halvellipser, der konvergerer ved polerne. Zero er meridianen, der passerer gennem Royal Observatory i Greenwich , nær London . Hvad angår højden, måles den fra den betingede overflade af geoiden , som er en abstrakt rumlig repræsentation af kloden.

Se også

Galileiske koordinater
Gaussiske koordinater
Normale koordinater
Riemannske koordinater
Oprindelse , koordinatakse , ort
Lokal hvilestandard (oprindelse af koordinater i astronomi)
Hovedortodromiske koordinatsystem
Dimension af rummet
Affine transformationer

Noter

↑ Parkhomenko A. S. Affint koordinatsystem. — Matematisk encyklopædi. - M . : Soviet Encyclopedia, 1977-1985.
↑ Sklyarenko E. G. Barycentriske koordinater. — Matematisk encyklopædi. - M . : Soviet Encyclopedia, 1977-1985.
↑ Weisstein, Eric W. Bipolære koordinater på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ Dolgachev I.V., Pskovskikh V.A. Bipolære koordinater. — Matematisk encyklopædi. - M . : Soviet Encyclopedia, 1977-1985.
↑ R. Price, The Periodic Standing Wave Approximation: Tilpassede koordinater og spektrale metoder. . Hentet 11. maj 2013. Arkiveret fra originalen 4. marts 2016. (ubestemt)
↑ Den periodiske stående bølgetilnærmelse: ikke-lineære skalarfelter, tilpassede koordinater og den egenspektrale metode. . Hentet 11. maj 2013. Arkiveret fra originalen 2. april 2019. (ubestemt)
↑ Sokolov D. D. Bicylindriske koordinater. — Matematisk encyklopædi. - M . : Soviet Encyclopedia, 1977-1985.
↑ MathWorld beskrivelse af koniske koordinater . Hentet 11. maj 2013. Arkiveret fra originalen 6. oktober 2013. (ubestemt)
↑ MathWorld beskrivelse af parabolske koordinater . Hentet 11. maj 2013. Arkiveret fra originalen 2. juni 2013. (ubestemt)
↑ Voitsekhovsky M. I. Projektive koordinater. — Matematisk encyklopædi. - M . : Soviet Encyclopedia, 1977-1985.
↑ MathWorld beskrivelse af toroidale koordinater . Hentet 11. maj 2013. Arkiveret fra originalen 20. maj 2021. (ubestemt)
↑ Weisstein, Eric W. Trilinear Coordinates på Wolfram MathWorld -webstedet .
↑ MathWorld beskrivelse af parabolske cylindriske koordinater . Hentet 11. maj 2013. Arkiveret fra originalen 11. november 2020. (ubestemt)
↑ Sokolov D. D. Ellipsoide koordinater. — Matematisk encyklopædi. - M . : Soviet Encyclopedia, 1977-1985.
↑ En guide til koordineringssystemer i Storbritannien Arkiveret 22. april 2008. v1.7 oktober 2007

Litteratur

Gel'fand I. M., Glagoleva E. G., Kirillov A. A. Koordinatmetode. (utilgængeligt link) Femte udgave, stereotypisk. Serie: Fysik- og Matematikskolens bibliotek. Matematik. Udgave 1. M.: Nauka, 1973.
Delaunay N. B. Koordinater, i matematik // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 bind (82 bind og 4 yderligere). - Sankt Petersborg. , 1890-1907.