Femdimensionelt polyeder

I femdimensionel geometri er en femdimensionel polytop eller 5-polytop en polytop i et 5-dimensionelt rum afgrænset af 4-dimensionelle flader. Desuden tilhører hver 3-dimensionel polyhedral celle nøjagtigt to 4-dimensionelle flader.

Definition

En 5-polytop er en lukket 5-dimensionel figur med hjørner , kanter , flader , celler og 4-flader . Et toppunkt er et punkt, hvor fem eller flere kanter mødes. En kant er et segment, der tilhører fire eller flere flader. Et ansigt er en polygon , der tilhører tre eller flere celler. En celle er en (3-dimensionel) polytop , og en 4-side er en 4-dimensionel polytop . Derudover skal følgende krav være opfyldt:

1. Hver celle skal nabostille præcis to 4-dimensionelle flader.
2. Tilstødende 4-dimensionelle flader ligger ikke på det samme 4-dimensionelle hyperplan .
3. Figuren er ikke en kombination af andre figurer, der opfylder kravene.

Karakteristika

Topologien af ​​et givet 5-dimensionelt polyeder er defineret af dets Betti-tal og torsionskoefficienter [1] .

Betydningen af ​​Euler-karakteristikken , der bruges til at karakterisere polytoper, generaliserer ikke korrekt til højere dimensioner, uanset den underliggende topologi. Denne inkonsistens i Euler-karakteristikken for pålideligt at skelne mellem forskellige topologier i høje dimensioner fører til fremkomsten af ​​mere raffinerede Betti-tal [1] .

På samme måde er begrebet orienterbarhed af et polyeder utilstrækkeligt til at karakterisere vridningen af ​​overfladerne af toroidale polyedre, hvilket fører til brugen af ​​torsionskoefficienter [1] .

Klassifikation

5-dimensionelle polyedre kan klassificeres efter egenskaber som " konveksitet " og " symmetri ".

• En 5-polytop er konveks , hvis dens grænser (inklusive celler, (3-dimensionelle) flader og kanter) ikke skærer sig selv (i princippet kan polytopens flader passere inde i skallen), og linjestykkerne, der forbinder to punkter på 5-polytopen er fuldstændig indeholdt i den. Ellers betragtes polyederet som ikke -konveks . Selvskærende femdimensionelle polyedre er også kendt som stjernepolyedre , analogt med de stjernelignende former af ikke-konvekse Kepler-Poinsot polyedre .

• ensartede 5-polytoper har en symmetrigruppe, for hvilken alle hjørner er ækvivalente, og 4-dimensionelle flader er ensartede 4-polytoper . De 4-dimensionelle flader af et ensartet polyeder skal være regelmæssige . Et komplet sæt af homogene femdimensionelle polyedre er ikke blevet etableret.

• en semi-regulær 5-polytop indeholder to eller flere typer regulære 4-dimensionelle flader. Der er kun én sådan figur, som har navnet semipenteract .

• En almindelig 5-polytop har alle 4-dimensionelle flader identiske. Alle almindelige 5-polytoper er konvekse.

• en prismatisk 5-polytop er et direkte produkt af lavere dimensionelle polyedre. Et prismatisk 5-dimensionelt polyeder er homogent, hvis dets faktorer i det direkte produkt er homogene. Hyperkuben er prismatisk (produktet af en firkant og en terning ), men behandles separat, fordi den har en højere symmetri end de symmetrier, der er nedarvet fra faktorerne.

• En 4-dimensionel flisebelægning er en nedbrydning af et 4-dimensionelt euklidisk rum til et regulært gitter af polyedre. Strengt taget er flisebelægninger ikke polyedre, da der ikke er nogen begrænsninger, men vi inkluderer dem her for fuldstændighedens skyld, da de ligner polyedre på mange måder. En ensartet 4-dimensionel flisebelægning er en flisebelægning, hvis hjørner danner en krystallografisk gruppe, og hvis flader er ensartede 4-dimensionelle polyedre.

Almindelige 5-polyedre

Regulære 5-dimensionelle polyedre kan repræsenteres af Schläfli-symbolet {p,q,r,s}.

Der er præcis tre sådanne konvekse regulære 5-polytoper:

1. {3,3,3,3} - Hexatheron (5-dimensionel simplex)
2. {4,3,3,3} - Penteract (5d terning)
3. {3,3,3,4} — Femdimensionel orthoplex

For 3 konvekse regulære 5-polytoper og en semi-regular er elementerne:

Navn	Symbol(er) for Schläfli	Coxeter diagram(r)	Toppe	ribben	ansigter	Celler	4-dimensionelle ansigter	Symmetri ( bestil )
Hexateron	{3,3,3,3}		6	femten	tyve	femten	6	A 5 , (120)
Penteract	{4,3,3,3}		32	80	80	40	ti	BC5 , (3820 )
5-orthoplex	{3,3,3,4} {3,3,3 1,1 }		ti	40	80	80	32	BC 5 , (3840) 2×D 5

Ensartede 5-dimensionelle polyedre

For tre semi-regulære 5-polyedre er elementerne:

Navn	Symbol(er) for Schläfli	Coxeter diagram(r)	Toppe	ribben	Facetter	Celler	4-ansigter	Symmetri ( bestil )
Udvidet 5-simplex	t 0,4 {3,3,3,3}		tredive	120	210	180	162	2×A 5 , (240)
5-semicube	{3,3 2,1 } h{4,3,3,3}		16	80	160	120	26	D5 , ( 1920) ½BC5
Rectified 5-orthoplex	t 1 {3,3,3,4} t 1 {3,3,3 1,1 }		40	240	400	240	42	BC 5 , (3840) 2×D 5

Den udvidede 5-dimensionelle simplex er toppunktet for de ensartede femdimensionelle simplex-honningkager ,. Topfiguren af ​​femdimensionelle honningkager af halvkuber ,, er en rektificeret 5-orthoplex , og ansigterne er 5-orthoplexes og 5-semicubes .

Pyramider

Pyramidale 5-polyedre ( 5-pyramider ) kan dannes ved at bruge en 4-dimensionel polyhedral base i 4-dimensionelt hyperrum forbundet til et punkt, der ikke ligger på hyperplanet. Den 5-dimensionelle simplex er det enkleste eksempel med en 4-dimensionel simplex i bunden.

Se også

• Liste over regulære 5-dimensionelle polyedre

Noter

1. ↑ 1 2 3 Richeson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topoplogy , Princeton, 2008.

• T. Gosset On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions // Messenger of Mathematics . - Macmillan, 1900.
• A. Boole Stott Geometrisk deduktion af semiregulære fra regulære polytoper og rumfyldninger // Verhandelingen fra Koninklijke academy van Wetenschappen width unit Amsterdam. - Amsterdam, 1910. -T. Eerste Sectie 11,no. 1.
• HSM Coxeter :
  • HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins, JCP Miller: Uniform Polyhedra , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, London, 1954
  • HSM Coxeter . Almindelige polytoper . - 3. (1947, 63, 73). - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
• HSM Coxeter . Kalejdoskoper: Udvalgte skrifter af HSM Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. - Wiley-Interscience Publication, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
  • (Paper 22) HSM Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  • (Paper 23) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Paper 24) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Norman Johnson . Teorien om ensartede polytoper og honningkager. - Ph.D. Afhandling. - University of Toronto, 1966.
• Richard Klitzing, 5D, ensartede polytoper (polytera) ]

Links

• Polytopes of Various Dimensions , Jonathan Bowers
• Uniform Polytera , Jonathan Bowers
• George Olshevsky Polytope på ordliste for hyperrum

• Multidimensional Glossary , Garrett Jones