Naturlige tal (af lat. naturalis "naturlige") - tal , der opstår naturligt ved optælling (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, og så videre [1] ). Rækkefølgen af alle naturlige tal arrangeret i stigende rækkefølge kaldes den naturlige række [2] .
Mængden af naturlige tal er uendelig, da der for ethvert naturligt tal er et naturligt tal større end . Negative og ikke-heltal er ikke klassificeret som naturlige tal.
Egenskaberne ved naturlige tal og operationer med dem studeres ved aritmetik og (mere dybdegående) talteori .
Den mest primitive måde at repræsentere et naturligt tal på er at sætte en etiket, når man tæller hvert objekt. Senere kan et sæt objekter kontrolleres for lighed, overskud eller mangel – ved at slette mærket og fjerne objektet fra sættet. Det første store fremskridt inden for abstraktion var brugen af tal til at betegne naturlige tal. Dette gjorde det muligt at udvikle systemer til at skrive store tal. De gamle egyptere udviklede et omfattende talsystem med klare hieroglyffer for 1, 10 og alle magter fra 10 til over 1 mio. På en stenudskæring fra Karnak , der stammer fra omkring 1500 f.Kr. og nu i Louvre er tallet 276 afbildet som 2 hundrede, 7 tiere og 6 enere; og tilsvarende for nummeret 4622 [3] .
En meget nyere udvikling var udviklingen af ideen om, at nul kunne opfattes som et tal med sit eget ciffer. Brugen af tallet 0 til at udpege et sted (i andre tal) går tilbage til 700 f.Kr. af babylonierne, som udelod et sådant ciffer, da det var det sidste tegn i tallet [a] . Nul blev brugt som et tal i middelalderlig beregning (beregning af påskedatoen) begyndende med Dionysius Exiguus i 525 e.Kr., uden at være repræsenteret med et tal (standardromertal har intet symbol for 0). I stedet blev lat brugt til at angive nulværdien. nulla (eller genitiv lat. nullae , der betyder "nej") [5] . Brugen af nul i moderne tid opstod med den indiske matematiker Brahmagupta i 628 e.Kr.
Den første systematiske undersøgelse af tal som abstraktioner tilskrives normalt de græske filosoffer Pythagoras og Archimedes . Nogle græske matematikere behandlede tallet 1 anderledes end store tal, og nogle gange slet ikke som tallet [b] . Euklid definerede f.eks. først essensen af en enhed, og derefter tallet som et sæt af enheder, således er en enhed ifølge hans definition ikke et tal, og der er ingen unikke tal (f.eks. to enheder fra et ubestemt sæt af enheder er tallet 2) [7] .
I det 19. århundredes Europa var der matematiske og filosofiske diskussioner om de naturlige tals nøjagtige natur. Henri Poincaré var en af fortalerne for et sådant koncept, ligesom Leopold Kronecker , der sammenfattede sin tro som: " Gud skabte de hele tal, alt andet er menneskets værk ." Et sådant begreb er blevet defineret som naturalistisk [c] .
I modsætning til naturforskere så konstruktivister behovet for at forbedre det logiske grundlag i matematikkens grundlag. I 1860'erne foreslog Hermann Grassmann en rekursiv definition af de naturlige tal, og slog således fast, at de ikke er helt naturlige, men er en konsekvens af definitionerne. Yderligere blev to klasser af sådanne formelle definitioner konstrueret; de viste sig senere at være ækvivalente i de fleste praktiske anvendelser.
Mængde-teoretiske definitioner af naturlige tal blev initieret af Frege. Til at begynde med definerede han et naturligt tal som klassen af alle mængder, der er i en-til-en-korrespondance med en bestemt mængde. Denne definition har imidlertid ført til paradokser, herunder Russells paradoks . For at undgå sådanne paradokser blev formalismen ændret på en sådan måde, at et naturligt tal defineres som et bestemt sæt, og enhver mængde, der kan sættes i en en-til-en korrespondance med dette sæt, siges at have dette antal elementer [9] .
Den anden klasse af definitioner blev introduceret af Charles Sanders Peirce , raffineret af Richard Dedekind og udforsket af Giuseppe Peano - denne tilgang kaldes nu Peanos aksiomer . Det er baseret på aksiomatisering af egenskaberne ved ordenstal: hvert naturligt tal har en efterfølger, og hvert naturligt tal, der ikke er nul, har en unik forgænger. Peano-aritmetik svarer til flere svage mængdeteorisystemer. Et sådant system er Zermelo-Fraenkel (ZFC) systemet, hvor uendelighedsaksiomet er erstattet af dets negation. Blandt de sætninger, der kan bevises i ZFC , men som ikke kan bevises ved hjælp af Peano-aksiomerne , er Paris-Harrington- sætningen, Goodstein-sætningen og andre [10] .
Baseret på dette definitionsgrundlag er det praktisk at inkludere nul (svarende til det tomme sæt) som et naturligt tal. Inddragelsen af nul er nu almindelig blandt mængdeteori [11] og logiske konstruktioner [12] .
Der er to tilgange til definitionen af naturlige tal:
I det første tilfælde starter rækken af naturlige tal fra en , i den anden - fra nul . Der er ingen fælles mening for de fleste matematikere om præference for den første eller anden tilgang (det vil sige, om man skal betragte nul som et naturligt tal eller ej). I langt de fleste russiske kilder er den første tilgang traditionelt vedtaget [13] . Den anden tilgang er for eksempel taget i Nicolas Bourbakis skrifter , hvor naturlige tal defineres som kardinaliteter af endelige mængder . Tilstedeværelsen af nul letter formuleringen og beviset for mange sætninger i aritmetikken af naturlige tal, så den første tilgang introducerer det nyttige begreb om en udvidet naturlig række inklusive nul [13] .
Mængden af alle naturlige tal er normalt angivet med symbolet . Internationale standarder ISO 31-11 (1992) og ISO 80000-2 (2009) etablerer følgende betegnelser [14] :
Det samme som i ISO er notationen for sættet af naturlige tal fastsat i den russiske GOST 2011: R 54521-2011, tabel 6.1 [15] . Ikke desto mindre er denne standard endnu ikke observeret i russiske kilder - i dem angiver symbolet naturlige tal uden nul, og den udvidede naturlige række er angivet osv. [13]
Et sæt vil blive kaldt et sæt af naturlige tal, hvis et element 1 (en), en funktion med definitionsdomænet , kaldet successionsfunktionen ( ), er fast, og følgende betingelser er opfyldt:
Ovenstående aksiomer afspejler vores intuitive forståelse af den naturlige række og tallinje .
Det grundlæggende faktum er, at disse aksiomer i det væsentlige entydigt bestemmer de naturlige tal (den kategoriske karakter af systemet af Peanos aksiomer). Man kan nemlig bevise (se [16] , samt et kort bevis [17] ), at hvis og er to modeller for systemet af Peano-aksiomer, så er de nødvendigvis isomorfe , det vil sige, at der eksisterer en inverterbar mapping ( bijektion ) sådan og for alle .
Derfor er det nok at rette som enhver specifik model af sættet af naturlige tal.
Nogle gange, især i udenlandsk og oversat litteratur, erstatter Peanos første og tredje aksiomer et med nul. I dette tilfælde betragtes nul som et naturligt tal. Når defineret i form af klasser af ækvivalente mængder, er nul per definition et naturligt tal. Det ville være unaturligt specifikt at kassere det. Derudover ville dette komplicere den videre konstruktion og anvendelse af teorien betydeligt, da nul i de fleste konstruktioner, ligesom det tomme sæt, ikke er noget isoleret. En anden fordel ved at betragte nul som et naturligt tal er, at det danner en monoid , når man gør det . Som nævnt ovenfor er nul i russisk litteratur traditionelt udelukket fra antallet af naturlige tal.
Ifølge teorien om mængder er det eneste formål med at konstruere matematiske systemer mængden .
Således introduceres også naturlige tal, baseret på begrebet et sæt, efter to regler:
Tal givet på denne måde kaldes ordinaler .
Lad os beskrive de første par ordenstal og deres tilsvarende naturlige tal:
Generaliseringen af antallet af elementer i en endelig mængde til uendelige mængder er karakteriseret ved begrebet " styrke af en mængde ". Med hensyn til kardinalitet er mængden af naturlige tal større end enhver endelig mængde, men mindre end ethvert interval , for eksempel . Mængden af naturlige tal svarer til mængden af rationelle tal . Ethvert sæt, der svarer til mængden af naturlige tal, kaldes et tælleligt sæt . Således kan sættet af udtryk for enhver sekvens tælles. Samtidig er der en sekvens, hvor hvert naturligt tal forekommer et uendeligt antal gange, da mængden af naturlige tal kan repræsenteres som en tællig forening af usammenhængende tællige mængder (f.eks. [18] , ).
Lukkede operationer (operationer, der ikke udsender et resultat fra mængden af naturlige tal) på naturlige tal omfatter følgende aritmetiske operationer:
Derudover overvejes yderligere to operationer (fra et formelt synspunkt er de ikke operationer på naturlige tal, da de ikke er defineret for alle talpar (nogle gange eksisterer de, nogle gange ikke)):
Det skal bemærkes, at operationerne med addition og multiplikation er fundamentale. Især er ringen af heltal defineret præcist gennem de binære operationer med addition og multiplikation.
Addition gør sættet af naturlige tal til en semigruppe med enhed, rollen som enhed spilles af 0 . Multiplikation gør også sættet af naturlige tal til en semigruppe med enhed, hvor 1 er identitetselementet . Ved hjælp af lukningen under operationerne addition-subtraktion og multiplikation-division opnås grupperne af henholdsvis heltal og rationelle positive tal .
Lad os bruge definitionen af naturlige tal som ækvivalensklasser af endelige mængder. Hvis vi angiver ækvivalensklassen for mængden A , genereret af bijektioner, ved hjælp af firkantede parenteser: [ A ], defineres de grundlæggende aritmetiske operationer som følger:
hvor:
Det kan vises, at de resulterende operationer på klasser er indført korrekt, det vil sige, at de ikke afhænger af valget af klasseelementer og falder sammen med de induktive definitioner.
Ordbøger og encyklopædier | ||||
---|---|---|---|---|
|
Numeriske systemer | |
---|---|
Tællelige sæt |
|
Reelle tal og deres forlængelser |
|
Numeriske udvidelsesværktøjer | |
Andre nummersystemer | |
se også |
Heltal | |||
---|---|---|---|
| |||
|