Heltal

Heltal er en forlængelse af mængden af naturlige tal [1] opnået ved at lægge nul og negative tal til det [2] . Behovet for at overveje heltal er dikteret af umuligheden i det generelle tilfælde at trække et andet naturligt tal fra et - du kan kun trække et mindre tal fra et større. Indførelsen af nul og negative tal gør subtraktion til den samme fuldgyldige operation som addition [3] .

Et reelt tal er et heltal, hvis dets decimalrepræsentation ikke indeholder en brøkdel (men kan indeholde et fortegn). Eksempler på reelle tal:

numre 142857; 0; −273 er heltal. Tal 5½; 9,75 er ikke heltal.

Heltalssættet er betegnet (fra tysk Zahlen - "tal" [4] ). Studiet af heltals egenskaber er den gren af matematikken, der kaldes talteori . $\mathbb {Z}$

Positive og negative tal

Ifølge dens konstruktion består sættet af heltal af tre dele:

Naturlige tal (eller tilsvarende positive heltal). De opstår naturligt, når man tæller (1, 2, 3, 4, 5...) [5] .
Nul er tallet angivet med . Dens definerende egenskab: for ethvert tal . $0$ $0+n=n+0=n$ $n$
Heltal negative tal .

Når du skriver negative tal, er de markeret foran med et minustegn : For hvert heltal er der også et unikt tal modsat det, betegnet og har den egenskab, at Hvis det er positivt, så er dets modsætning negativ, og omvendt. Nul er modsat sig selv [2] . $-1,-2,-3\dots$ $-en$ $-en$ $a+(-a)=0.$ $-en$

Den absolutte værdi af et heltal kaldes dette tal med et kasseret fortegn [6] . Betegnelse: $-en$ $\left|a\right|.$

Eksempler:

\left|4\right|=4;\ \left|-5\right|=5;\ \left|0\right|=0

Algebraiske egenskaber

I sættet af heltal er tre grundlæggende aritmetiske operationer defineret: addition , det inverse af addition, subtraktion og multiplikation . Der er også en vigtig operation specifik for naturlige tal og heltal: division med en rest . Til sidst defineres en rækkefølge for heltal , som giver dig mulighed for at sammenligne tal med hinanden.

Addition og subtraktion

Følgende tabel illustrerer de grundlæggende egenskaber ved addition [7] for alle heltal : $a,b,c$

Ejendom	Algebraisk notation
Kommutativitet ( portabilitet )	$a+b=b+a$
Associativitet ( kompatibilitet )	$a+\left(b+c\right)=\left(a+b\right)+c$
Nul ejendom	$a+0=a$
Modsat element egenskab	$a+\left(-a\right)=0$

Når man adderer og subtraherer heltal, følges følgende tegnregler [7] [8] , som skal tages i betragtning ved åbning af parenteser:

-\left(-a\right)=a;\ -\left(a+b\right)=-ab;\ -\left(ab\right)=-a+b.

Regler for tilføjelse af heltal [9] .

Når du tilføjer heltal med de samme fortegn, skal du tilføje deres absolutte værdier og tildele vilkårenes fortegn til det. Eksempel; . $-14+\left(-28\right)=-42$
Når man tilføjer heltal med forskellige fortegn, er det nødvendigt at sammenligne deres absolutte værdier, trække det mindre fra det større og tildele fortegnet for summand med den større absolutte værdi til resultatet. Eksempler: . $-4+9=9-4=5;\ -9+4=-\left(9-4\right)=-5$
Subtraktion for heltal er altid muligt, og resultatet kan findes som Eksempel: . $ab$ $a+\left(-b\right).$ $26-51=26+\left(-51\right)=-25$
Geometrisk kan addition visualiseres som en forskydning af et tal langs talaksen (se figuren i begyndelsen af artiklen), og tilføjelsen af et positivt tal medfører et forskydning til højre, og et negativt tal til venstre. For et tal betyder f.eks. at føje til det at flytte det til højre med 4 enheder; tydeligt se hvad der sker . På samme måde , ved at skifte til venstre med 4 enheder, får vi som et resultat . $-3$ $fire$ $+1$ $-3+\left(-4\right)$ $-3$ $-7$
Subtraktion kan visualiseres på en lignende måde, men i dette tilfælde, tværtimod, forårsager subtraktion af et positivt tal et skift til venstre og et negativt tal til højre. For eksempel flytter den 7 enheder til tallet og flytter det til højre til tallet . $5-7$ $5$ $-2$ $5-\left(-7\right)$ $12$

Multiplikation og eksponentiering

Multiplikationen af tal er yderligere betegnet eller (kun i tilfælde af bogstavnotationer) blot . Følgende tabel illustrerer de grundlæggende egenskaber ved multiplikation [7] for alle heltal : $a,b$ $a\time b$ $ab$ $a,b,c$

Ejendom	Algebraisk notation
Kommutativitet ( portabilitet )	$a\times b=b\times a$
Associativitet ( kompatibilitet )	$a\times \left(b\times c\right)=\left(a\times b\right)\times c$
enheds ejendom	$a\times 1=a$
Nul ejendom	$a\times 0=0$
Distributivitet (distributivitet) af multiplikation med hensyn til addition	$a\times \left(b+c\right)=a\times b+a\times c$

Når du multiplicerer heltal, følges reglerne for tegn [7] [8] , som skal tages i betragtning, når du åbner parenteser:

\left(-a\right)b=a\left(-b\right)=-ab;\ \left(-a\right)\left(-b\right)=ab

Konsekvens : produktet af tal med samme fortegn er positivt, med forskellige fortegn er negativt.

At hæve heltal til en naturlig potens defineres på samme måde som for naturlige tal:

{\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{n))

Egenskaberne ved at hæve heltal til en potens er også de samme som for naturlige tal:

\left(ab\right)^{n}=a^{n}b^{n};\quad a^{m}a^{n}=a^{m+n};\quad \ venstre(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}

Ud over denne definition er en nulgradskonvention vedtaget: for ethvert heltal . $a^{0}=1$ $en.$ $a^{0}a^{n}=a^{0+n}=a^{n},$ $a^{0}=1.$

Ordenhed

$\mathbb {Z}$ er et lineært ordnet sæt . Rækkefølgen i den er givet af relationerne:

\dots -2<-1<0<1<2<\dots

Et heltal er positivt , hvis det er større end nul, negativt , hvis det er mindre end nul. Positive heltal er naturlige tal og kun de. Negative tal er det modsatte af positive tal. Nul er hverken positivt eller negativt. Ethvert negativt tal er mindre end ethvert positivt tal [2] .

For alle heltal er følgende relationer gyldige [10] . $a,b,c,d$

Hvis , så for nogen vil være . $a<b$ $c$ $a+c<b+c$
Hvis og , så . $a<b$ $c<d$ $a+c<b+d$
Hvis og , så . $a<b$ $c>0$ $ac<bc$
Hvis og , så . $a<b$ $c<0$ $ac>bc$

For at sammenligne to negative tal er der en regel: mere er det tal, hvis absolutte værdi er mindre [10] . For eksempel . $-6<-5$

Delbarhed

Division med resten

Divisionsoperationen er generelt ikke defineret på sættet af heltal. For eksempel kan du ikke dividere med - der er ikke et sådant heltal, der ganget med , vil give . Men du kan definere den såkaldte division med en rest [11] : $3$ $2$ $2$ $3$

For ethvert heltal (hvor ) er der et unikt sæt heltal , sådan at , hvor

a,b

b\neq 0

q,r

a = bq + r

0\leqslant r<\left|b\right|.

Her er a udbyttet , b er divisor , q er (ufuldstændig) kvotient, r er resten af divisionen (altid ikke-negativ). Hvis resten er nul, siges divisionen at være heltal [11] .

Eksempler

Når vi dividerer med en rest af et positivt tal med , får vi en ufuldstændig kvotient og en rest . Undersøgelse: $a=78$ $b=33$ $q=2$ $r=12$ $78=33\ gange 2+12.$
Når vi dividerer med en rest af et negativt tal med , får vi en ufuldstændig kvotient og en rest . Undersøgelse: $a=-78$ $b=33$ $q=-3$ $r=21$ $-78=33\gange (-3)+21.$
Når vi dividerer med en rest af et tal med, får vi kvotienten og resten , det vil sige, at divisionen udføres heltal. For hurtigt at finde ud af, om et givet tal er deleligt med et (lille) tal , er der delelighedstest . $a=78$ $b=26$ $q=3$ $r=0$ $-en$ $b$

Teorien om sammenligninger og den euklidiske algoritme er baseret på operationen af division med en rest .

Hele divisionen. Divisorer

Som defineret ovenfor er et tal deleligt (heltal) med et tal, hvis der findes et heltal , således at . Symbolsk notation :. Der er flere ækvivalente verbale formuleringer af denne delelighed [12] : $-en$ $b$ $q$ $a=bq$ $b|a$

$-en$ er deleligt (heltal) med . $b$
$b$ er en divisor (eller: deler ). $-en$ $b$ $-en$
$-en$ flere . $b$

Hvert heltal er ikke lig med nul eller har 4 trivielle divisorer: . Hvis der ikke er andre divisorer, kaldes tallet primtal [13] . $n$ $\pm 1$ $1,-1,n,-n$

Begrebet den største fælles divisor af to heltal, dekomponeringen af et heltal i primfaktorer og hovedsætningen for aritmetikken for heltal falder praktisk talt sammen (med mulig fortegnsbetragtning) med analoger af disse begreber for naturlige tal [14] .

Heltal og reelle tal

Der er praktiske problemer, hvor det er nødvendigt at afrunde en reel værdi til et heltal, det vil sige at erstatte det med det nærmeste (i en eller anden retning) heltal. Da afrunding kan udføres på mange måder, kan " Iverson-symboler " [15] bruges til afklaring :

\lgulv x\rgulv

- tættest på hele tallet nede (funktion "gulv", engelsk etage eller " hele del "). Gaussisk notation eller Legendre notation bruges også traditionelt .

x

[x]

E\left(x\right)

\lceil x\rceil

- tættest på hele tallet i den større retning (funktion "loft", engelsk loft ).

x

Afhængigt af problemformuleringens detaljer kan andre metoder også opstå: afrund til nærmeste heltal eller afskær brøkdelen (den sidste mulighed for negative adskiller sig fra funktionen "heltalsdel"). $x$

En anden klasse af problemer, der vedrører heltal og reelle tal, er tilnærmelsen af et reelt tal med forholdet mellem heltal, det vil sige et rationelt tal . Det er bevist, at ethvert reelt tal kan tilnærmes rationelt med enhver ønsket nøjagtighed, det bedste værktøj til en sådan tilnærmelse er fortsatte (fortsat) brøker [16] .

Historie

Udviklingen af matematik begyndte med praktiske tællefærdigheder (en, to, tre, fire ...), derfor opstod naturlige tal i den forhistoriske periode som en idealisering af et begrænset sæt af homogene, stabile og udelelige objekter (mennesker, får, dage osv.). Addition optrådte som en matematisk model af så vigtige begivenheder som foreningen af flere sæt (besætninger, poser osv.) til én, og subtraktion afspejlede tværtimod adskillelsen af en del af sættet. Multiplikation for naturlige tal fremstod som så at sige batchaddition: 3 × 4 betød summen " 3 gange 4", det vil sige 4 + 4 + 4 . Egenskaberne og sammenkoblingen af operationer blev opdaget gradvist [17] [18] .

Det første skridt mod udvidelsen af naturlige tal var udseendet af nul; de første, der brugte dette symbol, var tilsyneladende indiske matematikere. Oprindeligt blev nul ikke brugt som et tal, men som et ciffer i den positionelle notation af tal, derefter begyndte det gradvist at blive genkendt som et fuldgyldigt tal, der betegner fraværet af noget (for eksempel den fuldstændige ruin af en købmand ) [19] .

Negative tal blev først brugt i det gamle Kina og i Indien, hvor de blev betragtet som et matematisk billede af "gæld". Det gamle Egypten , Babylon og det antikke Grækenland brugte ikke negative tal, og hvis negative ligningsrødder blev opnået (når de blev trukket fra), blev de afvist som umulige. Undtagelsen var Diophantus , som allerede i det 3. århundrede kendte "tegnreglen" og vidste, hvordan man multiplicerede negative tal. Han betragtede dem dog kun som et mellemtrin, nyttigt til at beregne det endelige, positive resultat. Nytten og lovligheden af negative tal blev etableret gradvist. Den indiske matematiker Brahmagupta (7. århundrede) anså dem allerede på linje med positive [20] .

I Europa kom anerkendelsen tusind år senere, og selv da blev negative tal i lang tid kaldt "falske", "imaginære" eller "absurde". Den første beskrivelse af dem i europæisk litteratur dukkede op i Book of the Abacus af Leonard af Pisa (1202), som også behandlede negative tal som gæld. Bombelli og Girard anså i deres skrifter negative tal for at være ganske acceptable og nyttige, især for at indikere manglen på noget. Negative tal blev frit brugt af Nicola Schücke (1484) og Michael Stiefel (1544) [20] .

I det 17. århundrede, med fremkomsten af analytisk geometri , modtog negative tal en visuel geometrisk repræsentation på tallinjen . Fra dette øjeblik kommer deres fuldstændige lighed. Legaliseringen af negative tal har ført til adskillige bekvemmeligheder - for eksempel er overførslen af vilkårene for en ligning til en anden del af den blevet mulig uanset tegnet på dette udtryk (tidligere, lad os sige, blev ligningerne betragtet som fundamentalt forskellige) [21] . $x^{3}+ax=b$ $x^{3}=ax+b$

Ikke desto mindre var teorien om negative tal i sin vorden i lang tid. Pascal mente for eksempel, at siden "intet kan være mindre end ingenting" [22] . En mærkelig andel blev livligt diskuteret - i den er den første term til venstre større end den anden, og til højre - omvendt, og det viser sig, at den større er lig med den mindre (" Arnos paradoks "). Wallis mente, at negative tal er mindre end nul, men samtidig mere end uendeligt [23] . Det var heller ikke klart, hvilken betydning multiplikationen af negative tal har, og hvorfor produktet af negative tal er positivt; der var heftige diskussioner om dette emne. Et ekko af disse tider er det faktum, at i moderne aritmetik er subtraktionsoperationen og tegnet for negative tal angivet med det samme symbol ( minus ), selvom der algebraisk er tale om helt forskellige begreber. Gauss i 1831 anså det for nødvendigt at præcisere, at negative tal grundlæggende har samme rettigheder som positive, og det faktum, at de ikke gælder for alle ting, betyder ikke noget, fordi brøker heller ikke gælder for alle ting (f.eks. er ikke anvendelige ved optælling af personer) [24] . $0-4=0$ $1:\left(-1\right)=\left(-1\right):1$

En komplet og ganske stringent teori om negative tal blev først skabt i det 19. århundrede ( William Hamilton og Hermann Günter Grassmann ) [25] .

Ansøgning

I anvendt videnskab

Heltal er meget udbredt i studiet af objekter, der er udelelige af deres natur eller af særegenhederne ved problemformuleringen (f.eks. mennesker, skibe, bygninger, nogle gange dage osv.). Negative tal kan også bruges i sådanne modeller - for eksempel, når du planlægger salgstransaktioner, kan du angive salg med positive tal og køb med negative. Et eksempel fra fysikken er kvantetal , som spiller en fundamental rolle i mikrokosmos; de er alle fortegnsfulde heltal (eller halvheltal ) [26] .

For at løse de problemer, der opstår i dette tilfælde, er der udviklet specielle matematiske metoder, der tager højde for problemernes særlige forhold. Især er løsningen i heltal af algebraiske ligninger (af forskellige grader) betragtet af teorien om " diofantiske ligninger " [27] . Spørgsmål om heltalsoptimering undersøges ved heltalsprogrammering [28] .

I datalogi

Heltalstypen er ofte en af hoveddatatyperne i programmeringssprog . Heltalsdatatyper implementeres normalt som et fast sæt bits , hvoraf den ene koder for fortegnet for et tal, mens de andre koder binære cifre. Moderne computere har et rigt instruktionssæt til heltalsaritmetik [29] .

Sted i generel algebra

Fra et synspunkt af generel algebra , med hensyn til addition og multiplikation er en uendelig kommutativ ring med enhed, uden nul divisorer ( integritetsdomæne ). Heltalsringen er euklidisk (og dermed faktoriel ) og noethersk , men ikke artinsk . Hvis du udvider denne ring ved at tilføje alle slags brøker til den (se feltet med kvotienter ), får du feltet med rationelle tal ( ); enhver division er allerede mulig i den, undtagen division med nul [30] [31] . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$

Med hensyn til additionsoperationen, er en Abelsk gruppe , og derfor også en cyklisk gruppe , da hvert ikke-nul element kan skrives som en endelig sum 1 + 1 + ... + 1 eller (−1) + (−1) ) + ... + (−1) . Faktisk er den eneste uendelige cykliske gruppe ved addition, da enhver uendelig cyklisk gruppe er isomorf for gruppen . Med hensyn til multiplikation danner den ikke en gruppe, da division i hele tal generelt er umulig [30] . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $(\mathbb{Z},+)$ $\mathbb {Z}$

Sættet af heltal med den sædvanlige rækkefølge er en ordnet ring , men er ikke velordnet , da der for eksempel ikke er den mindste blandt negative tal. Det kan dog gøres ret ordnet ved at definere en ikke-standard relation "mindre end eller lig med" [32] , som vi betegner og definerer som følger: $\precurlyeq$

a\preccurlyeq b,

hvis enten eller eller og

a=b,

|a|<|b|,

|a|=|b|

a<0<b.

Så vil rækkefølgen af heltal være: Især vil være det mindste negative tal. med den nye ordre vil det være et velordnet sæt, men det vil ikke længere være en bestilt ring, da denne rækkefølge ikke er i overensstemmelse med ringens operationer: for eksempel fra , tilføje 1 til venstre og højre, vi får den forkerte ulighed $0\preccurlyeq -1\preccurlyeq 1\preccurlyeq -2\preccurlyeq 2\dots$ $-en$ $\mathbb {Z}$ $1\preccurlyeq -2$ $2\preccurlyeq -1.$

Enhver ordnet ring med identitet og ingen nuldelere indeholder én og kun én isomorf subring [33] . $\mathbb {Z}$

Logisk grundlag

Udvidelsen af naturlige tal til heltal, som enhver anden udvidelse af den algebraiske struktur, rejser mange spørgsmål, hvoraf de vigtigste er, hvordan man definerer operationer på en ny type tal (for eksempel hvordan man definerer multiplikation af negative tal), hvilke egenskaber de så vil have, og (hovedspørgsmålet), om en sådan udvidelse er tilladt, om den ikke vil føre til uafvendelige modsætninger. For at analysere sådanne spørgsmål er det nødvendigt at danne et sæt aksiomer for heltal.

Aksiomatik af heltal

Den nemmeste måde at bestemme aksiomatikken for sættet af heltal er at stole på det allerede konstruerede sæt af naturlige tal (som antages at være konsistent, og dets egenskaber er kendte). Vi definerer nemlig som den minimale ring, der indeholder sættet af naturlige tal. Mere strengt er aksiomer for heltal som følger [34] [35] . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$

Z1 : For alle heltal er deres sum defineret .

a,b

a+b

Z2 : Tilføjelse er kommutativ :. For kortheds skyld er klausulen "for alle " normalt udeladt yderligere.

a+b=b+a

a,b\dots

Z3 : Tilføjelse er associativ :

\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right).

Z4 : Der er et element 0 (nul), således at .

a+0=a

Z5 : For hvert heltal er der et modsat element, således at

-en

-en

a+\left(-a\right)=0.

Z6 : For alle heltal er deres produkt defineret .

a,b

ab

Z7 : Multiplikation er associativ :

\left(ab\right)c=a\left(bc\right).

Z8 : Multiplikation er relateret til addition ved distributive (distributive) love:

\left(a+b\right)c=ac+bc;\ c\left(a+b\right)=ca+cb.

Z9 : Heltalssættet indeholder en delmængde , der er isomorf til mængden af naturlige tal . For nemheds skyld er denne delmængde angivet med det samme bogstav nedenfor .

\mathbb {Z}

\mathbb {N}

\mathbb {N}

Z10 ( aksiom for minimalitet ): Lade være en delmængde af , herunder og sådan at subtraktionsoperationen ikke fører ud over . Så matcher alt .

M

\mathbb {Z}

\mathbb {N}

M

M

\mathbb {Z}

Alle andre egenskaber ved heltal følger som følge af disse aksiomer, herunder kommutativiteten af multiplikation, orden, regler for division med heltal og division med resten [36] . Lad os for eksempel vise, hvordan rækkefølgen af heltal introduceres . Vi vil sige, at hvis der er et naturligt tal. Ordensaksiomerne er let at verificere. Det følger umiddelbart af definitionen, at alle naturlige tal er større end nul ( positive ), og alle deres modsætninger er mindre end nul ( negative ). For naturlige tal falder den nye orden sammen med den gamle [37] . $a<b$ $ba$

Den givne aksiomatik af heltal er kategorisk , det vil sige, at enhver af dens modeller er isomorfe som ringe [38] .

Konsistens

Standardmetoden til at bevise konsistensen af en ny struktur er at modellere ( fortolke ) dens aksiomer ved hjælp af objekter af en anden struktur, hvis konsistens er uden tvivl. I vores tilfælde skal vi implementere disse aksiomer på basis af par af naturlige tal [39] .

Overvej alle mulige ordnede par af naturlige tal . For at gøre betydningen af de følgende definitioner klar, forklarer vi straks, at vi har til hensigt yderligere at betragte hvert sådant par som et heltal , f.eks. par eller vil repræsentere en enhed, og par eller vil repræsentere $\left(a,b\right)$ $ab,$ $\left(3,2\right)$ $\left(6,5\right)$ $\left(1,4\right)$ $\left(8,11\right)$ $-3.$

Dernæst skal du definere [40] :

Par og betragtes som lige, hvis . Dette skyldes, som vist i eksemplerne, ethvert heltal kan repræsenteres af et uendeligt antal par. $\left(a,b\right)$ $\left(c,d\right)$ $a+d=b+c$
Addition : summen af par og er defineret som et par . $\left(a,b\right)$ $\left(c,d\right)$ $\left(a+c,b+d\right)$
Multiplikation : Produktet af par og er defineret som et par . $\left(a,b\right)$ $\left(c,d\right)$ $\left(ac+bd,ad+bc\right)$

Det er let at kontrollere, at resultaterne af addition og multiplikation ikke ændrer sig, hvis vi erstatter et par med et lig, det vil sige, at det nye resultatpar vil være lig med det forrige (i betydningen af lighed angivet ved definition 1) . Det er også let at verificere, at den beskrevne struktur af par opfylder hele listen af aksiomer for heltal. Positive tal er modelleret af par , hvor , nul repræsenterer par af formen , og par med svarer til negative tal [40] . $\left(a,b\right)$ $a>b$ $\left(a,a\right)$ $\left(a,b\right)$ $a<b$

Denne model gør det muligt at klarlægge, hvordan aksiomer for heltal entydigt antyder deres egenskaber; lad os vise dette for "tegnreglen". For eksempel ved at gange to "negative tal" og , for hvilke vi per definition får et par . Forskellen er , dette tal er positivt, så parproduktet repræsenterer et positivt heltal, derfor er produktet af negative tal positivt. Enhver anden regel (f.eks. "produktet af negative tal er negativt") ville gøre teorien om heltal inkonsekvent. $\left(a,b\right)$ $\left(c,d\right)$ $a<b,\ c<d$ $\left(ac+bd,ad+bc\right)$ $ac+bd-\left(ad+bc\right)$ $\left(ba\right)\left(dc\right)$

Den beskrevne model beviser, at den givne aksiomatik af heltal er konsistent. For hvis der var en modsigelse i det, så ville det betyde en modsigelse i den grundlæggende aritmetik af naturlige tal for denne model, som vi på forhånd antog for at være konsistente [39] .

Kardinalitet af sættet

Sættet af heltal er uendeligt. Selvom de naturlige tal kun er en delmængde af mængden af heltal, er der lige så mange heltal, som der er naturlige tal, i den forstand at kardinaliteten af sættet af heltal er den samme som for mængden af naturlige tal - begge dele kan tælles [41] .

Variationer og generaliseringer

Nogle algebraiske strukturer ligner i egenskaber ringen af heltal . Blandt dem: $\mathbb {Z}$

Gaussiske heltal . Disse er komplekse tal , hvor er heltal. For Gaussiske tal, som for almindelige heltal, kan begreberne divisorer , primtal og modulo defineres . En analog til aritmetikkens hovedsætning er gyldig [42] . $a+bi$ $a,b$
Eisenstein-heltal [43] .

Noter

↑ Dette refererer til den ældste forståelse af naturlige tal med det første element et: $1,2,3,4,5\dots$
↑ 1 2 3 Håndbog i elementær matematik, 1978 , s. 111-113.
↑ Elementær matematik fra et højere synspunkt, 1987 , s. 37.
↑ Paul Pollack. Tidligste brug af symboler i talteori (link utilgængeligt) . Hentet 22. oktober 2017. Arkiveret fra originalen 31. januar 2010. (ubestemt)
↑ Elementær matematik, 1976 , s. atten.
↑ Håndbog i elementær matematik, 1978 , s. 114.
↑ 1 2 3 4 Elementær matematik, 1976 , s. 24-28.
↑ 1 2 Elementær matematik fra et højere synspunkt, 1987 , s. 39.
↑ Håndbog i elementær matematik, 1978 , s. 114-115.
↑ 1 2 Håndbog i elementær matematik, 1978 , s. 172-173.
↑ 1 2 Division // Mathematical Encyclopedia (i 5 bind). - M .: Soviet Encyclopedia , 1979. - T. 2.
↑ Sushkevich A. K. Talteori. Elementært kursus. - Kh .: Kharkov Universitets Forlag, 1954. - S. 5.
↑ Elementær matematik, 1976 , s. tyve.
↑ Begrebet delelighed // Elementer i delelighedsteorien: Metodiske anbefalinger til studerende på det pædagogiske og barndomspsykologiske fakultet / comp. S. V. Pomortseva, O. V. Ivanova. - Omsk: Omsk-staten. ped. universitet, 2008. - 37 s.
↑ Knut D. Kunsten at programmere computer. T. 1. Grundlæggende algoritmer. - M .: Mir , 1976. - S. 68. - 735 s.
↑ Khinchin A. Ya. Fortsat brøker . — M .: GIFML, 1960.
↑ Mach E. Erkendelse og vrangforestilling // Albert Einstein og tyngdekraftsteorien. - M . : Mir, 1979. - S. 74 (fodnote). — 592 s. : "før talbegrebet opstår, skal der være en oplevelse af, at genstande af samme værdi i en vis forstand eksisterer multiple og ufravigelige ."
↑ Kline M. Matematik. Tab af sikkerhed . - M . : Mir, 1984. - S. 109 -112. — 446 s.
↑ Lamberto Garcia del Cid. Særlige tal fra andre kulturer // Bemærkelsesværdige tal. Zero, 666 og andre udyr. - DeAgostini, 2014. - T. 21. - S. 115. - 159 s. — (Matematikkens Verden). - ISBN 978-5-9774-0716-8 .
↑ 1 2 Glazer G. I. Matematikkens historie i skolen. - M . : Uddannelse, 1964. - S. 132-135. — 376 s.
↑ Håndbog i elementær matematik, 1978 , s. 113-114.
↑ Sukhotin A. K. De videnskabelige ideers omskiftelser. M.: Mol. vagt. 1991, side 34.
↑ Panov V.F. Negative tal // Gammel og ung matematik. - Ed. 2., rettet. - M . : MSTU im. Bauman , 2006. - S. 399. - 648 s. — ISBN 5-7038-2890-2 .
↑ Alexandrova N.V. Matematiske termer (Opslagsbog). Moskva: Higher school, 1978, s. 164.
↑ Matematik i det 18. århundrede // Mathematics History / Redigeret af A.P. Yushkevich , i tre bind. - M . : Nauka, 1972. - T. III. - S. 48-49.
↑ Sivukhin D. V. § 38. Fire kvantetal af elektronen og den fine struktur af spektralled // Fysik generelt. - M. , 2005. - T. V. Atom- og kernefysik. - S. 226.
↑ Gelfond A. O. Løsning af ligninger i heltal . - M . : Nauka, 1978. - ( Populære forelæsninger om matematik ).
↑ Karmanov V. G. Matematisk programmering. — M .: Nauka , 1986. — 288 s.
↑ M. Ben-Ari. Kapitel 4. Elementære datatyper // Programmeringssprog. Praktisk benchmarking = Forståelse af programmeringssprog. - M . : Mir, 2000. - S. 53 -74. — 366 s. — ISBN 5-03-003314-9 .
↑ 1 2 Vinberg E. B. Algebrakursus . 2. udg. - M. : MTSNMO Publishing House, 2013. - S. 15-16, 113-114. — 590 s. - ISBN 978-5-4439-0209-8 .
↑ Atiyah M., McDonald I. Introduktion til kommutativ algebra. - M . : Mir, 1972. - S. 94. - 160 s.
↑ Donald Knuth . Kunsten at programmere, bind I. Grundlæggende algoritmer. - M .: Mir , 1976. - S. 571 (15b). — 736 s.
↑ Numerical Systems, 1975 , s. 100.
↑ Numerical Systems, 1975 , s. 95-96.
↑ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1951 , s. 160-162.
↑ Numerical Systems, 1975 , s. 96-98.
↑ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1951 , s. 170-171.
↑ Numerical Systems, 1975 , s. 98.
↑ 1 2 Numeriske systemer, 1975 , s. 100-102.
↑ 1 2 Encyclopedia of elementary mathematics, 1951 , s. 162-168.
↑ N. Ya. Vilenkin . Sæt historier . - 3. udg. - M. : MTSNMO , 2005. - S. 65-66. - 150 sek. — ISBN 5-94057-036-4 .
↑ Okunev L. Ya. Komplekse heltal. - M . : Stat. uch.-ped. Publishing House of the People's Commissariat of Education of the RSFSR, 1941. - 56 s.
↑ Eric W. Weisstein. Eisenstein heltal . Hentet: 19. august 2017. (ubestemt)

Litteratur

Vygodsky M. Ya. Håndbog i elementær matematik . — M .: Nauka, 1978.
- Genudgivelse: M.: AST, 2006, ISBN 5-17-009554-6 , 509 sider.
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementær matematik. Gentag kurset. - Tredje udgave, stereotypisk. — M .: Nauka, 1976. — 591 s.
Klein F. Elementær matematik fra et højere synspunkt. - M . : Nauka, 1987. - T. I. Aritmetik. Algebra. Analyse. — 432 s.
Nechaev V. I. Numeriske systemer. - M . : Uddannelse, 1975. - 199 s.
Encyklopædi af elementær matematik (i 5 bind). - M. : Fizmatgiz, 1951. - T. 1. - S. 160-168. — 448 s.

Numeriske systemer
Tællelige sæt	Naturlige tal ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Heltal ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rationel ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebraisk ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioder Beregnbar Aritmetik
Reelle tal og deres forlængelser	Ægte ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Kompleks ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Kvaternioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-tal (oktaver, oktonioner) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Skifter Dobbelt Hyperkompleks Superrealistisk Hypermateriale surrealistisk
Numeriske udvidelsesværktøjer	Cayley-Dixon procedure Frobenius sætning Hurwitz-sætning
Andre nummersystemer	kardinalnumre Ordinaltal (transfinite, ordinaler) p-adic Overnaturlige tal intervaltal
se også	dobbelte tal Irrationelle tal transcendentale tal nummerstråle Biquaternion

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Flot dansk Fantastisk catalansk Fantastisk catalansk Fantastisk norsk Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	GND : 4134668-3 NDL : 00570428 NKC : ph135364