Ordningsnummer

I mængdelære er et ordenstal , eller ordinal ( latin ordinalis - ordinal) ordinaltypen af et fuldstændigt ordnet sæt . Som regel identificeres ordenstal med arvelige transitive mængder . Ordinaltal er en af forlængelserne af de naturlige tal , forskellig fra både heltal og kardinaler . Ligesom andre slags tal kan de lægges sammen, ganges og hæves til en potens. Uendelige ordenstal kaldes transfinite ( lat. trans - for, gennem +finitio - kant, grænse). Ordinaler spiller en nøglerolle i at bevise mange sætteorier , især på grund af det relaterede princip om transfinit induktion .

Ordinaltal blev introduceret af Georg Cantor i 1883 som en måde at beskrive uendelige sekvenser på, samt klassificere mængder, der har en bestemt ordnet struktur. [1] Han opdagede ved et uheld ordenstal, mens han arbejdede på et problem, der involverede trigonometriske serier .

Sætter og har samme kardinalitet , hvis det er muligt at etablere en bijektiv overensstemmelse mellem dem (det vil sige angive en funktion , der er både injektiv og surjektiv : hver af svarer til den eneste af , og hver af er billedet af den eneste ene af ). $S$ $S'$ $f$ $x$ $S$ $y = f(x)$ $S'$ $y$ $S'$ $x$ $S$

Antag, at sætene og gives delordrer og hhv. Derefter delvist ordnede mængder og siges at være ordensbevarende isomorfe , hvis der eksisterer et bijektivt kort , således at den givne rækkefølge bevares. Med andre ord, hvis og kun hvis . Ethvert velordnet sæt er ordensbevarende isomorf med hensyn til et naturligt ordnet sæt af ordenstal mindre end en bestemt ordinal (lig med ordinaltypen ). $S$ $S'$ $<$ $<'$ $(S,<)$ $(S',<')$ $f$ $f(a)<'f(b)$ $a<b$ $(S,<)$ $(S,<)$

Finite ordinære (og kardinale) tal er tal i den naturlige række: 0, 1, 2, ..., da enhver to komplette rækkefølger af et endeligt sæt er isomorfe med bevarelse af rækkefølgen . Det mindste uendeligt store ordenstal identificeres med kardinaltallet . Men i tilfælde af transfinite tal større end , ordinaler - sammenlignet med kardinaltal - giver os mulighed for at udtrykke en finere klassificering af mængder baseret på information om deres rækkefølge. Mens alle tællelige sæt er beskrevet med et kardinaltal lig med , er antallet af tællelige ordinaler uendeligt stort og desuden utalligt: $\omega$ $\aleph_0$ $\omega$ $\aleph_0$

\omega ,\omega +1,\omega +2,\dots ,\omega \cdot 2,\omega \cdot 2+1,\dots ,\omega ^{2},\dots ,\omega ^{ 3},\dots ,\omega ^{\omega },\dots ,\omega ^{\omega ^{\omega )),\dots ,\varepsilon _{0},...

I dette tilfælde har addition og multiplikation ikke kommutativitetsegenskaben: for eksempel falder den sammen med , men adskiller sig fra ; ens , men ikke ens . Mættet af alle tællelige ordinaler danner det første utallige ordinaltal svarende til kardinaltallet (næste tal efter ). Velordnede kardinaltal identificeres med deres indledende ordinaler , det vil sige de minimale ordinaler for den tilsvarende kardinalitet . Potensen af et ordenstal definerer en mange-til-én-korrespondance mellem klasserne af ordenstal og kardinaltal. $1+\omega$ $\omega$ $\omega +1$ $2\cdot \omega =\omega$ $\omega \cdot 2$ $\aleph_1$ $\aleph_0$

Normalt er en vilkårlig ordinal defineret som ordinaltypen af sættet af ordinaler strengt mindre end . Denne egenskab giver os mulighed for at repræsentere ethvert ordenstal som et sæt af ordenstal strengt mindre end sig selv. Alle ordenstal kan opdeles i tre kategorier: nul, næste ordinal og grænseordinal (sidstnævnte er kendetegnet ved deres konfinalitet ). For en given klasse af ordenstal kan du angive dets th element - med andre ord kan klassens elementer indekseres (tælles). En sådan klasse vil være lukket og ubegrænset, forudsat at indekseringsfunktionen er kontinuerlig og aldrig stopper. Cantors normale form gør det muligt entydigt at repræsentere ethvert ordenstal som en endelig sum af ordenspotenser . Denne form kan dog ikke bruges som grundlag for et universelt ordinalnotationssystem på grund af tilstedeværelsen af selvrefererende repræsentationer i det: f.eks . Du kan definere stadigt større ordenstal, men efterhånden som de vokser, bliver deres beskrivelse mere kompliceret. Ethvert ordenstal kan repræsenteres som et topologisk rum ved at tilskrive en ordenstopologi til det . En sådan topologi vil være diskret , hvis og kun hvis den tilsvarende ordinal ikke overstiger et tælleligt kardinaltal, det vil sige er mindre end eller lig med . En delmængde vil være åben i ordenstopologien, hvis og kun hvis den er kofinit eller ikke indeholder som et element. $\alfa$ $\alfa$ $\alfa$ $\omega$ $\varepsilon _{0}=\omega ^{{\varepsilon _{0}}}$ $\omega$ $\omega +1$ $\omega$

Ordinaltal som en forlængelse af mængden af naturlige tal

Naturlige tal (som inkluderer 0 i dette tilfælde ) har to hovedanvendelser: at beskrive størrelsen af et sæt og at beskrive positionen af et element i en given sekvens. I tilfælde af endelige mængder falder disse begreber sammen; op til isomorfisme er der kun én måde at arrangere elementerne i en endelig mængde som en sekvens. I tilfælde af uendelige mængder er det nødvendigt at skelne størrelsesbegrebet og de kardinaltal, der er forbundet med det , fra positionsbegrebet, hvis generalisering er ordenstallene beskrevet i denne artikel. Dette forklares ved, at et uendeligt sæt, der har en unikt defineret størrelse ( kardinalitet ), godt kan ordnes på mere end én ikke-isomorf måde.

Mens begrebet et kardinaltal forbundet med et sæt ikke kræver, at der er angivet nogen struktur på det, er ordenstal tæt beslægtet med en speciel slags mængde kaldet velordnet (faktisk er disse begreber så tætte, at nogle matematikere ikke gør det gøre nogen forskel mellem dem). Udtrykket refererer til et lineært ordnet sæt (det vil sige et sæt med en ensartet måde at vælge den mindste og største værdi på for et vilkårligt par af elementer), hvor der ikke er uendeligt faldende sekvenser (selvom der kan være uendeligt stigende). eller, i en ækvivalent formulering, et sæt, hvor enhver ikke-tom delmængde indeholder det mindste element. Ordinaltal kan bruges både til at angive elementerne i et givet velordnet sæt (det mindste element er mærket 0, det næste er mærket 1, det næste er 2, "og så videre"), og til at måle " størrelse" af hele sættet ved at angive den mindste ordinal, der ikke er etiketten for noget element i sættet. Denne "størrelse" kaldes den ordinære type af sættet.

Ethvert ordinalt tal er defineret af et sæt af forudgående ordinaler: Faktisk identificerer den mest almindelige definition af et ordinalt tal det med et sæt af forudgående ordinaler. Ordinal 42 er således ordenstypen for sættet af forudgående ordinaler, det vil sige ordinalerne fra 0 (den mindste ordinal) til 41 (den umiddelbare forgænger for 42), og er normalt identificeret med mængden . Det omvendte er også sandt: ethvert nedadlukket sæt af ordinaler - det vil sige sådan, at for enhver ordinal og enhver ordinal er ordinalen også et element - er i sig selv en ordinal (eller kan identificeres med en). ${\displaystyle \{0,\,1,\,2,\ldots ,\,41\))$ $S$ $\alfa \i S$ $\beta <\alpha$ $\beta$ $S$

Indtil dette punkt har vi kun nævnt endelige ordinaler, som er det samme som naturlige tal. Ud over dem er der også uendelige ordinaler: den mindste blandt dem er ordenstypen af naturlige tal (endelige ordinaler) , som endda kan identificeres med selve sættet af naturlige tal (faktisk: sættet af naturlige tal er nedad lukket og, som ethvert sæt af ordinaler, er fuldstændig ordnet, - derfor kan det identificeres med det tilsvarende ordinale tal, som nøjagtigt svarer til definitionen af ). $\omega$ $\omega$

Måske kan en mere intuitiv idé om ordenstal opnås ved at overveje et par af deres første repræsentanter: Som nævnt ovenfor begynder rækkefølgesættet med naturlige tal. Efter alle naturlige tal er der det første uendelige ordenstal , efterfulgt af , , , og så videre. (Den nøjagtige betydning af addition vil blive defineret senere, så overvej denne notation som en simpel notation) Efter alle sådanne tal er (dvs. ), , , og så videre, derefter , og efter det - . Yderligere skal det sæt af ordenstal, der kan skrives som , hvor og er naturlige tal, også have et tilsvarende ordenstal: et sådant tal vil være . Det vil blive efterfulgt af , ,..., , så - meget senere - ( "epsilon-nul" ) (de anførte eksempler giver en idé om relativt små tælleordtaler). Denne proces kan fortsættes i det uendelige. Den mindste utallige ordinal er mængden af alle tællelige ordinaler og er betegnet med . $0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5,\ldots$ $\omega$ $\omega +1$ $\omega +2$ $\omega +3$ $\omega \cdot 2$ $\omega +\omega$ $\omega \cdot 2 + 1$ $\omega \cdot 2+2$ $\omega \cdot 3$ $\omega \cdot 4$ $\omega \cdot m+n$ $m$ $n$ $\omega ^{2}$ $\omega ^{3}$ $\omega ^{4}$ $\omega^\omega$ $\omega ^{{\omega ^{2}}}$ $\varepsilon_{0}$ $\omega_{1}$

Definitioner

Græske bogstaver med små bogstaver bruges almindeligvis til at betegne ordenstal . Denne artikel følger en sådan notation. $\alfa ,\beta ,\prikker$

Velordnede sæt

Hver ikke-tom delmængde af et velordnet sæt indeholder det mindste element. Med forbehold for aksiomet om afhængigt valg svarer dette til at sige, at mængden er lineært ordnet og ikke indeholder uendeligt faldende sekvenser - sidstnævnte formulering er sandsynligvis lettere at visualisere. I praksis forklares vigtigheden af begrebet velordnethed ved muligheden for at bruge transfinit induktion , hvis hovedidé er, at enhver egenskab, der går fra et elements forgængere til sig selv, skal være opfyldt for alle elementer ( inkluderet i et givet velordnet sæt). Hvis beregningstilstandene (for et computerprogram eller spil) kan ordnes fuldstændigt, så hvert efterfølgende trin er "mindre" end det foregående, så er beregningsprocessen garanteret fuldført.

Yderligere ønsker vi ikke at skelne mellem to velordnede sæt, hvis de kun adskiller sig i "mærkningen af deres elementer", eller mere formelt, hvis elementerne i det første sæt kan relateres til elementerne i det andet i sådanne en måde, at i et vilkårligt par af elementer i et sæt, er det første mindre end det andet, hvis og kun hvis det samme forhold gælder mellem deres respektive partnere fra det andet sæt. En sådan en-til-en korrespondance kaldes en ordensbevarende isomorfisme , og to velordnede sæt kaldes ordensbevarende isomorfe eller lignende (en sådan lighed er åbenbart en ækvivalensrelation ). Hvis to velordnede sæt er isomorfe med bevarelse af orden, så er den tilsvarende isomorfi unik: denne omstændighed giver os mulighed for at opfatte de nævnte sæt som praktisk talt identiske og tjener som grundlag for at søge efter en "kanonisk" repræsentation af isomorfityper (klasser) ). Ordinaltal spiller ikke kun rollen som en sådan repræsentation, men giver os også en kanonisk mærkning af elementerne i ethvert velordnet sæt.

Med andre ord ønsker vi at introducere begrebet en ordinal som en klasse af isomorfismer af velordnede mængder, dvs. en ækvivalensklasse baseret på " ordensbevarende isomorfisme"-relation. Med denne tilgang er der dog én teknisk vanskelighed: ækvivalensklassen defineret på denne måde viser sig at være for stor til at passe ind under definitionen af et sæt i form af standard Zermelo-Fraenkel- formaliseringen af mængdeteori . Denne kompleksitet skaber dog ikke alvorlige problemer. Vi vil kalde en ordinal for ordinaltypen af et vilkårligt sæt i en sådan klasse.

Definition af ordenstal som ækvivalensklasser

I den oprindelige definition af et ordenstal, som f.eks. kan findes i Principia Mathematica , forstås ordenstypen for en eller anden brøndordning som værende mængden af alle brøndordninger, der ligner den (isomorf med bevarelse af orden). ): med andre ord, ordenstallet er faktisk en ækvivalensklasse velordnede sæt. I ZFC- teori og relaterede aksiomatiske mængdeteorisystemer er en sådan definition uacceptabel, da de tilsvarende ækvivalensklasser er for store til at blive betragtet som mængder. Denne definition kan dog bruges i typeteori og Quines aksiomatiske mængdeteori ( New Foundations ), såvel som andre lignende systemer (hvori den giver os mulighed for at formulere en alternativ og ret uventet måde at løse Burali-Forti-paradokset om det største ordenstal).

Definition af ordenstal ifølge von Neumann

I stedet for at definere en ordinal som en ækvivalensklasse af velordnede mængder, vil vi identificere den med en konkret mængde, der tjener som den kanoniske repræsentation af denne klasse. Således vil et ordinal være et eller andet velordnet sæt, og ethvert velordnet sæt vil være som præcis ét ordenstal.

Standarddefinitionen foreslået af von Neumann er som følger: enhver ordinal er et velordnet sæt bestående af alle ordinaler mindre end det . I symbolsk notation :. [2] [3] I mere formelle vendinger, $\lambda =[0,\lambda )$

En mængde er en ordinal, hvis og kun hvis den er strengt velordnet af en relation, og hvert element i S samtidig er dets delmængde.

S

\i

Bemærk, at naturlige tal ifølge denne definition er ordenstal. Så 2 hører til 4 = {0, 1, 2, 3} og er samtidig lig med {0, 1}, dvs. det er en delmængde af {0, 1, 2, 3}.

Ved transfinit induktion kan man vise, at ethvert velordnet sæt er som præcis én ordinal – med andre ord kan man etablere en ordensbevarende bijektiv korrespondance mellem dem.

Desuden er elementerne i enhver ordinal i sig selv ordinaler. Hvis og er vilkårlige ordinaler, så hører det til, hvis og kun hvis det er en korrekt delmængde af . Yderligere, for enhver ordtal og en af relationerne er opfyldt: enten , eller , eller . Således har ethvert sæt ordinaler en lineær rækkefølge og er desuden velordnet. Dette resultat er en generalisering af de velordnede naturlige tal. $S$ $T$ $S$ $T$ $S$ $T$ $S$ $T$ $S\in T$ $T\i S$ $S=T$

Dette indebærer, at elementerne i en vilkårlig ordinal nøjagtigt falder sammen med ordinaler strengt mindre end . Hvert sæt ordinaler, for eksempel, har et supremum , som er en ordinal lig med foreningen af alle de ordinale tal indeholdt i det givne sæt. I kraft af foreningsaksiomet eksisterer en sådan ordinal altid, uanset størrelsen af det oprindelige sæt. $S$ $S$

Klassen af alle ordenstal er ikke en mængde. Ellers ville det være muligt at bevise, at et sådant sæt i sig selv er et ordenstal og derfor sit eget element, som modsiger den strenge -rækkefølge. Denne udtalelse kaldes Burali-Forti-paradokset . Klassen af ordenstal er angivet på forskellige måder: "Ord", "ON" eller "∞". $\i$

Et ordenstal er endeligt, hvis og kun hvis det er fuldstændigt ordnet ikke kun efter den naturlige rækkefølge, men også efter den modsatte rækkefølge - denne betingelse er opfyldt, hvis og kun hvis hver af dens delmængder indeholder det største element.

Andre definitioner

I moderne matematik er der andre tilgange til definitionen af ordenstal. Så under aksiomet for regelmæssighed er følgende udsagn om mængden x ækvivalente:

x er et ordenstal,
x er et transitivt sæt med en trikotomi-relation $\i$
x er et transitivt sæt lineært ordnet efter relationen . For et sæt definerer vi en to-stedsrelation bestående af par sådan, at eller . Et sæt kaldes transitivt, hvis det følger af . Et sæt kaldes en ordinal, hvis det er transitivt og er et velordnet sæt. [fire] $\subseteq$ $x$ $\epsilon(X)$ ${\displaystyle \langle a,b\rangle \in X^{2))$ $a\i b$ $a=b$ $x$ $b\i X$ $b\subseteq X$ $\alfa$ $\langle \alpha ,\epsilon (\alpha )\rangle$
x er en transitiv mængde, hvis elementer også er transitive mængder.

De opregnede definitioner er uanvendelige i mængdeteorier uden grundaksiomet . I teorier med urelementer skal definitionerne præciseres, da urelementer er blandt elementerne i et ordenstal.

Transfinite sekvens

Hvis er en grænseordinal , og er et sæt, så er en indekseret sekvens af elementer en funktion fra til . Introduceret på denne måde er definitionen af en transfinit sekvens eller en sekvens indekseret med ordinaler en generalisering af begrebet en sekvens . Den sædvanlige rækkefølge svarer til sagen . $\alfa$ $x$ $\alfa$ $x$ $\alfa$ $x$ $\alfa=\omega$

Egenskaber

Hvis er et ordenstal, så er hvert element et ordenstal. $\alfa$ $\alfa$
For enhver , gælder nøjagtig en af følgende relationer: $\alfa ,\beta$ $\alpha \in \beta ,\alpha =\beta ,\beta \i \alpha .$
Ethvert sæt af ordenstal er velordnet efter relationen (især ethvert ordenstal, der betragtes som et sæt, er velordnet af relationen ), og er det mindste element i mængden , er en ordenstal større end eller lig med nogen af elementer i sættet . Udtrykkene og for ordenstal er ækvivalente. Det følgende antager, at ordenstal sammenlignes ved hjælp af relationen $\i$ $\i$ $\bigcap x$ $x$ $\bigcup x$ $x$ $\alfa <\beta$ $\alfa \i \beta$ $\i .$
For ethvert velordnet sæt er der en unik ordinal isomorf (især for ethvert sæt ordinaler er der en unik ordinal isomorf). $x$ $x$
Enhver falder sammen med mængden af alle ordenstal mindre end . $\alfa$ $\alfa$
Det indledende segment af ethvert ordenstal er et ordenstal.
Det tomme sæt er det mindste ordenstal (hvilket betyder, at det er et element i ethvert andet ordenstal). $\varnothing$
$\alfa$ kaldes ubegrænset , hvis enten det er lig med , eller der er et umiddelbart foran det , med andre ord, hvis det findes, men der ikke kan indsættes et andet ordenstal mellem dem. I sidstnævnte tilfælde siger de, at det er et ordenstal efter , og skriv: for summen af ordenstal). $\varnothing$ $\beta ;$ $\beta<\alpha ,$ $\beta <\gamma <\alpha .$ $\alfa$ $\beta$ $\alpha =\beta {\dot +}1$ $\alpha=\beta+1,$
Ordinaltal, der ikke er ikke-begrænsende, kaldes limit - ordinaltal (nogle gange også omtalt som limit-ordinaltal). $\varnothing$
$\alpha {\dot +}1=\alpha \cup \{\alpha \}.$
Mængden af alle endelige ordenstal er isomorfisk med mængden af ikke-negative heltal , og den samme notation bruges for dem som for heltal. I dette tilfælde overføres operationerne addition, multiplikation og eksponentiering for ordenstal til de tilsvarende operationer for heltal. Flere første ordenstal:

{\begin{aligned}&0=\varnothing ;\\&1=\{0\}=0\cup \{0\}=\{\varnothing \};\\&2=\{0,1\}=1 \kop \{1\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\};\\&3=\{0,1,2\}=2\kop \{2\}=\{\varnothing , \{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\};\\&\dots \end{aligned))

Mængden af alle endelige ordenstal betegnes Det er det mindste grænseordinaltal og det mindste uendelige (nemlig tællelige ) ordenstal. Det næste serienummer er $\omega.$ $\omega {\dot +}1=\omega \cup \{\omega \}.$
Den endelige betingelse kan skrives som eller, som er den samme, $\alfa$ $\alfa <\omega$ $\alfa \i \omega .$
Der er et uendeligt sæt af ordenstal, men der er ikke noget sæt af alle ordenstal. Med andre ord er totaliteten af alle ordenstal en ordentlig klasse .
Hvert sæt af ordenstal er afgrænset ovenfra og har den mindste øvre grænse , som er angivet med $EN$ $\sup A.$ $A\subseteq \sup A.$
Hvis er det begrænsende ordenstal eller , så ellers $\alfa$ $\varnothing$ $\up \alpha =\alpha ,$ $\up \alpha <\alpha .$
Den mindste øvre grænse af et tælleligt sæt af tællelige ordenstal kan tælles [5] .
Hver ordinal α har en unik repræsentation i Cantor normalform , hvor , , og er ordenstal. Formularen giver dig mulighed for at finde udvidelser som følgende: $\omega ^{\beta _{1}}c_{1}+\omega ^{\beta _{2}}c_{2}+\cdots +\omega ^{\beta _{k}}c_ {k}$ $k\in {\mathbb {N}}$ $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{k}\in \mathbb {N}$ $\beta _{1}>\beta _{2}>\ldots >\beta _{k}\geq 0$ $\omega ^{\left(\omega ^{\left(\omega ^{7}\cdot 6+\omega +42\right)}\cdot 1729+\omega ^{9}+88\right) }\cdot 3+\omega ^{\left(\omega ^{\omega}\right)}\cdot 5+65537$

Ordinal aritmetik

Operationsdefinitioner

Summen af ordenstal er rekursivt defineret som følger:

{\begin{aligned}&\alpha +0=\alpha \\&\alpha +(\beta {\dot {+}}1)=(\alpha +\beta ){\dot {+}} 1\\&\alpha +\gamma =\sup\{\alpha +\beta \mid \beta <\gamma \},\end{aligned))

hvor den tredje regel gælder, hvornår er det begrænsende ordenstal .

\gamma

Ved at bruge den samme notation definerer vi multiplikationsoperationen:

{\begin{aligned}&\alpha \cdot 0=0\\&\alpha \cdot (\beta {\dot +}1)=\alpha \cdot \beta +\alpha \\&\alpha \cdot \gamma =\sup\{\alpha \cdot \beta \mid \beta <\gamma \}.\end{aligned}}

Ved at bruge den samme notation definerer vi eksponentieringsoperationen:

{\begin{aligned}&\alpha ^{0}=1\\&\alpha ^{{\beta {\dot +}1}}=\alpha ^{\beta}\cdot \alpha \\&\alpha ^{\gamma }=\sup\{\alpha ^{\beta }\midt \beta <\gamma \}.\end{aligned))

Operationsegenskaber

Ordinal addition er ikke-kommutativ; i særdeleshed, $1+\omega =\omega \neq \omega +1.$
Tilføjelsen af ordenstal er associativ: hvilket giver dig mulighed for at skrive summen af flere led uden parentes. $\alpha +(\beta +\gamma )=(\alpha +\beta )+\gamma ,$
Summen stiger med væksten af det højre led og falder ikke med væksten af venstre led: det følger af og ${\displaystyle \beta _{1}>\beta _{2))$ ${\displaystyle \alpha +\beta _{1}>\alpha +\beta _{2))$ $\beta _{1}+\alpha \geqslant \beta _{2}+\alpha .$
Hvis der så er en unik ordinal for hvilken $\alpha \geqslant \beta ,$ $\gamma$ $\beta +\gamma =\alpha .$
Multiplikation af ordenstal er ikke-kommutativ; i særdeleshed, $2\cdot \omega =\omega \neq \omega \cdot 2.$
Multiplikation af ordenstal er associativ: hvilket giver dig mulighed for at skrive produktet af flere faktorer uden parentes. $\alpha \cdot (\beta \cdot \gamma )=(\alpha \cdot \beta )\cdot \gamma ,$
Addition og multiplikation er venstredistributive: $\alpha \cdot (\beta +\gamma )=\alpha \cdot \beta +\alpha \cdot \gamma .$
$\alpha +0=0+\alpha =\alpha .$
$\alpha +1=\alpha {\dot +}1.$
$\alpha \in \omega \leftrightarrow \alpha +\omega =\omega .$
$\alpha \cdot 0=0\cdot \alpha =0.$
$\alpha \cdot 1=1\cdot \alpha =\alpha .$
$\alpha \in \omega \land \alpha \neq 0\leftrightarrow \alpha \cdot \omega =\omega .$
$\alpha +\beta =0\venstrehøjrepil \alpha =0\land \beta =0.$
$\alpha \cdot \beta =0\venstrehøjrepil \alpha =0\eller \beta =0.$
$\alpha ^{0}=1.$
$\alpha ^{1}=\alpha .$
$\alpha \neq 0\leftrightarrow 0^{\alpha }=0.$
$1^{\alpha }=1.$
$\alpha \in \omega \land \alpha >1\leftrightarrow \alpha ^{\omega }=\omega .$
$\alpha ^{\beta }\cdot \alpha ^{\gamma }=\alpha ^({\beta +\gamma }}).$
$(\alpha ^{\beta })^{\gamma }=\alpha ^({\beta \cdot \gamma }}).$
$\alpha >1\land \beta >\gamma \leftrightarrow \alpha ^{\beta }>\alpha ^{\gamma }.$
$\beta \in \omega \to \alpha +\beta =\alpha \underbrace {{\dot +}1{\dot +}1{\dot +}\dots {\dot +}1}_{\beta } .$
$\beta \in \omega \to \alpha \cdot \beta =0\underbrace {+\alpha +\alpha +\dots +\alpha }_{\beta }.$
$\beta \in \omega \to \alpha ^{\beta }=1\underbrace {\cdot \alpha \cdot \alpha \cdot \dots \cdot \alpha }_{\beta }.$
I tilfælde af endelige argumenter går addition, multiplikation og eksponentiering ind i de tilsvarende operationer for heltal (med endelige resultater).
I tilfælde af tællelige argumenter kan resultaterne af addition, multiplikation og eksponentiering også tælles.

Se også

Kardinalnummer

Noter

↑ En mere detaljeret beskrivelse blev givet af Levy (1979) og Yeh (2003).
↑ von Neumann, 1923
↑ Ifølge Levy (1979, s. 52) går denne idé tilbage til et upubliceret værk af Zermelo (1916), samt adskillige artikler skrevet af von Neumann i 1920'erne.
↑ Ershov, 1987 , s. 84.
↑ N. K. Vereshchagin, A. Shen. Begyndelsen af mængdeteori . - 3. - M . : MTSNMO, 2008. - S. 96. Arkivkopi dateret 20. oktober 2019 på Wayback Machine

Litteratur

Ershov Yu.L. , Palyutin E.A. Matematisk logik. — M .: Nauka, 1987. — 336 s.
Cantor, Georg (1883), Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten. 5. , Mathematische Annalen bind 21 (4): 545–591, doi : 10.1007 / bf01446819 , . Udgivet særskilt som: Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre .
Cantor, Georg (1897), Beitrage zur Begrundung der transfiniten Mengenlehre. II , Mathematische Annalen bind 49 (2): 207–246 , ,BF01444205/10.1007:doi .
Conway, John H. & Guy, Richard (2012), Cantor's Ordinal Numbers , The Book of Numbers , Springer, s. 266-7, 274, ISBN 978-1-4612-4072-3
Dauben, Joseph (1979), Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite , Harvard University Press , ISBN 0-674-34871-0
Ewald, William B., red. (1996), Fra Immanuel Kant til David Hilbert : A Source Book in the Foundations of Mathematics, bind 2 , Oxford University Press , ISBN 0-19-850536-1
Ferreirós, José (1995), 'What fermented in me for years': Cantor's discovery of transfinite numbers , Historia Mathematica bind 22: 33–42, doi : 10.1006/hmat.1995.1003 , < http://www.sciencedirect.com /science/article/pii/S0315086085710038 > Arkiveret 11. april 2019 på Wayback Machine
Ferreirós, José (2007), Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Mathematical Thought (2. reviderede udgave), Birkhäuser , ISBN 3-7643-8349-6
Hallett, Michael (1986), Cantorian Set Theory and Limitation of Size , Oxford University Press, ISBN 0-19-853283-0
Hamilton, A.G. (1982), 6. Ordinal- og kardinaltal, tal, mængder og aksiomer: The Apparatus of Mathematics , New York: Cambridge University Press, ISBN 0-521-24509-5
Kanamori, A. , Set Theory from Cantor to Cohen , i Irvine, Andrew & Woods, John H., The Handbook of the Philosophy of Science , vol. 4 Mathematics, Cambridge University Press Arkiveret 4. april 2012 på Wayback Machine — Skal vises.
Levy, A. (2002), Basic Set Theory , Springer-Verlag , ISBN 0-486-42079-5
Jech, Thomas (2013), Set Theory (2. udgave), Springer, ISBN 978-3-662-22400-7 , < https://books.google.com/books?id=GHjmCAAAQBAJ >
Sierpiński, W. (1965), Cardinal and Ordinal Numbers (2. udgave), Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe Definerer også ordensoperationer i form af Cantor Normal Form.
Suppes, P. (1960), Axiomatic Set Theory , D. Van Nostrand, ISBN 0-486-61630-4
Tait, William W. (1997), Frege versus Cantor og Dedekind: On the Concept of Number , i William W. Tait, Early Analytic Philosophy: Frege, Russell, Wittgenstein , Open Court, s. 213–248, ISBN 0-8126-9344-2 Arkiveret 24. oktober 2018 på Wayback Machine
von Neumann, Johann (1923), Zur Einführung der transfiniten Zahlen , Acta litterarum ac scientiarum Ragiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, Sectio scientiarum mathematicarum bind 1: 199–208 , < http: //acta.fyx/showCustomeraArt . .action?id=4981&dataObjectType=article&returnAction=showCustomerVolume&sessionDataSetId=39716d660ae98d02&style= > Arkiveret 18. december 2014 på Wayback Machine
von Neumann, John (januar 2002), On the introduction of transfinite numbers , i Jean van Heijenoort, From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931 (3. udgave), Harvard University Press, s. 346–354, ISBN 0-674-32449-8 , < http://www.hup.harvard.edu/catalog.php?isbn=9780674324497 > Arkiveret 20. august 2017 på Wayback Machine - engelsk oversættelse af von Neumann , 1923

Numeriske systemer
Tællelige sæt	Naturlige tal ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Heltal ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rationel ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebraisk ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioder Beregnbar Aritmetik
Reelle tal og deres forlængelser	Ægte ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Kompleks ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Kvaternioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-tal (oktaver, oktonioner) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Skifter Dobbelt Hyperkompleks Superrealistisk Hypermateriale surrealistisk
Numeriske udvidelsesværktøjer	Cayley-Dixon procedure Frobenius sætning Hurwitz-sætning
Andre nummersystemer	kardinalnumre Ordinaltal (transfinite, ordinaler) p-adic Overnaturlige tal intervaltal
se også	dobbelte tal Irrationelle tal transcendentale tal nummerstråle Biquaternion