Dedekind afsnit

Dedekind-sektionen er en af måderne at konstruere reelle tal ud fra rationelle [1] .

Sættet af reelle tal er defineret som sættet af Dedekind-sektioner. På dem er det muligt at fortsætte operationerne med addition og multiplikation .

Historie

Metoden blev introduceret i 1872 af Richard Dedekind [2] [3] .

En lignende konstruktion for geometriske størrelser er implicit til stede i Euklids elementer , nemlig i Bog V lyder definition 5 som følger:

De siger, at mængderne er i det samme forhold mellem den første til den anden og den tredje til den fjerde, hvis de lige mange multipla af den første og tredje samtidigt er større, samtidigt lig med eller samtidigt mindre end de lige mange multipla af den anden og fjerde , hver for enhver multiplicitet, hvis vi tager dem i den passende rækkefølge (9, 10, 11, 12). [4] .

Lignende ideer blev offentliggjort i 1849 af den franske matematiker Joseph Bertrand [5] .

Definition

En Dedekind-sektion er en opdeling af sættet af rationelle tal i to delmængder (nedre eller venstre) og (øverste eller højre), således at [6] : $\mathbb {Q}$ $EN$ $B$

$a<b$ for enhver og , $a\i A$ $b\i B$
$B$ har ikke det mindste element.

Yderligere er Dedekind-sektionen angivet (selvom det ville være tilstrækkeligt at angive et af disse sæt, det andet supplerer det til ). $(A,B)$ $\mathbb {Q}$

Hvis et sæt har det største element, kan Dedekind-sektionen identificeres med dette rationelle tal. Ellers definerer snittet et irrationelt tal , der er større end alle tal i sættet og mindre end alle tal i sættet . Efter at have defineret aritmetiske operationer og rækkefølge på det opnåede sæt af sektioner , får vi et felt med reelle tal , og hver sektion bestemmer et og kun et reelt tal. $EN$ $EN$ $B$

Eksempel

Et reelt tal svarer til en Dedekind-sektion, for hvilken [7] : ${\sqrt {2}}$

masser af

A=\{x\in \mathbb {Q} \mid x<0\lor x^{2}<2\}.

masser af

B=\{x\in \mathbb {Q} \mid x>0\land x^{2}>2\};

Intuitivt kan man forestille sig, at vi for at bestemme , skærer sættet i to dele: alle tallene til venstre for , og alle tallene til højre for ; er lig med den mindste nedre grænse af sættet . ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$ $B$

Bestilling af Dedekind sektioner

Lad os introducere en rækkefølge i sættet af sektioner. Først bestemmer vi, at to sektioner og er ens, hvis (så og ). Dernæst skal du definere [8] : $(A,B)$ $(C,D)$ $A=C$ $B=D$

(A,B)<(C,D)

, hvis og på samme tid

A\subset C

A\neq C.

Det er nemt at kontrollere, at alle kravene i den lineære rækkefølge er opfyldt. For rationelle tal er den nye rækkefølge desuden den samme som den gamle.

Af denne definition af orden følger:

Approksimationssætning . Ethvert reelt tal kan tilnærmes ved rationelle tal med enhver nøjagtighed, det vil sige, at det kan indesluttes i et interval med rationelle grænser af en vilkårlig lille længde [9] .

Aritmetik af Dedekind sektioner

For at definere aritmetiske operationer med sektioner kan man bruge tilnærmelsessætningen formuleret i det foregående afsnit.

Lad være reelle tal. Ifølge tilnærmelsessætningen kan man specificere tilnærmelsesintervaller med rationelle grænser for dem: $\alfa ,\beta$

a_{1}<\alpha <a_{2}\quad b_{1}<\beta <b_{2}.

Så er summen [10] et reelt tal indeholdt i alle intervaller af formen Summen af reelle tal eksisterer altid, er entydigt defineret og falder for rationelle tal sammen med den tidligere definition af summen. Subtraktion er altid mulig, derfor danner reelle tal en additiv gruppe med hensyn til den således definerede additionsoperation . $\alfa +\beta$ $(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2}).$

Tilsvarende defineres multiplikationen af reelle tal, som sammen med addition gør mængden af reelle tal til et ordnet felt [11] .

Variationer og generaliseringer

Se også: Dedekind-McNeil færdiggørelse

Dedekind-sektioner kan på lignende måde defineres ikke kun for rationelle tal, men også i ethvert andet lineært ordnet sæt . Se Fuldstændighed (ordensteori) . Det kan påvises, at anvendelse af denne procedure på mængden af reelle tal igen giver $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} .$

En analog af Dedekind-sektioner bruges til at konstruere surrealistiske tal [12] .

Se også

Konstruktive måder at definere et reelt tal på

Noter

↑ Encyclopedia of Mathematics, 1979 .
↑ Richard Dedekind . Stetigkeit und irrationale Zahlen. Friedrich Vieweg und Sohn, Braunschweig 1872. ( online ).
↑ Richard Dedekind. Kontinuitet og irrationelle tal = Stetigkeit und irrationale Zahlen / pr. med ham. S. O. Shatunovsky . - 4. - Matesis , 1923.
↑ Euklids begyndelse . Oversættelse fra græsk og kommentarer af D. D. Mordukhai-Boltovsky med redaktionel deltagelse af I. N. Veselovsky og M. Ya. Vygodsky . M.-L.: GTTI, 1949-1951. Bøger I-VI på www.math.ru Arkiveret 6. oktober 2015 på Wayback Machine eller på mccme.ru Arkiveret 11. august 2011 på Wayback Machine ; Bøger VII-X på www.math.ru Arkiveret 6. oktober 2015 på Wayback Machine eller på mccme.ru Arkiveret 18. september 2011 på Wayback Machine ; Bøger XI-XIV på www.math.ru Arkiveret 6. oktober 2015 på Wayback Machine eller på mccme.ru Arkiveret 20. september 2011 på Wayback Machine
↑ Bertrand, Joseph. Traité d'arithmétique . - 1849. - "Et inkommensurabelt tal kan defineres ved blot at angive, hvordan størrelsen, som det udtrykker, kan dannes ved hjælp af en enhed. I det følgende antager vi, at denne definition består af en indikation af, hvilke kompenserbare tal der er mindre eller flere end et givet. Arkiveret 17. januar 2021 på Wayback Machine
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 17-18.
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 18, 36.
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 19-21.
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 22-24.
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 28-31.
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 31-34.
↑ Se Conways foredrag, cirka 0:16:30 til 0:19:30 . Hentet 11. oktober 2020. Arkiveret fra originalen 9. november 2020. (ubestemt)

Litteratur

Kudryavtsev L. D. Dedekind afsnit // Mathematical Encyclopedia : [i 5 bind] / Kap. udg. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1979. - T. 2: D - Koo. - S. 65. - 1104 stb. : syg. — 150.000 eksemplarer.
Fikhtengol'ts G. M. Forløb af differential- og integralregning. - Ed. 6. - M . : Nauka, 1966. - T. I. - 680 s.