Manifold

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 22. februar 2022; checks kræver 2 redigeringer .

En manifold ( topologisk manifold ) er et rum, der lokalt ligner euklidisk . Det euklidiske rum er det enkleste eksempel på en manifold. Dimensionen af en manifold bestemmes af dimensionen af det euklidiske rum, som den lokalt ligner.

Et mere komplekst eksempel er jordens overflade : det er muligt at lave et kort over et hvilket som helst område af jordens overflade, for eksempel et kort over en halvkugle, men det er umuligt at lave et enkelt (fladt og uden diskontinuiteter) ) kort over hele dens overflade.

Studiet af manifolder begyndte i anden halvdel af det 19. århundrede; de opstod naturligt i studiet af differentialgeometri og teorien om Lie-grupper . De første præcise definitioner blev dog først lavet i 30'erne af det XX århundrede.

Normalt betragtes de såkaldte glatte manifolder , det vil sige dem, hvorpå der er en fornemt klasse af glatte funktioner - i sådanne manifolder kan man tale om tangentvektorer og tangentrum. For at måle længden af kurver og vinkler har vi brug for en ekstra struktur - den riemannske metriske .

I klassisk mekanik er den underliggende manifold faserummet . I generel relativitetsteori bruges en firedimensionel pseudo-Riemann-manifold som en model for rumtid .

Definitioner

$n$ En-dimensional topologisk manifold uden grænse er et Hausdorff-topologisk rum med en tællig base , hvor hvert punkt har et åbent kvarter , homøomorf til en åben undergruppe , det vil sige et - dimensionelt euklidisk rum . $\mathbb {R} ^{n}$ $n$

$n$ -dimensionel topologisk manifold[ klargør ] er et Hausdorff-topologisk rum med en tællig base , hvor hvert punkt har et kvarters homeomorf til en åben delmængde af et lukket halvrum i (vi betragter også åbne foreninger af åbne delmængder med skæringspunktet mellem deres grænse og grænsehyperplan) . $\mathbb {R} ^{n}$

Punkter, der har et åbent kvarter, der er homøomorft til en åben delmængde , kaldes interne , og sættet af alle sådanne punkter er det indre af manifolden (det er altid et ikke-tomt sæt). $\mathbb {R} ^{n}$
Komplementet til interiøret kaldes en grænse , det er en dimensionel manifold uden grænse. $(n-1)$

Funktioner af definitionen

Betingelsen for basistællelighed svarer til det faktum, at mangfoldigheden indlejres i et euklidisk rum med en endelig dimension (det faktum, at en sådan indlejring eksisterer, bekræftes af Whitneys indlejringssætning ).
Nogle gange bruges en svagere betingelse for, at rummet er parakompakt i stedet for grundtællelighedsbetingelsen [1] .
Begrebet en kant introduceret her er på ingen måde ækvivalent med begrebet en relativ grænse i generel topologi.
Kravet om at være Hausdorff kan virke overflødigt; Et eksempel på et rum, der lokalt er homøomorft til euklidisk, men ikke Hausdorff, kan konstrueres ved at lime to kopier af den rigtige linje på alle undtagen ét punkt.

Glatte manifolder

Den glatte struktur defineret nedenfor forekommer almindeligvis i næsten alle applikationer og gør manifolden meget lettere at arbejde med.

For en topologisk manifold uden grænse er et kort en homøomorfi fra et åbent sæt til et åbent undersæt . Et sæt kort , der dækker alt , kaldes et atlas . $M$ $\varphi$ $U\undersæt M$ $\mathbb {R} ^{n}$ $M$

Hvis to kort og dækker et punkt i , så definerer deres sammensætning et "limning" kort fra det åbne sæt til det åbne sæt . Hvis alle limningsmappinger er fra en klasse (det vil sige gange kontinuerligt differentierbare funktioner), så kaldes atlasset et atlas (man kan også betragte eller , som svarer til uendeligt differentierbare og analytiske limninger). $\varphi$ $\psi$ $M$ $\varphi\circ\psi^{-1}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $C^k$ $k$ $C^k$ $k=\infty$ $\omega$

Eksempel: en kugle kan dækkes - med et atlas over to kort over tilføjelserne af nord- og sydpolen med stereografiske projektioner i forhold til disse poler. $C^\infty$

To atlas definerer en glat struktur, hvis deres forening er -atlas . $C^k$ $C^k$ $C^k$

For sådanne manifolds kan man introducere begreberne tangentvektor , tangent- og cotangensrum og bundter .

For en given -glat struktur kan man finde en -glat struktur givet af et nyt -atlas , der definerer den samme -glatte struktur. Desuden er alle sådanne manifolder opnået på denne måde -diffeomorfe. Derfor forstås en glat struktur ofte som en -glat struktur. $C^1$ $C^\infty$ $C^\infty$ $C^1$ $C^\infty$ $C^1$

Ikke enhver topologisk manifold indrømmer en glat struktur. Eksempler på sådanne "ru" manifolds optræder allerede i dimension fire. Der er også eksempler på topologiske manifolder, der tillader flere forskellige glatte strukturer. Det første eksempel på en ikke-standard glat struktur, den såkaldte Milnor-sfære , blev konstrueret af Milnor på en syv-dimensionel kugle.

Eksempler

Det enkleste eksempel på en manifold er mellemrummene $\mathbb {R} ^{n},\;\forall n\in [0,+\infty )$
En cirkel er en manifold med dimension 1. Generelt kan enhver ikke-selv-skærende kontur betragtes som en endimensionel manifold. Bemærk, at for en ikke-glat kontur er den tilsvarende kortlægning af indlejringen i ikke en kortlægning af glatte manifolds. $\mathbb {R} ^{n}$
Disken er en manifold med grænse .
Enhver todimensionel overflade uden kant er et eksempel på en todimensionel manifold ( kugle , torus , kringle , …). Ifølge den velkendte topologiske klassifikationssætning har enhver orienterbar todimensionel manifold form af en kugle med flere limede håndtag.
En Möbius-strimmel er et eksempel på en todimensionel ikke-orienterbar manifold med grænse. Et eksempel på en ikke-orienterbar todimensionel manifold uden grænse er det projektive plan (manifolden af linjer i ). Bemærk, at det ikke kan indlejres i . $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$
Alle ovenstående eksempler på manifolder kan unikt udstyres med en glat struktur. I højere dimensioner er forskellige glatte strukturer imidlertid mulige på den samme topologiske manifold.
Ikke-trivielle eksempler på manifolder af enhver dimension er projektive rum (en række linjer i ) og Grassmannian manifolder (en række -dimensionelle underrum i ). $\RP^n$ $\R^{n+1}$ $\mathrm{Gr}(k,n)$ $k$ $\mathbb {R} ^{n}$

Manifoldtyper

En lukket manifold er en kompakt tilsluttet manifold uden grænse. Eksempler: cirkel , kugle , torus , Klein flaske .
En åben manifold er en ikke -kompakt tilsluttet manifold uden grænse. Eksempler: Euklidisk rum .

Klassifikation af manifolder

Enhver forbundet endimensionel manifold uden grænse er homøomorf i forhold til en reel linje eller cirkel.

Den homøomorfe klasse af en lukket forbundet overflade er givet af dens Euler-karakteristik og orienterbarhed (hvis overfladen er orienterbar, så er det en kugle med håndtag , hvis ikke, så den forbundne sum af flere kopier af det projektive plan ).

Klassificeringen af lukkede 3 -manifolder følger af Thurstons formodning , som for nylig blev bevist af Perelman .

Hvis dimensionen er større end tre, er klassificering umulig; desuden er det ikke muligt at konstruere en algoritme, der bestemmer, om en manifold blot er forbundet . Der er dog en klassificering af alle enkelt forbundne manifolder i alle dimensioner ≥ 5.

Man kan også klassificere glatte manifolder.

I dimensionerne 1, 2 og 3 er ethvert par homøomorfe manifolder også diffeomorfe.
I dimension 4 er der eksempler på lukkede manifolder, der tillader et uendeligt antal ikke-ækvivalente glatte strukturer, mens åbne manifolds, såsom , tillader et kontinuum af forskellige glatte strukturer. $\R^4$
I dimensioner 5 og derover tillader enhver topologisk manifold højst et begrænset antal ikke-ækvivalente glatte strukturer.

Yderligere strukturer

Glatte manifolder er ofte udstyret med yderligere strukturer. Her er en liste over de mest almindeligt stødte på yderligere strukturer:

Metrisk tensor
Symplektisk form
Kompleks struktur

Variationer og generaliseringer

Se også

Algebraisk sort
graf-manifold

Noter

↑ S. Lang. Introduktion til differentierbare manifolder. — 2. - Springer-Verlag New York, Inc., 2002. - 250 s. — ISBN 0-387-95477-5 .

Litteratur

Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. moderne geometri. Metoder og anvendelser. - 2e. — M .: Nauka , 1986. — 760 s.

Dimension af rummet
Rum efter dimension	Nuldimensional endimensionel 2D 3D fire dimensionelle femdimensional Seksdimensional Syvdimensional oktal Ni-dimensional n-dimensionelle Negativ dimension
Polytoper og figurer	Simplex hyperkube tesseract Hyperrektangel (ortotop) Semihyperkube Cross-polytope hypersfære
Typer af rum	et endeligt dimensionelt rum Euklidisk rum affint rum projektivt rum Gratis modul Manifold Dimension af en algebraisk variabel rumtid
Andre dimensionelle begreber	Krull dimension Lebesgue dimension Induktiv dimension Fraktionel dimension ( Minkowski dimension , Hausdorff dimension ) fraktal dimension Grader af frihed
Matematik