Forbindelse (differentiel geometri)
En forbindelse er en struktur på et glat bundt, der består i valget af en "horisontal retning" på hvert punkt i bundtets rum.
Mere præcist: Lad et glat bundt gives , forbindelsen er en delbundt af tangentbundtet over , sådan at for hvert punkt projektionen
her angiver differentialet ved punktet .
Forbindelsen gør det muligt at differentiere sektionerne af bundtet langs retningen.
Tilslutning giver dig mulighed for at definere en parallel sektion langs en kurve i bundtet. Især gør forbindelsen det muligt at konstruere en kanonisk trivialisering af et bundt over en kurve (uden selvskæring), men det er muligt at konstruere en kanonisk trivialisering for et bundt over en manifold i et eller andet kvarter , hvis og kun hvis krumningstensor af den givne forbindelse forsvinder der . I fysisk sprog, med hensyn til rum-tid, siger dette, at det er muligt at introducere en lokal Lorentz-referenceramme langs en vilkårlig ikke-selv-skærende kurve, men ikke i nærheden af et punkt, hvis krumningstensoren i dette kvarter er ikke-nul.
Navneforbindelsen kommer af, at den forbinder tangentrum på forskellige punkter i manifolden. Det er forbindelsen, der organiserer strukturen af tangentbundtet . Kort sagt, tilslutning giver dig mulighed for at overføre geometriske objekter fra et punkt i manifolden til et andet og er nødvendig for at sammenligne objekter på forskellige punkter i manifolden.
Forbindelsestyper
- En affin forbindelse er en lineær forbindelse på tangentbundtet af en manifold.
- En Levi-Civita-forbindelse er en affin forbindelse med nul-torsion på en Riemann -manifold (eller pseudo-Riemann- manifold) , med hensyn til hvilken den metriske tensor er kovariant konstant.
