Snub dodekaeder
Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 1. april 2022; verifikation kræver 1 redigering .| snub dodekaeder | |
|---|---|
| Type | Halvregulær polyeder |
| kant | femkant , trekant |
| ansigter | |
| ribben | |
| Toppe | |
| Facetter øverst | |
| Solid vinkel |
3-3:164°10'31"(164,18°) |
| Schläfli symbol | sr{5,3} eller |
| Wythoff symbol | 2 3 5 |
| Coxeter diagram |   
|
| Rotationssymmetrier | I , [5,3] + , (532), rækkefølge 60 |
| Dobbelt polyeder |
Femkantet hexacontahedron |
| Scan | |
Med kantfarvning |
|
Den snub dodecahedron [1] [2] , snub dodecahedron [3] eller snub icosidodecahedron er et semiregulært polyeder (Arkimedisk fast stof), en af tretten konvekse isogonale ikke-prismatiske faste stoffer, hvis sider er to eller flere regulære polygoner .
Den snubte dodekaeder har 92 flader (det største antal af alle arkimedeanske faste stoffer), 12 af dem er femkanter , og de resterende 80 er regulære trekanter . Den har 150 kanter og 60 hjørner.
Polyederet har to distinkte former, der er spejlbilleder (eller " enantiomorfisk visning ") af hinanden. Foreningen af begge typer danner en sammensætning af to snævre dodekaeder , og det konvekse skrog af denne konstruktion er et rombotrunkeret icosidodecahedron .
Kepler kaldte det oprindeligt i 1619 til det latinske dodecahedron simum i sin bog Harmonices Mundi . Harold Coxeter bemærkede, at et polyeder kunne opnås på lige fod fra et dodekaeder eller et icosahedron, og kaldte det det snub-icosidodecahedron med det lodrette Schläfli-symbol .
Forholdet mellem længden af ribben "a" og diameteren af den omskrevne kugle "D":
D=4,311675*a
Kartesiske koordinater
De kartesiske koordinater af knudepunkterne på snub-dodekaederet er alle lige permutationer
(±2α, ±2, ±2β), (±(α+β/ϕ+ϕ), ±(−αϕ+β+1/ϕ), ±(α/ϕ+βϕ−1)), (±(α+β/ϕ−ϕ), ±(αϕ−β+1/ϕ), ±(α/ϕ+βϕ+1)), (±(−α/ϕ+βϕ+1), ±(−α+β/ϕ−ϕ), ±(αϕ+β−1/ϕ)) og (±(−α/ϕ+βϕ−1), ±(α−β/ϕ−ϕ), ±(αϕ+β+1/ϕ)),med et lige antal plustegn, hvor
α = ξ − 1 / ξog
β = ξϕ + ϕ 2 + ϕ /ξ,Her er ϕ = (1 + √5)/2 det gyldne snit , og ξ er den reelle løsning af ligningen ξ 3 − 2ξ = ϕ, og dette tal er
![\xi = \sqrt[3]{\frac{\phi}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\phi - \frac{5}{27))} + \sqrt[3]{ \frac{\phi}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{\phi - \frac{5}{27}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ece82cface6818cdc3ab95d570839064eae3faa7)
eller cirka 1,7155615.
Dette snub-dodekaeder har en kantlængde på cirka 6,0437380841.
Hvis vi tager ulige permutationer af ovenstående koordinater med et lige antal plustegn, får vi en anden, enantiomorf form af den første. Selvom det ikke umiddelbart er indlysende, er kroppen opnået fra lige permutationer den samme som fra ulige permutationer. På samme måde vil spejlbilledet af et polyeder svare til enten lige eller ulige permutationer.
Overfladeareal og volumen
For et snub dodecahedron med kantlængde 1 er overfladearealet
og lydstyrken er
,
hvor ϕ er det gyldne snit .
Det snubte dodekaeder har den højeste sfæriskhed af ethvert arkimedisk fast stof .
Ortografiske projektioner
Snubbedodekaederet har to specielle ortogonale projektioner centreret på to typer flader - trekantede og femkantede, svarende til Coxeter-planerne A 2 og H 2 .
| Centreret pårørende | trekantet ansigt |
Femkantet ansigt |
Ribben |
|---|---|---|---|
| Billede | |||
| Projektiv symmetri |
[3] | [5] + | [2] |
| Dobbelt polyeder |
Geometriske links
| Rotation af snub dodecahedron |
|---|
Det snub-dodecahedron kan fås fra de tolv regulære femkantede flader af dodecahedron ved at trække dem udad , så de ikke længere rører hinanden. Når det strækkes til en passende afstand, vil dette give et rhombicosidodecahedron , hvis det resulterende mellemrum mellem de opdelte kanter er fyldt med firkanter, og mellem de opdelte hjørner med trekanter. Men for at få et snubt udseende udfylder vi kun de trekantede flader og efterlader de firkantede huller tomme. Nu roterer vi femkanterne om deres centre sammen med trekanter, indtil de firkantede mellemrum bliver til ligesidede trekanter.
Dodekaeder |
Rhombicosidodecahedron ( Udvidet dodecahedron ) |
snub dodekaeder |
Det snub-dodecahedron kan også fås fra det trunkerede icosidodecahedron ved at skiftevis . De tres hjørner af det trunkerede icosidodecahedron danner et polyeder, der topologisk svarer til et snub dodecahedron. De resterende tres udgør dets spejlbillede. Det resulterende polyeder er vertex-transitivt , men ikke homogent, da det har kanter af forskellig længde, er det nødvendigt med en vis deformation for at bringe det til et homogent polyeder.
Relaterede polyedre og flisebelægninger
| Symmetri : [5,3] , (*532) | [5,3] + , (532) | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
 
|
|
|
|
|
|
|
|
| {5,3} | t{5,3} | r{5,3} | t{3,5} | {3,5} | rr{5,3} | tr{5,3} | sr{5,3} |
| Dobbelt til ensartet polyedre | |||||||
| V5.5.5 | V3.10.10 | V3.5.3.5 | V5.6.6 | V3.3.3.3.3 | V3.4.5.4 | V4.6.10 | V3.3.3.3.5 |
Denne semiregulære polytop tilhører sekvensen af snub [ polyedre og flisebelægninger med vertex figur (3.3.3.3. n ) og Coxeter-Dynkin diagram 
. Disse figurer og deres dualer har (n32) rotationssymmetri [ og eksisterer i det euklidiske plan for n=6 og det hyperbolske plan for enhver n større end 6. Vi kan antage, at sekvensen begynder med n=2, hvis vi antager at nogle faste ansigter degenererer til bicagoner .
| Symmetri n 32 |
sfærisk | Euklidisk | Kompakt hyperbolsk. | Paracomp. | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 232 | 332 | 432 | 532 | 632 | 732 | 832 | ∞32 | |
| Snubbefigurer _ |
||||||||
| Konfiguration | 3.3.3.3.2 | 3.3.3.3.3 | 3.3.3.3.4 | 3.3.3.3.5 | 3.3.3.3.6 | 3.3.3.3.7 | 3.3.3.3.8 | 3.3.3.3.∞ |
| tal | ||||||||
| Konfiguration | V3.3.3.3.2 | V3.3.3.3.3 | V3.3.3.3.4 | V3.3.3.3.5 | V3.3.3.3.6 | V3.3.3.3.7 | V3.3.3.3.8 | V3.3.3.3.∞ |
Snub dodecahedron graf
| snub dodecahedron graf | |
|---|---|
| Toppe | 60 |
| ribben | 150 |
| Automorfismer | 60 |
| Ejendomme |
Hamiltonian regulær |
| Mediefiler på Wikimedia Commons | |
I grafteori er snub -dodecahedron- grafen grafen for toppunkter og kanter snub-dodecahedron. Den har 60 hjørner og 150 kanter og er en arkimedesk graf [4] .
Se også
- Konvertering af en flad polygon til en polyeder- animation
- ccw og cw er roterende snub-dodekaeder
Noter
- ↑ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1963 , s. 437, 435.
- ↑ Lyusternik, 1956 , s. 183.
- ↑ Wenninger 1974 , s. 20, 42.
- ↑ Læs, Wilson, 1998 , s. 269.
Litteratur
- M. Wenninger . polyedre modeller. - Verden , 1974.
- Polygoner og polyedre // Encyclopedia of elementary mathematics. Bog fire. Geometri / Udg. P.S. Aleksandrov , A.I. Markushevich , A. Ya. Khinchin . - M .: Statens forlag for fysisk og matematisk litteratur , 1963. - S. 382-447.
- L. A. Lyusternik . Konvekse figurer og polyeder. - M .: Statens forlag for teknisk og teoretisk litteratur , 1956.
- Udaya Jayatilake. Beregninger på ansigt og toppunkt regulære polyedre // Matematisk Gazette. - 2005. - T. 89 , no. 514 (marts) . — s. 76–81 .
- Robert Williams. Det geometriske grundlag for naturlig struktur: En kildebog til design . - Dover Publications, Inc., 1979. - ISBN 0-486-23729-X .. (afsnit 3-9)
- P. Cromwell. Polyeder. - Storbritannien: Cambridge, 1997. - s. 79–86 Arkimedeanske faste stoffer . - ISBN 0-521-55432-2 .
- RC Read, RJ Wilson. Et atlas af grafer. — Oxford University Press, 1998.
Links
- Weisstein, Eric W. Snub dodecahedral graf (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
- 3D konvekse ensartede polyedre Arkiveret 22. december 2015 på Wayback Machine
- Redigerbart printbart net af et Snub Dodecahedron med interaktiv 3D-visning Arkiveret 23. december 2015 på Wayback Machine
- The Uniform Polyhedra Arkiveret 11. februar 2008 på Wayback Machine
- Virtual Reality Polyhedra Arkiveret 23. februar 2008 på Wayback Machine The Encyclopedia of Polyhedra
- The Snub Dodecahedron lavet med LEGO Arkiveret 22. december 2015 ved Wayback Machine af Antonio Nicassio (ITALIEN)