Hilberts tredje problem

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 4. november 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Hilberts tredje problem er det tredje af de problemer , som David Hilbert stillede i hans berømte foredrag på II International Congress of Mathematicians i Paris i 1900. Dette problem er afsat til spørgsmålene om ens sammensætning af polyedre : muligheden for at skære to polyedre af samme volumen til et endeligt antal lige dele-polyedre.

Stillingen af et sådant spørgsmål skyldtes det faktum, at på den ene side, på et plan, er to polygoner med samme areal ligeligt sammensat - som Bolyai-Gervin-sætningen siger . På den anden side var de eksisterende metoder til at bevise formlen for volumenet af et tetraeder (1/3 af produktet af højden og arealet af basen) på en eller anden måde forbundet med grænseovergange og dermed med aksiomet for Arkimedes [1] . Selvom det bogstaveligt talt i den af Hilbert foreslåede formulering handlede om den lige sammensætning af tetraedre (eller mere præcist, om beviset for umuligheden af en sådan opdeling i det generelle tilfælde), udvides det umiddelbart og naturligt til spørgsmålet om den lige sammensætning af vilkårlige polyedre af et givet volumen (eller mere præcist, om det nødvendige og tilstrækkelige til disse forhold).

Det tredje problem viste sig at være det enkleste af Hilberts problemer: et eksempel på ulige tetraedre af samme volumen blev præsenteret et år senere, i 1901, i værket [2] af Hilberts elev M. V. Dehn . Han konstruerede nemlig (ved at tage værdier i en eller anden abstrakt gruppe ) en størrelse - Dehn-invarianten - hvis værdier på ligeligt sammensatte polyedre er ens, og præsenterede et eksempel på tetraedre med samme volumen, for hvilke værdierne af Dehn invariant er forskellige.

Senere Seidleri sit arbejde [3] i 1965 viste han, at sammenfaldet af volumenet og Dehn-invarianten ikke kun er nødvendige, men også tilstrækkelige betingelser for ækvikompositionen af polyedre.

Udtalelse af problemet

Hilberts tredje problem er formuleret som følger:

Gauss udtrykker i sine to breve til Gerling sin beklagelse over, at nogle velkendte stereometripositioner afhænger af udmattelsesmetoden, det vil sige i moderne termer på kontinuitetsaksiomet (eller af Arkimedes' aksiom).

Gauss bemærker specifikt Euklids sætning, ifølge hvilken mængderne af trekantede pyramider med samme højde er relateret til arealet af deres baser. Et lignende problem med planimetri er nu fuldstændig løst. Det lykkedes også Gerling at bevise ligheden af volumen af symmetriske polyedre ved at opdele dem i kongruente dele.

Ikke desto mindre forekommer det mig, at beviset for den nævnte Euklids sætning på denne måde i det almindelige tilfælde er umuligt, og dette kan tilsyneladende bekræftes af et strengt bevis for umuligheden.

Et sådant bevis kunne opnås, hvis det var muligt at angive to tetraedre med lige store baser og lige højder, som ikke kan nedbrydes til kongruente tetraedre på nogen måde, og som heller ikke kan fuldføres med kongruente tetraedre til sådanne polyedre, for hvilke nedbrydningen til kongruente tetraedre Måske .

David Hilbert (citeret fra bogen af V. G. Boltyansky [4] )

Dehns invariant

Invarianten konstrueret af Dehn tager værdier i en abstrakt gruppe (og desuden et vektorrum over ) $\mathbb {Q}$

V=\mathbb{R} \otimes _{{\mathbb{Q} }}\mathbb{R} /\langle \{l\otimes \pi \mid l\in \mathbb{R} \}\rangle .

Nemlig, for en polytop P med kantlængder og tilsvarende dihedriske vinkler sættes Dehn-invarianten D(P) lig med $l_{1},\dots ,l_{n}$ $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}$

D(P):=\sum _{i}l_{i}\nogle gange \alpha _{i}\i V

Når du skærer et polyeder i dele, kan værdien af summen "længde af kant inkluderet vinkel" kun ændre sig, når nye kanter dukker op/forsvinder, der vises inden for eller på grænsen. Men for sådanne kanter er summen af de dihedriske vinkler, der støder op til dem, lig med eller henholdsvis, som et element i faktoren V ændres Dehn-invarianten ikke. $\ nogle gange$ $2\pi$ $\pi$

Eksempel

Et eksempel på anvendelsen af Dehn-invarianten er den ujævne sammensætning af en terning og et regulært tetraeder med samme volumen: for en terning med en kant l er Dehn-invarianten , og for et regulært tetraeder med en kant a - $12l\nogle gange {\frac {\pi }{2))=6l\nogle gange \pi =0$

6a\nogle gange 2\arctan {\frac {1}{{\sqrt {2))))\neq 0,

fordi $\arctan {\frac {1}{{\sqrt {2))))\notin \mathbb{Q} \pi .$

Noter

↑ Arkiveret kopi (link ikke tilgængeligt) . Hentet 25. marts 2010. Arkiveret fra originalen 17. oktober 2011. (ubestemt) Arkiveret kopi (ikke tilgængeligt link) . Hentet 25. marts 2010. Arkiveret fra originalen 17. oktober 2011. (ubestemt)
↑ Max Dehn: "Über den Rauminhalt", Mathematische Annalen 55 (1901), nr. 3, side 465-478.
↑ Sydler, J.-P. "Betingelser nécessaires et suffisantes pour l'équivalence des polyèdres de l'espace euclidean à trois dimensions." kommentar. Matematik. Helv. 40, 43-80, 1965.
↑ Boltyansky V. G. Hilberts tredje problem . - M. : Nauka, 1977. - S. 46. - 208 s. Arkiveret 21. april 2017 på Wayback Machine

Litteratur

Hilberts problemer / red. P.S. Alexandrova . — M .: Nauka, 1969. — 240 s. — 10.700 eksemplarer. Arkiveret 17. oktober 2011 på Wayback Machine
Boltyansky V. G. Hilberts tredje problem
Dehn, M. "Über raumgleiche Polyeder." Nachr. Konigl. Ges. der Wiss. zu Göttingen fd Jahr 1900, 345-354, 1900.
Dehn, M. "Über den Rauminhalt." Matematik. Ann. 55, 465-478, 1902.
Sydler, J.-P. "Betingelser nécessaires et suffisantes pour l'équivalence des polyèdres de l'espace euclidean à trois dimensions." kommentar. Matematik. Helv. 40, 43-80, 1965.
P. Cartier, Décomposition des polyèdres: le point sur le troisième problème de Hilbert , Séminaire Bourbaki, 1984-85, n° 646, s. 261-288.

Hilbert problemer
en 2 3 fire 5 6 7 otte 9 ti elleve 12 13 fjorten femten 16 17 atten 19 tyve 21 22 23 ( 24 )