Nioghalvtreds icosaeder

The Fifty -Nine Icosahedra er en bog skrevet og illustreret af Harold Coxeter , Patrick du Val , H.T. Flaser og J.F. Petrie. Bogen viser nogle stjerneformer af regulære konvekse ( platoniske ) icosaeder , bygget i henhold til et sæt regler foreslået af J. C. P. Miller .

Bogen blev udgivet af University of Toronto Press i 1938. En anden udgave blev udgivet af Springer-Verlag i 1982. Keith og David Crennell omskrev fuldstændig teksten og omtegnede fanerne og diagrammerne til den tredje udgave (Tarquin) i 1999 og tilføjede nyt referencemateriale og fotografier.

Forfatterbidrag

Millers regler

Selvom J. C. P. Miller ikke direkte skrev bogen, var han en nær kollega med Coxeter og Petrie. Hans bidrag er udødeliggjort i hans sæt regler for at bestemme, hvilke stjernebilleder der kan betragtes som "essentielle og distinkte":

Ansigterne skal ligge på tyve planer, det vil sige på afgrænsningsplanerne af et regulært icosahedron.
Alle dele, der udgør ansigterne, skal være ens i hvert plan, selvom de er helt adskilt.
Dele, der tilhører et (et) plan, skal have trigonal symmetri med eller uden refleksion. Dette giver icosahedral symmetri for hele kroppen.
Dele, der tilhører et hvilket som helst fly, skal alle være "tilgængelige" i den resulterende krop (dvs. de skal være "ydre". I nogle tilfælde er vi nødt til at bygge enorme modeller for at se alle delene. For modeller i normal størrelse, nogle dele, selvom de er "eksterne", de kan kun detekteres af kravlende insekter).
Sager er udelukket fra behandling, når delene kan opdeles i to sæt, som hver for sig giver en krop med større symmetri end selve figuren. Men vi tillader sammenføjningen af et enantiomorft par, der ikke har nogen fælles dele (faktisk sker dette kun i ét tilfælde).

De første tre regler svarer til symmetrikravene for ansigtsplaner. Regel 4 udelukker indre hulrum, hvilket sikrer, at to stjerneformer ikke ser identiske ud. Regel 5 udelukker alle usammenhængende komponenter af enklere former.

Coxeter

Coxeter var den vigtigste drivkraft bag arbejdet. Han udførte analyser baseret på Millers regler ved at bruge en række teknikker såsom kombinatorik og abstrakt grafteori , hvis anvendelse i geometri var ny på det tidspunkt.

Han bemærkede, at diagrammet af en stjerne indeholder mange segmenter. Han udviklede derefter en procedure til at arbejde med kombinationer af tilstødende flade områder for formelt at opregne de kombinationer, der falder ind under Millers regler.

Grafen præsenteret her viser forbindelsen mellem de forskellige ansigter repræsenteret i stjernediagrammet (se nedenfor). Græske bogstaver definerer et sæt mulige muligheder:

λ kan være 3 eller 4 μ kan være 7 eller 8 ν kan være 11 eller 12

Du Val

Du Val udtænkte symbolsk notation for sæt af kongruetceller baseret på den observation, at de ligger på en "skal" omkring det originale icosahedron. Baseret på dette testede han alle mulige kombinationer mod Millers regler, hvilket bekræftede resultaterne af Coxeters mere analytiske tilgang.

Flazer

Flasers bidrag var ikke direkte – han lavede papmodeller af alle 59 polyedre. Før han mødte Coxeter, havde han allerede lavet mange stjerneformer, inklusive nogle polyedere, der ikke faldt ind under Millers regler. Han fortsatte med at arbejde på skabelsen af en komplet serie, som er gemt i det matematiske bibliotek på University of Cambridge (England). Biblioteket rummer også flere ikke-Millerske modeller, men det vides ikke, om de senere blev lavet af studerende fra Flaser eller Miller [1] .

Petri

John Flinders Petrie, en mangeårig ven af Coxeter, havde en bemærkelsesværdig evne til at repræsentere figurer i firedimensionelt rum. Han og Coxeter arbejdede sammen på mange matematiske problemer. Hans direkte bidrag til bogen ligger i de mange perfekte tredimensionelle tegninger, der giver bogens charme.

Krennels

Til den tredje udgave reviderede Keith og David Crennell teksten fuldstændigt og tegnede illustrationerne og indstikkene om. De tilføjede også en referencesektion indeholdende tabeller, diagrammer og fotografier af nogle af Cambridge-modellerne (menes på det tidspunkt alle var af Flazer). Indekset omfattede alle 59 polyedre, nummereret fortløbende i den rækkefølge, de optrådte i bogen. Der sneg sig adskillige fejl ind under redigeringsprocessen. PDF-fil med korrigerede sider tilgængelig online.

Liste over nioghalvtreds icosaeder

Før Coxeter beskrev kun Brückner og Wheeler nogle betydelige sæt af stjernebilleder, selvom nogle, såsom det store icosahedron, er kendt før. Efter udgivelsen af en bog om 59 icosaeder udgav Wenninger instruktioner til at bygge nogle af modellerne i serien. Nummereringsskemaet, der blev vedtaget i hans bog, blev meget brugt, selvom han kun gav nogle få stjerneformer.

Noter

Nummerering er af Krennels, medmindre andet er angivet.

Krennels

I nummereringen, som Krennel tilføjede i tredje udgave, er de første 32 modeller (numrene 1-32) spejlsymmetriske , og de sidste 27 (numrene 33-59) er chirale , og kun den højre form er angivet i Bestil. Nummereringen svarer til den rækkefølge, som polyedrene optræder i i bogen.

VRML

Link til VRML 3D-grafikfiler lavet af Hart .

celler

Hvis du forbinder et hvilket som helst punkt i rummet ved hjælp af et segment med midten af icosahedron og tæller antallet af skæringspunkter for segmentet med planerne af icosahedronens flader, får du niveauet af punktet (uden at tælle det plan, hvor selve punktet kan være). Alle punkter med et niveau, der ikke overstiger en vis værdi, danner et polyeder . For et regulært icosahedron er 8 sådanne polyeder mulige, som er angivet med store bogstaver A , B , C , …, H , hvor A er det oprindelige icosaeder (niveau 0). Der er punkter med niveau 8 og højere, men de tilsvarende stråler går til det uendelige, og sådanne punkter tages ikke i betragtning.
Punkter på samme niveau danner en skal . I Du Vals notation er skallerne nummereret med de samme bogstaver som polyedrene, men med store bogstaver. Skaller er opbygget af celler .
Nogle celler er opdelt i to typer, de får indekser. For eksempel indbefatter gruppen e celler e1 og e2 . Mængden f 1 er yderligere opdelt i højre og venstre former, som er betegnet med f 1 (almindeligt bogstav) og f 1 (skrå). Hvor alle niveauer er til stede, skrives de med stort, og erstatter hele sekvensen, for eksempel skrives a + b + c + e 1 som Ce 1 .

Facetter

Alle stjerneformer kan defineres med et stjernediagram . I ovenstående diagram viser de farvede nummererede områder de dele, der skal fremstå samlet som en helhed, hvis fuld icosaedrisk symmetri skal opnås. Diagrammet indeholder 13 sådanne sæt. Nogle af dem opdeles i chirale par (ikke vist), hvilket giver stjerneformer med rotationssymmetri, men ikke spejlsymmetri. I tabellen er ansigter, der er synlige nedefra, angivet med en apostrof, for eksempel 3' .

Wenninger

Numrene og de nummererede navne svarer til rækkefølgen af optræden i M. Wenningers bog Models of Polyhedra . Rækkefølgen er generelt tilfældig (vilkårligt valgt af bogens redaktører) og giver ingen matematisk mening. Kun få modeller i Wenningers bog er icosaeder. Deres navne er angivet i en forkortet form, ordene "... icosahedron" er udeladt (for eksempel i stedet for "Den anden stellation af icosahedron" i tabellen er "Den anden stellation af icosahedron").

Wheeler

Wheeler fandt sine figurer ved at vælge segmenter fra et stjernediagram. Han tog omhyggeligt afstand til denne proces fra Keplers klassiske stjernebillede . Coxeter et al ignorerede disse forskelle.

Brueckner

Brückner lavede og fotograferede modeller af mange polyedre, hvoraf kun nogle få var icosaeder.

Noter

Nr. 8 kaldes Echidnahedron på grund af dets overfladiske lighed med den nålebeklædte Echidna . Dette navn er ikke relateret til Keplers beskrivelse af Kepler -Poinsot-legemerne som echidnae .

Tabel over nioghalvtreds icosaeder

Crennell	VRML	Celler	Facetter	Wenninger	Wheeler	Brueckner	Noter
en	[en]	EN	0	04 Ikosaeder	en	9999!	Platonisk solidt ikosaeder
2	[2]	B	en	26 Første stjerneform	2	0802!Tab. VIII, fig. 2	Det første stjernebillede af icosahedron, det lille triambiske icosahedron eller Triakisicosahedron
3	[3]	C	2	23 Sammensætning af fem oktaedre	3	0906!Tab. IX, fig. 6	Korrekt tilslutning af fem oktaedre
fire	[fire]	D	3 4	99	fire	0917!Tab. IX, fig. 17
5	[5]	E	5 6 7	99	99	9999!
6	[6]	F	8 9 10	27 Anden stjerneform	19	9999!
7	[7]	G	11 12	41 Store ikosaeder	elleve	1124!Tab. XI, fig. 24	Stort icosahedron
otte	[otte]	H	13	42 Endelig stjerneform	12	1114!Tab. XI, fig. fjorten	Echidnahedron
9	[9]	e 1	3'5	37 Tolvte stjerneform	99	9999!
ti	[ti]	f1 _	5' 6' 9 10	99	99	9999!
elleve	[elleve]	g 1	10' 12	29 Fjerde stjerneform	21	9999!
12	[12]	e 1 f 1	3' 6' 9 10	99	99	9999!
13	[13]	e 1 f 1 g 1	3' 6' 9 12	99	tyve	9999!
fjorten	[fjorten]	f 1 g 1	5' 6' 9 12	99	99	9999!
femten	[femten]	e 2	4' 6 7	99	99	9999!
16	[16]	f2 _	7'8	99	22	9999!
17	[17]	g2 _	8' 9' 11	99	99	9999!
atten	[atten]	e 2 f 2	4' 6 8	99	99	9999!
19	[19]	e 2 f 2 g 2	4'6 9'11	99	99	9999!
tyve	[tyve]	f 2 g 2	7' 9' 11	30 Femte stjerneform	99	9999!
21	[21]	De 1	4 5	32 Syvende stjerneform	ti	9999!
22	[22]	Ef 1	7 9 10	25 Forbindelse af ti tetraedre	otte	0903!Tab. IX, fig. 3	Korrekt forbindelse af ti tetraedre
23	[23]	Fg 1	8 9 12	31 Sjette stjerneform	17	1003!Tab. X, fig. 3
24	[24]	De 1 f 1	4 6' 9 10	99	99	9999!
25	[25]	De 1 f 1 g 1	4 6' 9 12	99	99	9999!
26	[26]	Ef 1 g 1	7 9 12	28 Tredje stjerneform	9	0826!Tab. VIII, fig. 26	Notched dodecahedron
27	[27]	De 2	3 6 7	99	5	9999!
28	[28]	Ef 2	5 6 8	99	atten	0920!Tab. IX, fig. tyve
29	[29]	Fg 2	10 11	33 Ottende stjerneform	fjorten	9999!
tredive	[tredive]	De 2 f 2	3 6 8	34 Niende stjerneform	13	9999!	Medium triambikycosahedron eller Great triambikycosahedron
31	[31]	De 2 f 2 g 2	3 6 9' 11	99	99	9999!
32	[32]	Ef 2 g 2	5 6 9' 11	99	99	9999!
33	[33]	f1 _	5' 6' 9 10	35 Tiende stjerneform	99	9999!
34	[34]	e 1 f 1	3' 5 6' 9 10	36 Elvte stjerneform	99	9999!
35	[35]	De 1 f 1	4 5 6' 9 10	99	99	9999!
36	[36]	f 1 g 1	5' 6' 9 10' 12	99	99	9999!
37	[37]	e 1 f 1 g 1	3'5 6'9 10'12 _ _ _	39 Fjortende stjerneform	99	9999!
38	[38]	De 1 f 1 g 1	4 5 6' 9' 10' 12	99	99	9999!
39	[39]	f 1 g 2	5' 6' 8' 9' 10 11	99	99	9999!
40	[40]	e 1 f 1 g 2	3' 5 6' 8' 9' 10 11	99	99	9999!
41	[41]	De 1 f 1 g 2	4 5 6' 8' 9' 10 11	99	99	9999!
42	[42]	f 1 f 2 g 2	5' 6' 7' 9' 10 11	99	99	9999!
43	[43]	e 1 f 1 f 2 g 2	3' 5 6' 7' 9' 10 11	99	99	9999!
44	[44]	De 1 f 1 f 2 g 2	4 5 6' 7' 9' 10 11	99	99	9999!
45	[45]	e 2 f 1	4' 5' 6 7 9 10	40 Femtende stjerneform	99	9999!
46	[46]	De 2 f 1	3 5' 6 7 9 10	99	99	9999!
47	[47]	E f 1	5 6 7 9 10	24 Forbindelse af fem tetraedre	7 (6: venstre)	0911!Tab. IX, fig. elleve	Korrekt forbindelse af fem tetraedre (højre)
48	[48]	e 2 f 1 g 1	4' 5' 6 7 9 10' 12	99	99	9999!
49	[49]	De 2 f 1 g 1	3 5' 6 7 9 10' 12	99	99	9999!
halvtreds	[halvtreds]	E f 1 g 1	5 6 7 9 10' 12	99	99	9999!
51	[51]	e 2 f 1 f 2	4' 5' 6 8 9 10	38 Trettende stjerneform	99	9999!
52	[52]	De 2 f 1 f 2	3 5' 6 8 9 10	99	99	9999!
53	[53]	E f 1 f 2	5 6 8 9 10	99	15 (16: venstre)	9999!
54	[54]	e 2 f 1 f 2 g 1	4' 5' 6 8 9 10' 12	99	99	9999!
55	[55]	De 2 f 1 f 2 g 1	3 5' 6 8 9 10' 12	99	99	9999!
56	[56]	E f 1 f 2 g 1	5 6 8 9 10' 12	99	99	9999!
57	[57]	e 2 f 1 f 2 g 2	4' 5' 6 9' 10 11	99	99	9999!
58	[58]	De 2 f 1 f 2 g 2	3 5' 6 9' 10 11	99	99	9999!
59	[59]	E f 1 f 2 g 2	5 6 9' 10 11	99	99	9999!

Se også

Liste over Wenninger Polyhedra-modeller - Wenningers bog Models of Polyhedra inkluderer 21 modeller fra denne liste.
Kropper med icosahedral symmetri

Noter

↑ Ægte tabte stjernebilleder . Hentet 14. november 2015. Arkiveret fra originalen 13. marts 2016. (ubestemt)

Litteratur

Max Bruckner. Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte . - Leipzig: BG Treubner, 1900. - ISBN 978-1-4181-6590-1 . (tysk) engelsk udgave: Polygons and Polyhedra: Theory and History .
H.S.M. Coxeter , Patrick du Val H.T. Flather, J.F. Petrie. De 59 Icosahedra. - University of Toronto studier, 1938. - (matematisk serie 6: 1-26.). Tredje udgave (1999) TarquinISBN 978-1-899618-32-3. (Engelsk)
Magnus J. Wenninger . Polyeder modeller. — Paperback-udgave (2003). - Cambridge University Press , 1983. - ISBN 978-0-521-09859-5 . (Engelsk)
M. Wenninger. polyedre modeller. - "Mir", 1974.
A.H. Wheeler. Visse former for icosahedron og en metode til at udlede og udpege højere polyedre. — Proceedings of the International Congress of Mathematicians . - Toronto, 1924. - T. 1. - S. 701-708. (Engelsk)

Nioghalvtreds icosaeder

Forfatterbidrag

Millers regler

Coxeter

Du Val

Flazer

Petri

Krennels

Liste over nioghalvtreds icosaeder

Noter

Tabel over nioghalvtreds icosaeder

Se også

Noter

Litteratur

Links