Kardioid

Kardioide ( græsk καρδία - hjerte, græsk εἶδος - udsigt) er en flad linje, som beskrives ved et fast punkt i en cirkel, der ruller langs en fast cirkel med samme radius [1] . Den har fået sit navn på grund af ligheden mellem dens konturer og et stiliseret billede af hjertet .

Kardioiden er et særligt tilfælde af Pascals snegl , epicykloiden og den sinusformede spiral .

Ligninger

Lad være radierne af cirklerne, oprindelsen af koordinater er i det yderste højre punkt af den vandrette diameter af den faste cirkel (se figur). Derefter kan de kardioide ligninger skrives i følgende former [2] : $-en$

I rektangulære koordinater [1] : $(x^{2}+y^{2}+2ax)^{2}-4a^{2}(x^{2}+y^{2})\,=\,0$

I rektangulære koordinater (parametrisk notation): $x=2a\cos ta\cos 2t$ $y=2a\sin ta\sin 2t$

I polære koordinater [2] [1] : $r = 2a (1 - \cos\varphi)$

Egenskaber

Kardioiden er et særligt tilfælde af Pascals snegl.
Kardioiden er et særligt tilfælde af den sinusformede spiral.
En cardioid er en algebraisk kurve af fjerde orden.
Kardioiden har en spids .
Længden af buen af en drejning af cardioid givet ved formlen i polære koordinater

r=2a(1-\cos \varphi )

er lig med:

L=2\int _{0}^{\pi }{\sqrt {r(\varphi )^{2}+(r'(\varphi ))^{2))}\;d\varphi =\cdots =8a\int _{0}^{\pi }{\sqrt {{\tfrac {1}{2))(1-\cos \varphi )))\;d\varphi =8a\int _ {0}^{\pi }\sin({\tfrac {\varphi }{2)))d\varphi =16a

Arealet af en figur afgrænset af en cardioid givet af en formel i polære koordinater

r=2a(1-\cos \varphi )

er lig med:

S=2\cdot {\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }{(r(\varphi ))^{2}}\;d\varphi =\int _{0}^{\pi }{4a^{2}(1-\cos \varphi )^{2}}\;d\varphi =\cdots =4a^{2}\cdot {\tfrac {3} {2}}\pi =6\pi a^{2}

Krumningsradius af enhver linje:

\rho (\varphi )={\frac {\left[r(\varphi )^{2}+{\dot {r))(\varphi )^{2}\right]^{3/2 }}{r(\varphi )^{2}+2{\dot {r}}(\varphi )^{2}-r(\varphi){\ddot {r}}(\varphi )))\ .

Hvad giver for cardioid givet af ligningen i polære koordinater:

r(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )=4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi}{2)),

\rho (\varphi )=\cdots ={\frac {[16a^{2}\sin ^{2}{\frac {\varphi}{2))]^{\frac {3}{2 }}}{24a^{2}\sin ^{2}{\frac {\varphi }{2}}}}={\frac {8}{3}}a\sin {\frac {\varphi }{ 2}}\ .

Generalisering

Cardioid er en sinusformet spiral ved ; $\textstyle n={\frac {1}{2}}$
Kardioiden er Pascals snegl ved . $a=\ell$

Historie

Kardioiden støder man først på i den franske videnskabsmand Louis Carrès skrifter ( Louis Carrè , 1705). Navnet på kurven blev givet i 1741 af Giovanni Salvemini di Castillone (han omtales også som Johann Francesco Melchiore Salvemini Castillon ).

" Retificering ", det vil sige beregningen af længden af en kurve, blev udført af La Hire ( Philippe de La Hire ), som opdagede kurven uafhængigt, i 1708. Den hollandske matematiker J. Koersma (1741) beskrev også uafhængigt kardioiden . Efterfølgende viste mange fremtrædende matematikere i det 18.-19. århundrede interesse for kurven.

Se også

Noter

↑ 1 2 3 Encyclopedic Dictionary of a Young Mathematician, 1985 .
↑ 1 2 Savelov A. A., 1960 , s. 121-122.

Litteratur

Savelov A. A. Plane Kurver: Systematik, Egenskaber, Anvendelser (Referencevejledning). - M. : Fizmatlit, 1960. - S. 230-233. — 293 s. . Genudgivet i 2002, ISBN 5-93972-125-7 .
Cardioid // Encyklopædisk ordbog for en ung matematiker / Komp. A. P. Savin. - M . : Pædagogik , 1985. - S. 130 -131. — 352 s.

Kurver

Definitioner

Forvandlet

Ikke-plan

Flad
algebraisk

Keglesnit

3. orden ( kubisk )

Elliptisk	Elliptisk kurve Jacobi elliptiske funktioner Elliptisk integral Elliptiske funktioner
Andet	Verziera Agnesi Kartesisk ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Semikubisk parabel Trident Cissoid af Diocles

4. orden

Lemniscates

Tilnærmelse

Spline
- B-spline
- Kubik
- monospline
- Udglatning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cycloidal

Andet

Krogede Gård

Flad
transcendental

Spiraler	Archimedov Gård Galilæa hyperbolsk "Tryllestav" Gylden clothoid logaritmisk sinusformet
Cycloidal	trochoid Cycloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Rose" quadrifolium Hurtig nedstigning (brachistochrone, cycloid bue)
Andet	Quadratrix cochleoid Jage traktor trochoid kæde linje omvendt buet konstant bredde sinusformet Ribokura Super formel Superellipse Reuleaux trekant polygon Lissajous figurer

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper dragekurve Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologisk	Sierpinski serviet Sierpinski tæppe Svamp Menger cirkulær fraktal Apollonius tæppe