Kurven længde

Længden af kurven (eller, hvad der er det samme, længden af kurvens bue ) er en numerisk karakteristik af længden af denne kurve [1] . Historisk set blev beregning af længden af en kurve kaldt kurveretning ( af latin rectificatio , opretning).

Definition

For det euklidiske rum er længden af et kurvesegment defineret som den mindste øvre grænse af længderne af stiplede linjer indskrevet i kurven.

Lad for eksempel en kontinuert kurve i tredimensionelt rum angives parametrisk: $\gamma$

x=x(t),\quad y=y(t),\quad z=z(t)

(en)

hvor , alle tre funktioner er kontinuerte, og der er ingen flere punkter, det vil sige, at forskellige punkter på kurven svarer til forskellige værdier. Vi konstruerer alle mulige partitioner af det parametriske interval i segmenter: . Forbindelse af punkterne i en kurve med linjestykker giver en brudt linje. Så er længden af kurvesegmentet defineret som den mindste øvre grænse af de samlede længder af alle sådanne stiplede linjer [2] . $a\leqslant t\leqslant b$ $t$ $[a,b]$ $m$ $a=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{m}=b$ $\gamma (t_{0}),\dots ,\gamma (t_{m})$

Relaterede definitioner

Hver kurve har en længde, endelig eller uendelig. Hvis længden af kurven er begrænset, siges kurven at være ensretter , ellers er den ikke -oprettelig . Koch-snefnuget er et klassisk eksempel på en afgrænset, men ikke-korrigerbar kurve; desuden er enhver, vilkårligt lille af dens bue ikke-korrigerbar [3] .
Parametriseringen af en kurve efter længden af dens bue kaldes naturlig .
En kurve er et specialtilfælde af en funktion fra et segment til rummet. Variationen af funktionen , defineret i matematisk analyse, er en generalisering af kurvens længde (se nedenfor).

Egenskaber

Hvis alle funktioner i (1) er funktioner af begrænset variation , eksisterer kurvens længde og er endelig.

I matematisk analyse udledes en formel til at beregne længden af et segment af en kurve givet ved ligning (1), forudsat at alle tre funktioner er kontinuerligt differentiable : $s$

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {{x'}^{2}(t)+{y'}^{2}(t)+{z'}^{2} (t)}}\,dt

(2)

Formlen indebærer, at længden også tælles i retning af stigende parameter t . Hvis to forskellige retninger for at tælle længden fra et punkt på kurven overvejes, er det ofte praktisk at tildele buen et minustegn i en af disse retninger.

a\leqslant b

I det n -dimensionelle tilfælde har vi i stedet for (2) en lignende formel:

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {\sum \limits _{{k=1}}^{n}{f'_{k}}^{2}(t)} }\,dt

Hvis en plan kurve er givet af ligningen, hvor er en jævn funktion på intervallet af parameterværdier , så bestemmes kurvens længde af formlen: $y=f(x),$ $f$ $[a,b]$

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2))}\,dx.

I polære koordinater :

(r,\varphi)

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}}}\, d\varphi .

Croftons formel gør det muligt at relatere længden af en kurve på et plan og integralet af antallet af dens skæringspunkter med linjer i et naturligt mål på linjerummet.

Historie

Opretningsproblemet viste sig at være meget sværere end at beregne arealet , og i oldtiden blev den eneste vellykkede opretning udført for en cirkel . Descartes udtrykte endda den opfattelse, at " forholdet mellem lige linjer og kurver er ukendt og, tror jeg, ikke engang kan kendes af folk " [4] [5] .

Den første bedrift var opretningen af Neils parabel ( 1657 ), udført af Fermat og Neil selv . Længden af cykloidens bue blev hurtigt fundet ( Renne , Huygens ). James Gregory (selv før opdagelsen af calculus ) skabte en generel teori til at finde længden af en bue, som straks blev brugt til forskellige kurver.

Variationer og generaliseringer

Riemannsk rum

I et n - dimensionelt Riemann-rum med koordinater er kurven givet ved parametriske ligninger: $x^{1}\cdots x^{n}$

x^{i}=x^{i}(t)\qquad \qquad

((3))

Længden af en kurve i et Riemannsk rum er givet ved:

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {g_{{ij}}{dx^{i} \over dt}{dx^{j} \over dt}}}\,dt

hvor: er den metriske tensor . Eksempel: kurve på en overflade i . $g_{ij}$ $\mathbb {R} ^{3}$

Generelt metrisk rum

I et mere generelt tilfælde af et vilkårligt metrisk rum er længden af en kurve en variation af kortlægningen, der definerer kurven, det vil sige, at længden af kurven bestemmes i henhold til formlen: $(X,\rho)$ $S$ $\gamma :[a,b]\til X$

s=\sup \sum \limits _{{k=0}}^{m}\rho (\gamma (x_{{k+1}}),\gamma (x_{k})),

hvor den øvre grænse er taget, som før, over alle skillevægge af segmentet . $a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{m}=b$ $[a,b]$

Se også

Noter

↑ Længde // Mathematical Encyclopedia (i 5 bind) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 2.
↑ Shibinsky, 2007 , s. 199.
↑ Shibinsky, 2007 , s. 201-202.
↑ Rene Descartes. Geometri. Med anvendelse af udvalgte værker af P. Fermat og korrespondance fra Descartes / Oversættelse, noter og artikler af A. P. Yushkevich . - M. - L .: Gostekhizdat , 1938. - S. 49. - 297 s. - (Klassikere af naturvidenskab).
^ Originalt fransk citat : "la proportion qui est entre les droites et les courbes n'étant pas connue, et même, je crois, ne le pouvant être par les hommes", se Descartes, René. Discours de la metode... . - 1637. - S. 340.

Litteratur

Korn G., Korn T. Håndbog i matematik (for forskere og ingeniører) . — M .: Nauka, 1973.
Merzon G. A., Yashchenko I. V. Længde, areal, volumen. - MTSNMO, 2011. - ISBN 9785940577409 .
Fikhtengol'ts G. M. Forløb af differential- og integralregning i tre bind. - Ed. 6. — M .: Nauka, 1966.
Shibinsky VM Eksempler og modeksempler i løbet af matematisk analyse. Tutorial. - M . : Højere skole, 2007. - 543 s. - ISBN 978-5-06-005774-4 .

Kurver

Definitioner

Forvandlet

Ikke-plan

Flad
algebraisk

Keglesnit

3. orden ( kubisk )

Elliptisk	Elliptisk kurve Jacobi elliptiske funktioner Elliptisk integral Elliptiske funktioner
Andet	Verziera Agnesi Kartesisk ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Semikubisk parabel Trident Cissoid af Diocles

4. orden

Lemniscates

Tilnærmelse

Spline
- B-spline
- Kubik
- monospline
- Udglatning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cycloidal

Andet

Krogede Gård

Flad
transcendental

Spiraler	Archimedov Gård Galilæa hyperbolsk "Tryllestav" Gylden clothoid logaritmisk sinusformet
Cycloidal	trochoid Cycloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Rose" quadrifolium Hurtig nedstigning (brachistochrone, cycloid bue)
Andet	Quadratrix cochleoid Jage traktor trochoid kæde linje omvendt buet konstant bredde sinusformet Ribokura Super formel Superellipse Reuleaux trekant polygon Lissajous figurer

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper dragekurve Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologisk	Sierpinski serviet Sierpinski tæppe Svamp Menger cirkulær fraktal Apollonius tæppe