Differentierbar funktion

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 4. februar 2021; checks kræver 2 redigeringer .

En differentierbar (på et punkt) funktion er en funktion , der har en differential (på et givet punkt). En funktion, der kan differentieres på et sæt, er en funktion, der kan differentieres på hvert punkt i det givne sæt. Differentieringsevne er et af de grundlæggende begreber i matematik og har et betydeligt antal anvendelser både i matematikken selv og i andre naturvidenskaber.

Forøgelsen af en funktion, der kan differentieres på et givet punkt, kan repræsenteres som en lineær funktion af tilvæksten af argumentet op til værdier af en højere størrelsesorden. Dette betyder, at for tilstrækkeligt små kvarterer af et givet punkt kan funktionen erstattes af en lineær (funktionens ændringshastighed kan betragtes som uændret). Den lineære del af inkrementet af en funktion kaldes dens differential (på et givet punkt).

En nødvendig, men ikke tilstrækkelig betingelse for differentiabilitet, er kontinuiteten af funktionen . I tilfælde af en funktion af en reel variabel er differentiabilitet ækvivalent med eksistensen af en afledt . I tilfælde af en funktion af flere reelle variable er en nødvendig (men ikke tilstrækkelig) betingelse for differentiabilitet eksistensen af partielle afledte med hensyn til alle variable. For at en funktion af flere variable kan differentieres på et punkt, er det tilstrækkeligt, at de partielle afledte eksisterer i et eller andet område af det pågældende punkt og er kontinuerte på det givne punkt. [en]

I tilfælde af en funktion af en kompleks variabel kaldes differentiabilitet i et punkt ofte monogenitet og adskiller sig væsentligt fra differentiabilitetsbegrebet i det virkelige tilfælde. Nøglerollen i dette spilles af den såkaldte Cauchy-Riemann-tilstand . En funktion, der er monogen i et område af et punkt, kaldes holomorf på det punkt. [2] [3]

I funktionel analyse er der en generalisering af begrebet differentiering til tilfældet med kortlægninger af uendelig-dimensionelle rum - afledte af Gateau og Fréchet .

En generalisering af begrebet en differentierbar funktion er begrebet subdifferentierbare , superdifferentierbare og kvasidifferentierbare funktioner.

Enkelt variabel funktioner

En funktion af en variabel er differentierbar i et punkt i dens domæne , hvis der eksisterer en konstant sådan $f\colon M\subset \mathbb {R} \mapsto \mathbb {R}$ $x_{0}$ $M$ $-en$

f(x)=f(x_{0})+a(x-x_{0})+o(x-x_{0}),\ \quad x\to x_{0},

mens tallet uundgåeligt er lig med den afledte $-en$

a=f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{ 0}}}.

En funktion af en variabel er differentierbar i et punkt, hvis og kun hvis den har en endelig afledt på det punkt. $x_{0}$

Grafen for en funktion er en kurve i et plan , mens grafen for en lineær funktion $y=f(x)$ $Oxy$

y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})

leverer en tangent til denne kurve tegnet ved punktet . $x_{0}$

For eksempel er en funktion defineret og differentierbar på ethvert reelt punkt, da den kan repræsenteres som $f(x) = x^2$

{\displaystyle f(x)=f(x_{0})+2x_{0}(x-x_{0})+(x-x_{0})^{2))

Samtidig er dens afledte , og ligningen for tangentlinjen tegnet i punktet har formen: . $f'(x_{0})=2x_{0}$ $x_{0}$ $y=x_{0}^{2}+2x_{0}(x-x_{0})$

Elementære funktioner kan være kontinuerlige på et tidspunkt, men ikke differentierbare på det. For eksempel er en funktion kontinuert på hele den reelle akse, men dens afledte oplever et spring, når den passerer gennem et punkt , hvor denne funktion ikke er differentierbar. På dette tidspunkt er det også umuligt at tegne en tangent til funktionens graf. Funktionen er også kontinuert på hele den reelle akse og dens graf har tangenter i alle punkter, dog er tangenten tegnet i punktet en lodret linje, og derfor er den afledede af funktionen uendelig stor i punktet , og selve funktionen er ikke differentierbar på dette tidspunkt. $f(x)=|x|$ $x=0$ $y={\sqrt[{3}]{x}}$ $x=0$ $y={\sqrt[{3}]{x}}$ $x=0$

Grafer over elementære funktioner lærer, at en vilkårlig funktion er differentierbar overalt undtagen for exceptionelle og isolerede værdier af argumentet. Det første forsøg på et analytisk bevis på denne påstand skyldes Ampère [4] , og derfor kaldes det Ampère-formodningen. Dette udsagn er imidlertid ikke sandt i klassen af analytisk repræsentative funktioner, for eksempel er Dirichlet-funktionen ikke engang kontinuerlig på noget tidspunkt [5] . Det er også umuligt at betragte en vilkårlig kontinuerlig funktion differentierbar, for eksempel er Weierstrass-funktionen defineret og kontinuert på hele den reelle akse, men er ikke differentierbar på nogen af dens punkter [6] . Dette betyder især, at det er umuligt at tegne en tangentlinje til dens graf på noget tidspunkt. Imidlertid kan Amperes formodning betragtes som en ikke-streng formulering af følgende Lebesgues sætning : enhver monoton funktion har en bestemt endelig afledet overalt, undtagen måske for nogle værdisæt af mål nul. [7] $f(x)$ $x$

Funktioner af flere variabler

En funktion af variable er differentierbar i et punkt i dens domæne, hvis der er konstanter , sådan for ethvert punkt $f\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $x=(x^{1},\ldots,x^{n})$ $x_{0}=(x_{0}^{1},\ldots ,x_{0}^{n})$ $M$ $a=(a^{1},\ldots,a^{n})$ $x=(x^{1},\ldots,x^{n})\in M$

f(x)=f(x_{0})+\sum _{i=1}^{n}a^{i}(x^{i}-x_{0}^{i})+ o(\|x-x_{0}\|),\ \quad x\to x_{0},

hvor . $\|x-x_{0}\|^{2}=\sum _{i=1}^{n}(x^{i}-x_{0}^{i})^{2}$

I denne post er funktionen

$A(x-x_{0})=\sum _{i=1}^{n}a^{i}(x^{i}-x_{0}^{i})$

er funktionens differential i punktet , og tallene er de partielle afledte af funktionen i punktet , dvs. $f(x)$ $x_{0}$ ${\displaystyle a^{1},\ldots,a^{n))$ $f(x)$ $x_{0}$

a^{i}={\frac {\partial f}{\partial x^{i))}(x_{0})=\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f (x_{0}+han_{i})-f(x_{0})}{h}},

hvor er en vektor, hvis alle komponenter, bortset fra den -th ene, er lig med nul, og den -th komponent er lig med 1. $e_{i}\in \mathbb {R} ^{n}$ $jeg$ $jeg$

Hver funktion, der er differentierbar på et punkt, har alle partielle afledte på det tidspunkt, men ikke alle funktioner, der har alle partielle afledte, er differentierbare. Desuden garanterer eksistensen af partielle derivater på et tidspunkt ikke engang kontinuiteten af funktionen på dette tidspunkt. Som et sådant eksempel kan vi betragte en funktion af to variable lig med for og for . Ved oprindelsen eksisterer begge partielle afledte (lig med nul), men funktionen er ikke kontinuert. $f(x,y)$ $0$ $xy=0$ $en$ $xy\neq 0$

Denne omstændighed kunne blive en alvorlig hindring for hele differentialregningen af funktioner af flere variable, hvis det ikke var klart, at kontinuiteten af partielle afledte på et punkt er tilstrækkelig til, at funktionen er differentierbar på dette tidspunkt. [en]

Eksempler på typer af punkter, hvor funktionen er ikke-differentierbar

Funktionen vil være ikke-differentierbar på punktet , for eksempel i følgende tilfælde: $f(x)$ $x_{0}$

Et punkt er et diskontinuitetspunkt , for eksempel er signumfunktionen ikke -differentierbar ved nul. $x_{0}$

Funktionen har et hjørnepunkt ved , for eksempel er funktionen ikke-differentierbar ved nul. $x_{0}$ $|x|$

Funktionen har en lodret tangent, det vil sige , at den for eksempel ikke er differentierbar ved nul. $\lim _{x\to x_{0}}f^{'}\left(x\right)=\pm \infty$ ${\sqrt[ {3}]{x}}$

Funktionen skærpes ved , for eksempel er den ikke-differentierbar ved nul. $x_{0}$ $x^{\frac {2}{3}}$

Disse tilfælde udtømmer dog ikke alle situationer, hvor funktionen ikke er differentierbar. Så f.eks. hører funktionen ikke til nogen af disse tilfælde, men er ikke desto mindre ikke-differentierbar ved nul. $x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)$

Viser

En mapping siges at være differentierbar på et punkt i dens definitionsdomæne , hvis der eksisterer en lineær mapping afhængig af punktet, således at ${\displaystyle f\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m))$ $x_{0}$ $M$ ${\displaystyle A\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m))$ $x_{0}$

f(x)=f(x_{0})+A(x-x_{0})+o(\|x-x_{0}\|),\ \quad x\to x_{0} ,

det vil sige ved at udvide tegnet "o" lille if

\lim \limits _{x\til x_{0}}{\frac {\|f(x)-f(x_{0})-A(x-x_{0})\|}{\ |x-x_{0}\|}}=0

Den lineære afbildning er differentialet af afbildningen i et punkt . ${\displaystyle A\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m))$ $f(x)$ $x_{0}$

Hvis kortlægningen er givet af et sæt funktioner ${\displaystyle f\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m))$

f_{i}\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,\ \quad i=1,\ldots ,m,

så er dens differentiabilitet i et punkt ækvivalent med differentiabiliteten af alle funktioner i et givet punkt, og matrixen af dens differential er Jacobi-matricen sammensat af de partielle afledte af disse funktioner i punktet . $x_{0}$ $EN$ $x_{0}$

Se også

Pompeys eksempel er et eksempel på en differentierbar funktion, hvis afledte forsvinder på et tæt sæt. Især er den afledte af en sådan funktion diskontinuerlig på ethvert punkt, hvor den ikke er lig med 0.

Noter

↑ 1 2 Zorich V. A., Matematisk analyse - Enhver udgave, bind 1 kapitel VIII.
↑ Bitsadze A. V. Fundamentals af teorien om analytiske funktioner af en kompleks variabel - M., Nauka, 1969.
↑ Shabat B.V., Introduktion til kompleks analyse - M., Nauka, 1969.
↑ Ampère, AM // Ecole Politechnique, 6 (1806), fasc. 13.
↑ Pascal E. Esercizii critici di calcolo differenziale e integrale. Ed. 2. Milano, 1909. S. 1-3.
↑ Weierstrass K. Werke. bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6.
↑ Fig. F., S.-Nagy B. Forelæsninger om funktionsanalyse. M.: Mir, 1979. S. 15.

Courant R. Forløb af differential- og integralregning. - M. - L. : GNTI, 1931. - T. 2. - S. 60-69.
Zorich V. A. Matematisk analyse. - M . : Fazis, 1997. - T. 1.