Funktionsvariation

I matematisk analyse er en variation af en funktion en numerisk karakteristik af en funktion af en reel variabel, forbundet med dens differentielle egenskaber. For en funktion fra et segment på den reelle linje er der en generalisering af begrebet kurvens længde, givet i denne funktion. $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

Definition

Lad . Så er variationen (også total variation eller total ændring ) af en funktion på et segment følgende værdi: $f:[a,\;b]\til \mathbb{R} ^{n}$ $f$ $[a,\;b]$

V_{a}^{b}f\,{\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\sup \limits _{P}\sum \limits _{{k=0}}^{m }\|f(x_{{k+1}})-f(x_{k})\|,

det vil sige den mindste øvre grænse over alle partitioner i segmentet af længder af stiplede linjer i , hvis ender svarer til værdierne ved partitionspunkterne. $P$ $[a,\;b]$ $\mathbb {R} ^{n}$ $f$

Relaterede definitioner

Funktioner, hvis variation er begrænset på et segment, kaldes funktioner med begrænset variation , og klassen af sådanne funktioner betegnes eller blot . $V[a,\;b]$ $V$
- I dette tilfælde defineres en funktion kaldet den samlede variationsfunktion for . $v(x)=V_{a}^{x}f$ $f$
Den positive variation af en funktion med reel værdi på et segment kaldes følgende størrelse: $f$ $[a,\;b]$ $P_{a}^{b}f\,{\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\sup \limits _{{P}}\sum \limits _{{k=0}}^ {m}\max\{0,\;f(x_{{k+1}})-f(x_{k})\}.$
Den negative variation af en funktion er defineret på samme måde : $N_{a}^{b}f\,{\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}-\inf \limits _{{P}}\sum \limits _{{k=0}} ^{m}\min\{0,\;f(x_{{k+1}})-f(x_{{k}})\}.$
Således kan den samlede variation af en funktion repræsenteres som en sum $V_{a}^{b}f=P_{a}^{b}f+N_{a}^{b}f.$

Egenskaber for funktioner med begrænset variation

Summen og produktet af funktioner af begrænset variation vil også have begrænset variation. Kvotienten af to funktioner fra vil have begrænset variation (med andre ord tilhøre klassen ), hvis den absolutte værdi af nævneren er større end en positiv konstant på intervallet . $V$ $V$ $[a,\;b]$
Hvis , a , så . $a<x\leqslant y<b$ $f\in V[a,\;b]$ $V_{a}^{x}f+V_{x}^{y}f=V_{a}^{y}f$
Hvis funktionen er kontinuerlig i et punkt til højre og tilhører , så . $f$ $-en$ $V[a,\;b]$ $\lim \limits _{{x\to a{+}}}v(x)=0$
En funktion givet på et interval er en funktion af afgrænset variation, hvis og kun hvis den kan repræsenteres som en sum af stigende og faldende funktioner ( Jordan ekspansion ). $f(x)$ $[a,\;b]$ $[a,\;b]$
Enhver funktion af afgrænset variation er afgrænset og kan ikke have mere end et tælleligt sæt diskontinuitetspunkter , og alle er af den første slags.
En funktion af afgrænset variation kan repræsenteres som summen af en absolut kontinuert funktion , en entalsfunktion og en springfunktion ( Lebesgue-udvidelse ).

Alle disse ejendomme blev etableret af Jordan [1] [2] .

Variationsberegning

Variation af en kontinuerligt differentierbar funktion

Hvis en funktion hører til klassen , det vil sige den har en kontinuert førsteordens afledt på segmentet , så er det en funktion af afgrænset variation på dette segment, og variationen beregnes med formlen: $f:[a,\;b]\til \mathbb{R} ^{n}$ $C^1$ $[a,\;b]$ $f$

\int \limits _{a}^{b}\|f^{\prime }(x)\|\,dx,

det vil sige lig med integralet af den afledte norm .

Historie

Funktioner af afgrænset variation blev undersøgt af C. Jordan [1] .

Indledningsvis blev klassen af funktioner med afgrænset variation introduceret af K. Jordan i forbindelse med en generalisering af Dirichlet-kriteriet for konvergens af Fourier-rækker af stykkevis monotone funktioner. Jordan beviste, at Fourier-rækken af -periodiske funktioner i klassen konvergerer på hvert punkt af den reelle akse. Men i fremtiden, funktioner af begrænset variation fundet bred anvendelse i forskellige områder af matematik, især i teorien om Stieltjes integral . $2\pi$ $V[0,\;2\pi ]$

Variationer og generaliseringer

Længden af en kurve er defineret som en naturlig generalisering af variationen til tilfældet med afbildninger til et metrisk rum.

I tilfælde af flere variable er der flere forskellige definitioner af funktionsvariation:
- Fréchet variation ,
- flad variation af Tonelli .

Φ-variation af funktionen

Klassen betragtes også som , som er defineret som følger: $V_{\Phi [a,\;b]$

V_{{\Phi \,a}}^{b}f\,{\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\sup \limits _{{a\leqslant x\leqslant b}}\ sum \limits _{{k=1}}^{n}\Phi (|f(x_{k})-f(x_{{k-1}})|),

hvor ( ) er en kontinuerlig funktion, der er positiv som monotont stigende; $\Phi (x)$ $x\geqslant 0,\;\Phi (0)=0$ $x>0$

$a=x_{0}<x_{1}<\ldots<x_{n}=b$ er en vilkårlig partition af segmentet . $[a,\;b]$

Størrelsen kaldes -variationen af funktionen på segmentet . $V_{{\Phi \,a}}^{b}f$ $\Phi$ $f(x)$ $[a,\;b]$

Hvis , så har funktionen afgrænset -variation på intervallet . Klassen af alle sådanne funktioner er betegnet med eller blot som [3] . Definitionen af klassen blev foreslået af L. Young[4] ( L. C. Young ). $V_{{\Phi \,a}}^{b}f<\infty$ $f(x)$ $\Phi$ $[a,\;b]$ $V_{\Phi [a,\;b]$ $V_{\Phi }$ $V_{\Phi [a,\;b]$

Jordan klasserne er et specialtilfælde af Yang klasserne, og . Hvis for , så opnås N. Wiener klasser [5] ( N. Wiener ). $\Phi (x)=x$ $\Phi (x)=x^{p}$ $1<p<\infty$ $V_{p}$

Egenskaber

Hvis vi betragter to funktioner og sådan $\Phi _{1}(x)$ $\Phi _{2}(x)$

\varlimsup _{{x\to 0^{+))}{\frac {\Phi _{1}(x)}{\Phi _{2}(x)))<\infty ,

så gælder følgende forhold for deres -variationer: $\Phi$

V_{{\Phi _{2}}}[a,\;b]\delsæt V_{{\Phi _{1}}}[a,\;b].

I særdeleshed,

V_{{x^{p))}\delsæt V_{{x^{q))}\delsæt V_{{\exp(-x^{{-\alpha )))))\undersæt V_{{\exp (-x^{{-\beta }})}}

kl . $1\leqslant p<q<\infty ,\;0<\alpha <\beta <\infty$

Se også

Litteratur

Lebesgue, A. Integration og søgning efter primitive funktioner / Pr. fra fransk - M. - L. : ONTI, 1934. - 324 s.
Natanson, I. P. Teori om funktioner af en reel variabel. - M. : Nauka, 1974. - 484 s.
Bari, N. K. Trigonometrisk serie. - M. : Statens forlag for fysisk og matematisk litteratur, 1961. - 936 s.

Noter

↑ 1 2 Jordan C. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. - 1881. - t. 92. - nr. 5. - s. 228-230.
↑ Natanson, I.P. Teori om funktioner af en reel variabel. - M . : Nauka, 1974. - S. 234-238. — 484 s.
↑ Bari, N.K. Trigonometrisk serie. - M. : Statens forlag for fysisk og matematisk litteratur, 1961. - S. 287. - 936 s.
↑ Young L. C. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. - 1937. - t. 204. - nr. 7. - s. 470-472.
↑ Wiener N. Massachusetts Journal of Mathematics and Physics. - 1924. - v. 3. - s. 72-94.