Naturlig parametrisering

Naturlig parametrisering (eller naturlig parametrisering ) - parametrisering af en kurve ved længden af dens bue. Det vil sige, at længden af kurvens bue, målt fra et eller andet fast punkt O , som kan vælges vilkårligt, fungerer som en parameter. En sådan parameter kaldes naturlig (ofte betegnet med s ).

Kurvens naturlige parametrisering er således entydigt defineret op til valget af referencepunktet O (svarende til den naturlige parameters nulværdi) og orientering, det vil sige valget af den retning, hvori parameteren stiger med afstanden fra O.

Definition

En kurve i et metrisk rum er forsynet med en naturlig parametrisering, hvis for to vilkårlige værdier af parameteren og buens længde er lig med . $\gamma$ $-en$ $b$ $\gamma |_{[a,b]}$ $|ba|$

Egenskaber

En kurve tillader en naturlig parametrisering, hvis og kun hvis den er lokalt korrigerbar .
En naturlig parametrisering af en gange differentierbar (analytisk) kurve uden singulære punkter er også en gange differentierbar (analytisk). $k$ $k$
Den afledte af radiusvektoren har enhedslængde og falder derfor sammen med enhedstangensvektoren , som er betegnet ${\frac {d\mathbf {r} }{ds))$ $\mathbf {v} .$
Den anden afledede af radiusvektoren er vinkelret på den første, det vil sige vinkelret på tangenten til kurven i et givet punkt, og er derfor en normal. Derudover falder den langs længden sammen med kurvens krumning , og i retning - med dens vigtigste normal . ${\frac {d^{2}\mathbf {r} }{ds^{2}}}={\frac {d\mathbf {v} }{ds}}$ $k$ $\mathbf {n}$
For en kurve i et plan fører ovenstående egenskaber til følgende relationer, kaldet Frenets formler :

{\frac {d\mathbf {v} }{ds}}=k\,\mathbf {n} ,\ \ \ {\frac {d\mathbf {n} }{ds}}=-k\ ,\mathbf {v} .

Den første af Frenets relationer følger naturligvis af den tidligere egenskab og definitionen af krumning . For at bevise det andet forhold bruger vi identiteterne

k

\langle \mathbf {n} (s),\mathbf {n} (s)\rangle \equiv 1,\ \ \ \langle \mathbf {n} (s),\mathbf {v} (s) \rangle \equiv 0,

hvor de trekantede parenteser angiver skalarproduktet af det omgivende euklidiske plan. Ved at differentiere med hensyn til den første identitet får vi den betydning, at vektoren er parallel med vektoren , det vil sige med en eller anden skalarkoefficient . Ved at differentiere den anden identitet opnår vi Substituering her , og vi opnår . Derfor opnår vi, under hensyntagen til , hvad der krævedes for at blive bevist.