Naturlig parametrisering
Naturlig parametrisering (eller naturlig parametrisering ) - parametrisering af en kurve ved længden af dens bue. Det vil sige, at længden af kurvens bue, målt fra et eller andet fast punkt O , som kan vælges vilkårligt, fungerer som en parameter. En sådan parameter kaldes naturlig (ofte betegnet med s ).
Kurvens naturlige parametrisering er således entydigt defineret op til valget af referencepunktet O (svarende til den naturlige parameters nulværdi) og orientering, det vil sige valget af den retning, hvori parameteren stiger
med afstanden fra O.
Definition
En kurve i et metrisk rum er forsynet med en naturlig parametrisering, hvis for to vilkårlige værdier af parameteren og buens længde er lig med .
![\gamma](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a)
![-en](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
![b](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
![{\displaystyle \gamma |_{[a,b]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3af66ac0c9df765665c7b18219b73f2a4e3a1772)
![{\displaystyle |ba|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e6c3e1835d7ede84d7d675229ef3948b7b33fed)
Egenskaber
- En kurve tillader en naturlig parametrisering, hvis og kun hvis den er lokalt korrigerbar .
- En naturlig parametrisering af en gange differentierbar (analytisk) kurve uden singulære punkter er også en gange differentierbar (analytisk).
![k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
![k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
- Den afledte af radiusvektoren har enhedslængde og falder derfor sammen med enhedstangensvektoren , som er betegnet
![{\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{ds))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2f6697b2ba7de080da8a0a8c867402f1a08e9fb)
![{\displaystyle \mathbf {v} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/403a39746fb7416e8917e81d974df3d75b710131)
- Den anden afledede af radiusvektoren er vinkelret på den første, det vil sige vinkelret på tangenten til kurven i et givet punkt, og er derfor en normal. Derudover falder den langs længden sammen med kurvens krumning , og i retning - med dens vigtigste normal .
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{ds^{2}}}={\frac {d\mathbf {v} }{ds}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/656cba36fb145fd4dcb4a6d495bc0623e3cf0800)
![\mathbf {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a720c341f39f52fd96028dab83edd34d400be46)
- For en kurve i et plan fører ovenstående egenskaber til følgende relationer, kaldet Frenets formler :
![{\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} }{ds}}=k\,\mathbf {n} ,\ \ \ {\frac {d\mathbf {n} }{ds}}=-k\ ,\mathbf {v} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46daecaf47b98097e2fa49411595bb1d75a5fc4f)
Den første af Frenets relationer følger naturligvis af den tidligere egenskab og definitionen af krumning . For at bevise det andet forhold bruger vi identiteterne
![{\displaystyle \langle \mathbf {n} (s),\mathbf {n} (s)\rangle \equiv 1,\ \ \ \langle \mathbf {n} (s),\mathbf {v} (s) \rangle \equiv 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d31c6002e097df6f2ff93099c70d3dcb9b892b1)
hvor de trekantede parenteser angiver skalarproduktet af det omgivende euklidiske plan. Ved at differentiere med hensyn til den første identitet får vi den betydning, at vektoren er parallel med vektoren , det vil sige med en eller anden skalarkoefficient . Ved at differentiere den anden identitet opnår vi Substituering her , og vi opnår . Derfor opnår vi, under hensyntagen til , hvad der krævedes for at blive bevist.
![s](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632)
![{\displaystyle {\Bigl \langle }{\frac {d\mathbf {n} }{ds)),\mathbf {n} {\Bigr \rangle }\equiv 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b01eee49b9bbc3e48055bdb397799a5ca3ac0365)
![{\displaystyle {\frac {d\mathbf {n} }{ds))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e27fe5f24d4808641499a31f143fc2953228a0a9)
![{\displaystyle \mathbf {v} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/318283f74792ba256f538baccee13e1c75213d1b)
![{\displaystyle {\frac {d\mathbf {n} }{ds}}=\mu \mathbf {v} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6f101c778fb5aa020de4258b0b5bb074499c85d)
![\mu](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161)
![{\displaystyle {\Bigl \langle }{\frac {d\mathbf {n} }{ds)),\mathbf {v} {\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }\mathbf {n} ,{ \frac {d\mathbf {v} }{ds}}{\Bigr \rangle }\equiv 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f2fb8fd54279ac5f7602a6f544fd7d3240bf380)
![{\displaystyle {\frac {d\mathbf {n} }{ds}}=\mu \mathbf {v} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6f101c778fb5aa020de4258b0b5bb074499c85d)
![{\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} }{ds}}=k\mathbf {n} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/687f32e1b760f611b673f8a9ad4d0bf7f174b8f6)
![{\displaystyle \mu \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle +k\langle \mathbf {n} ,\mathbf {n} \rangle \equiv 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7d84f60e9ff55d9bc6ba47c2b71a254244579ac)
![{\displaystyle |\mathbf {v} |\equiv |\mathbf {n} |\equiv 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f17648b709b2dcef0798535d804f71005fcb635)
Se også
Litteratur
- Burago D. Yu., Burago Yu. D., Ivanov S. V. Et kursus i metrisk geometri. - Moskva-Izhevsk, Institut for Computerforskning, 2004.
- Mishchenko A.S. Fomenko A.T. Kursus i differentialgeometri og topologi. - Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0442-X .
- Toponogov V.A. Differentiel geometri af kurver og overflader. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135 .
Links