Hypocykloid

Hypocykloid ( græsk ὑπό (under, under) + græsk κύκλος (cirkel, cirkel)) er en flad kurve dannet af et cirkelpunkt , der ruller langs indersiden af en anden cirkel uden at glide.

Ligninger

Parametriske ligninger :

{\begin{cases}x=r(k-1)\left(\cos t+{\frac {\cos((k-1)t)}{k-1))\right)\\y=r( k-1)\left(\sin t-{\frac {\sin((k-1)t)}{k-1}}\right)\end{cases}}

hvor , hvor er radius af den faste cirkel, er radius af den rullende cirkel. $\textstyle k={\frac {R}{r}}$ $R$ $r$

Udledning af ligninger

Lad i det indledende øjeblik cirklerne røre ved et punkt, der ligger på aksen , hvor punktet er centrum af storcirklen. I dette tilfælde er koordinaterne for punktet , hvor . Lad os overveje, hvordan koordinaterne for punktet, der er knyttet til den rullende cirkel, ændres ( går til ). Lad en lille cirkel rulle, så dens centrum bevæger sig fra punkt til punkt og roterer i forhold til punktet med en vinkel . For det første kan det vises, at rotationen af en lille cirkel om dens centrum i dette tilfælde (dvs. vinklen mellem og ) er lig med . For det andet vil punktets koordinater være: . Så ved at vide, hvor midten af den rullende cirkel vil gå, og i hvilken vinkel den har drejet i forhold til dette centrum, kan vi nedskrive koordinaterne for punktet : $EN$ $OKSE$ $O$ $EN$ $(kr,0)$ $k={\frac {R}{r))$ $EN$ $EN$ $EN'$ $C'$ $C'$ $O$ $t$ $CA$ $C'A'$ $t-kt=-(k-1)t$ $C'$ $(cos(t)(k-1)r,sin(t)(k-1)r)$ $EN'$

{\begin{cases}x=cos(t)(k-1)r+cos((k-1)t)r\\y=sin(t)(k-1)r-sin(( k-1)t)r\end{tilfælde}}

Størrelsesmodulet bestemmer formen på hypocykloiden. Når hypocykloiden er beskrevet af et par Tusi - dette er diameteren af en fast cirkel, hvornår er en astroid . Hvis modulet er en irreducerbar brøkdel af formen ( ), så er antallet af spidser af den givne hypocykloid, og er antallet af komplette rotationer af den rullende cirkel. Hvis modulet er et irrationelt tal , så er kurven ikke lukket og har et uendeligt antal uoverensstemmende spidser. $k$ $k=2$ $k=4$ $k$ ${\frac {m}{n}}$ $m,n\in \mathbb {N}$ $m$ $(mn)$ $k$

Eksempler på hypocykloider

$k=3$ – deltoid
$k=1.5={\frac {3}{2))$
$k=4$ - Astroide
$k={\frac {4}{3}}$
$k=5$
$k=6$
$k=5.5={\frac {11}{2))$
$k={\frac {5}{3}}$
$k=3.6={\frac {18}{5}}$

Se også

Noter

Litteratur

Hypocykloid // Kasakhstan. National Encyclopedia . - Almaty: Kasakhiske encyklopædier , 2005. - T. II. — ISBN 9965-9746-3-2 . (Russisk) (CC BY SA 3.0)

Når du skriver denne artikel, materiale fra publikationen " Kasakhstan. National Encyclopedia " (1998-2007), leveret af redaktørerne af "Kazakh Encyclopedia" under Creative Commons BY-SA 3.0 Unported-licensen .

Kurver

Definitioner

Forvandlet

Ikke-plan

Flad
algebraisk

Keglesnit

3. orden ( kubisk )

Elliptisk	Elliptisk kurve Jacobi elliptiske funktioner Elliptisk integral Elliptiske funktioner
Andet	Verziera Agnesi Kartesisk ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Semikubisk parabel Trident Cissoid af Diocles

4. orden

Lemniscates

Tilnærmelse

Spline
- B-spline
- Kubik
- monospline
- Udglatning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cycloidal

Andet

Krogede Gård

Flad
transcendental

Spiraler	Archimedov Gård Galilæa hyperbolsk "Tryllestav" Gylden clothoid logaritmisk sinusformet
Cycloidal	trochoid Cycloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Rose" quadrifolium Hurtig nedstigning (brachistochrone, cycloid bue)
Andet	Quadratrix cochleoid Jage traktor trochoid kæde linje omvendt buet konstant bredde sinusformet Ribokura Super formel Superellipse Reuleaux trekant polygon Lissajous figurer

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper dragekurve Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologisk	Sierpinski serviet Sierpinski tæppe Svamp Menger cirkulær fraktal Apollonius tæppe