Krøllede tal

Figurerede tal er tal, der kan repræsenteres ved hjælp af geometriske former. Dette historiske koncept går tilbage til pythagoræerne , som udviklede algebra på geometrisk basis og repræsenterede ethvert positivt heltal som et sæt punkter i en plan [1] . Udtrykkene "kvadrat et tal" eller "terning" [2] forblev et ekko af denne tilgang .

Traditionelt er der to hovedklasser af krøllede tal [3] :

Flade polygonale tal er tal forbundet med en bestemt polygon. De er opdelt i klassiske og centrerede .
Rumlige polyhedriske tal er tal, der er knyttet til et bestemt polyeder .

Til gengæld er hver klasse af figurative tal opdelt i varianter , som hver især er forbundet med en specifik geometrisk figur: trekant, firkant, tetraeder osv.

Der er også generaliseringer af krøllede tal til flerdimensionelle rum . I oldtiden, hvor aritmetik ikke var adskilt fra geometri, blev der overvejet flere typer figurative tal, som ikke bruges i øjeblikket .

I talteori og kombinatorik er figurative tal forbundet med mange andre klasser af heltal - binomiale koefficienter , perfekte tal , Mersenne tal , Fermat tal , Fibonacci tal , Lucas tal og andre [4] .

Klassiske polygonale tal

For kortheds skyld omtales de klassiske polygonale tal i dette afsnit blot som "polygonale tal".

Geometrisk definition

Polygonale tal er en sekvens, der angiver antallet af punkter, konstrueret efter reglerne, som vi vil illustrere ved hjælp af eksemplet med en syvkant. Rækken af syvkantede tal starter med 1 (basispunkt), derefter kommer 7, fordi 7 point danner en regulær syvkant , 6 point tilføjes. Det tredje tal svarer til en syvkant, hvis sider allerede ikke indeholder to, men tre punkter, og alle de punkter, der er bygget i de foregående trin, tages også i betragtning. Det kan ses af figuren, at den tredje figur indeholder 18 point, stigningen (Pythagoras kaldte det " gnomon ") var 11 point. Det er let at se, at tilføjelserne danner en aritmetisk progression , hvor hvert led er 5 mere end det foregående [5] .

Hvis vi går over til en generel -gon, kan vi konkludere, at for hvert trin stiger antallet af point svarende til det figurative tal som summen af en aritmetisk progression [5] med det første led 1 og forskellen $k$ $k-2.$

Algebraisk definition

Den generelle definition af et k -kultal for enhver følger af den geometriske konstruktion, der er præsenteret ovenfor. Det kan formuleres som følger [6] : $k \geqslant 3$

$n$ Det th i rækkefølgen k -kul tal er summen af de første led af en aritmetisk progression , hvor det første led er lig med 1, og forskellen er lig med ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $n$ $k-2.$

For eksempel opnås trekantede tal som partielle summer af rækken , og firkantede (kvadrat) tal svarer til rækken $1+2+3+4\dots$ $1+3+5+7\dots$

Rækkefølgen af k -gonale tal har formen [7] :

1,\;k,\;3k-3,\;6k-8,\;10k-15,\;15k-24,\;21k-35,\;28k-48,\;36k-63 ,\;45k-80\dots

Den generelle formel for den eksplicitte beregning af th orden af k -kul-tallet kan opnås ved at repræsentere det som summen af en aritmetisk progression [8] : $n$ ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$

{\textstyle P_{n}^{(k)}=n+(k-2){\frac {n(n-1)}{2))={\frac {(k-2)n^{2} -(k-4)n}{2}}={\frac {1}{2}}k(n^{2}-n)-n^{2}+2n}

(OKF)

I nogle kilder starter rækkefølgen af krøllede tal fra nul (for eksempel i A000217 ):

0,\;1,\;k,\;3k-3,\dots

I dette tilfælde er det tilladt i den generelle formel I denne artikel er figurative tal nummereret fra en, og den udvidede serie er specielt specificeret. ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $n=0.$

Der er også en rekursiv formel til beregning af et polygontal [8] :

P_{n}^{(k)}={\begin{cases}1,&n=1\\P_{n-1}^{(k)}+(k-2)(n-1) +1,&n>1\end{cases}}

Med en stigning i antallet af sider med én, ændres de tilsvarende figurative tal ifølge Nicomach- formlen [9] : $k$

{\displaystyle P_{n}^{(k+1)}=P_{n}^{(k)}+P_{n-1}^{(3)))

, hvor .

n>1

(Nicomachus)

Da det afhænger lineært af formlen er gyldig: ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $k,$

{\displaystyle P_{n}^{(k+s)}+P_{n}^{(ks)}=2P_{n}^{(k)))

, hvor .

s=0,1,2\dots k-3

Med andre ord er hvert polygonalt tal det aritmetiske middelværdi af polygonale tal lige adskilt fra det med det samme tal. $k$

Hvis er et primtal , så er det andet kultal, lig med , også primtal; dette er den eneste situation, hvor et polygonalt tal er primtal, som kan nås ved at skrive den generelle formel i følgende form: $k$ $k$ $k$

{\textstyle P_{n}^{(k)}={\frac {2+(n-1)(k-2)}{2}}n}

Bevis: lad Hvis det er lige, så er det krøllede tal deleligt med , og hvis det er ulige, så er det deleligt med . I begge tilfælde viser det figurative tal sig at være sammensat [10] . $n>2.$ $n$ ${\tekststil {\frac {n}{2))}$ ${\tekststil {\frac {2+(n-1)(k-2)}{2))}$

Serie af inverse polygonale tal

{\frac {1}{P_{1}^{(k)}}}+{\frac {1}{P_{2}^{(k)))}+{\frac {1}{ P_{3}^{(k)}}}+\dots +{\frac {1}{P_{n}^{(k)))}+\dots

konvergere. Deres sum kan repræsenteres som hvor er Euler-Mascheroni-konstanten , er digammafunktionen [11] . $S$ ${\textstyle S=-{\frac {2}{k-4}}\left(\gamma +\psi ({\frac {2}{k-2}})\right),}$ $\gamma$ $\psi(x)$

Historisk disposition

Figurerede tal, ifølge pythagoræerne , spiller en vigtig rolle i universets struktur. Derfor var mange fremtrædende matematikere fra antikken engageret i deres undersøgelse: Eratosthenes , Hypsicles , Diophantus af Alexandria , Theon af Smyrna og andre. Hypsikler (2. århundrede f.Kr.) gav en generel definition af kultallet som summen af medlemmerne af en aritmetisk progression , hvor det første led er , og forskellen er . Diophantus skrev en stor undersøgelse "Om polygonale tal" (3. århundrede e.Kr.), hvoraf fragmenter har overlevet den dag i dag. Definitionen af Hypsikler er givet i Diophantus bog i følgende form [12] [13] : $k$ ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $n$ $en$ $k-2$

Hvis vi tager nogle tal, startende fra én, der har de samme forskelle, vil deres sum, hvis forskellen er én, være en trekant, hvis to, så en firkant, og hvis tre, en femkant. Antallet af hjørner bestemmes af forskellen øget med to, og siden bestemmes af antallet af numre taget, tæller og en.

Figurerede tal er meget omtalt i Pythagoras lærebøger i aritmetik, skabt af Nicomachus af Geraz og Theon af Smyrna (II århundrede), som etablerede en række afhængigheder mellem figurerede tal af forskellige dimensioner. Indiske matematikere og de første matematikere i middelalderens Europa ( Fibonacci , Pacioli , Cardano , etc.) viste stor interesse for figurative tal [14] [4] .

I moderne tid beskæftigede Fermat , Wallis , Euler , Lagrange , Gauss og andre sig med polygonale tal . I september 1636 [15] formulerede Fermat i et brev til Mersenne en sætning, som i dag kaldes Fermats polygonale talsætning [14] :

Jeg var den første til at opdage en meget smuk og ret generel sætning om, at hvert tal enten er trekantet eller summen af to eller tre trekantede tal; hvert tal er enten kvadrat eller er summen af to, tre eller fire kvadrater; eller femkantet, eller er summen af to, tre, fire eller fem femkantede tal, og så videre ad infinitum, hvad enten det er for sekskantede, sekskantede eller et hvilket som helst polygonalt tal. Jeg kan ikke her give et bevis, som afhænger af tallenes mange og indviklede mysterier, for jeg har til hensigt at vie en hel bog til dette emne, og i denne del af regnestykket opnå forbløffende fremskridt over tidligere kendte grænser.

I modsætning til sit løfte offentliggjorde Fermat aldrig et bevis for denne sætning, som han i et brev til Pascal (1654) kaldte sin vigtigste præstation i matematik [15] . Mange fremragende matematikere behandlede problemet - i 1770 beviste Lagrange en sætning for kvadrattal ( Lagranges sætning om summen af fire kvadrater ), i 1796 gav Gauss et bevis for trekanttal. Et fuldstændigt bevis for sætningen blev givet af Cauchy i 1813 [16] [17] .

Varianter af klassiske polygonale tal

Trekantede tal

Trekantet talrække :

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210 …, … (sekvens A000217 i OEIS 17 )

{\textstyle {\frac {n(n+1)}{2}}}

Egenskaber [18] :

Pariteten af et sekvenselement ændres med en periode på 4: ulige, ulige, lige, lige. Intet trekanttal kan (i decimalnotation) slutte med tallene 2, 4, 7, 9 [19] .

For kortheds skyld betegner vi det trekantede tal: Så er de rekursive formler gyldige: $n$ ${\textstyle T_{n}=P_{n}^{(3)}={\frac {n(n+1)}{2)).}$

{\displaystyle T_{2n}=3T_{n}+T_{n-1))

;

T_{2n+1}=3T_{n}+T_{n+1}

Bacher de Meziriacs formel : Den generelle formel for et polygontal kan transformeres, så det viser udtrykket af ethvert polygonalt tal i form af trekantede:

{\textstyle P_{n}^{(k)}=n+(k-2){\frac {n(n-1)}{2}}=(k-2)T_{n-1}+n= (k-3)T_{n-1}+T_{n}}

(baske)

Summen af to på hinanden følgende trekanttal giver et helt kvadrat ( kvadratnummer ):

{\displaystyle T_{n}+T_{n+1}=(n+1)^{2}=P_{n+1}^{(4)))

Fermats sætning om polygonale tal antyder, at ethvert naturligt tal kan repræsenteres som en sum af højst tre trekantede tal.

Summen af en endelig række af trekantede tal beregnes ved formlen:

S_{m-1}=1+3+6+\dots +{\frac {(m-1)m}{2}}={\frac {m^{3}-m}{6} }

En række gensidige af trekantede tal ( teleskopiske serier ) konvergerer [20] :

1+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+\dots =2\sum _{n=1}^{\infty } \left({1 \over n}-{1 \over n+1}\right)=2

Fordoblede trekantede tal giver en sekvens (defineret nedenfor ) af rektangulære tal .

Et naturligt tal er trekantet, hvis og kun hvis tallet er kvadratisk [21] . $N$ $8N+1$

Kendt i mystik er " dyrets nummer " (666) den 36. trekantede. Det er det mindste trekanttal, der kan repræsenteres som en sum af kvadrater af trekantede tal [22] : . $666=15^{2}+21^{2}$

De trekantede tal danner den tredje diagonale linje i Pascals trekant .

Kvadratiske tal


$0+\color {blue}1\color {sort}=1$	$1+\color {blue}3\color {sort}=4$	$4+\color {blue}5\color {sort}=9$	$9+\color {blue}7\color {sort}=16$

Kvadrattal er produktet af to identiske naturlige tal, det vil sige, at de er perfekte kvadrater:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 …, … (sekvens A00IS ) .

n^{2}

Hvert kvadrattal, undtagen ét, er summen af to på hinanden følgende trekanttal [23] :

{\displaystyle n^{2}=T_{n-1}+T_{n))

. Eksempler: osv.

4=1+3;\quad 9=3+6;\quad 16=6+10

Summen af et kvadrattal foran et trekantet tal giver et femkantet tal :

{\displaystyle n^{2}+T_{n-1}=P_{n}^{(5)))

Denne teorem blev først udgivet af Nicomachus (" Introduktion til Arithmetic ", II århundrede) [24] .

Summen af kvadrater af de første naturlige tal beregnes med formlen [25] : $n$

{\textstyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6} }}

En række af omvendte kvadrattal konvergerer [26] :

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac { 1}{2^{2}}}+\dots +{\frac {1}{n^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}

Hvert naturligt tal kan repræsenteres som summen af højst fire kvadrater ( Lagranges sum af fire kvadraters sætning ).

Brahmagupta-Fibonacci identitet : Produktet af summen af to kvadrattal og enhver anden sum af to kvadrattal er i sig selv repræsenteret som summen af to kvadrattal.

(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}= (ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}.

Da det andet led til højre kan være lig med nul, bør man her overveje en udvidet række af kvadrattal, der starter ikke fra 1, men fra nul (se A000290 ).

Eksempel:

(1^{2}+4^{2})(2^{2}+7^{2})=26^{2}+15^{2}=30^{2}+1^ {2}

. Femkantede tal

Rækkefølgen af femkantede tal ser sådan ud:

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590..., … 0 ( OEIS - sekvens A 0 ).

{\textstyle {\frac {n(3n-1)}{2}}}

Femkantede tal er tæt beslægtet med trekantede tal [24] :

P_{n}^{(5)}={\frac {n(3n-1)}{2}}=T_{n-1}+n^{2}=T_{n}+2T_{ n-1}=T_{2n-1}-T_{n-1}={\frac {1}{3}}T_{3n-1}

Som nævnt ovenfor kan et femkantet tal, startende fra det 2. tal, repræsenteres som summen af et kvadrat og et trekantet tal:

{\displaystyle P_{n}^{(5)}=n^{2}+T_{n-1))

Hvis du angiver en mere generel sekvens i formlen : ${\textstyle {\frac {n(3n-1)}{2}}}$ $n$

n=0,\;1,\;-1,\;2,\;-2,\;3,\;-3\prikker

så får vi generaliserede femkantede tal :

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155... ( OEIS -sekvens A001318 ).

Leonhard Euler opdagede generaliserede femkantede tal i følgende identitet :

(1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\ldots =1-xx^{2}+x^{5}+x^{7}-x ^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}-x^{35}-x^{40}+\ldots

Potenserne på højre side af identiteten danner en sekvens af generaliserede femkantede tal [27] . $x$

Sekskantede tal 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780…, … ( 03IS sekvens ).

2n^{2}-n

Rækkefølgen af sekskantede tal fås fra sekvensen af trekantede tal ved at slette elementer med lige tal [28] : . ${\displaystyle P_{n}^{(6)}=P_{2n-1}^{(3)))$

Et naturligt tal er sekskantet, hvis og kun hvis tallet er naturligt . $N$ ${\textstyle {\frac {{\sqrt {8N+1}}+1}{4}}}$

Heptagonale tal Ottekantede tal Todekagonale tal

Dodekagonale tal beregnes med formlen : $5n^{2}-4n$

1, 12, 33, 64, 105, 156, 217, 288, 369, 460, 561, 672, 793, 924 , 1065 , 1216, 1377 .

I decimalsystemet ender det 1. dodekagonale tal på det samme ciffer som selve tallet . Dette følger af den åbenlyse sammenligning : hvorfra får vi: ■ . $n$ $n$ $5n(n-1)\equiv 0{\pmod {10)),$ $5n^{2}-4n\equiv n{\pmod {10))$

Bestemmelse af, om et givet tal er polygonalt

Opgave 1 (Diophantus problem): givet et naturligt tal . Bestem, om det er et polygonalt tal , og i givet fald, for hvilket og . Diophantus formulerede dette problem som følger: " find ud af, hvor mange gange et givet tal forekommer blandt alle mulige polygonale tal " [29] . $N>2$ ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $k$ $n$

Løsningen af problemet er reduceret til løsningen af den " diofantiske ligning " (se den generelle formel ):

N=P_{n}^{(k)}={\frac {(k-2)n^{2}-(k-4)n}{2)),

eller :.

2N-2n=(k-2)(n^{2}-n)

Lad os omskrive den resulterende ligning i formen: . $k-2={\frac {2N-2}{n-1}}-{\frac {2N}{n}}$

Nævnerne af brøkerne til højre er relativt prime ; summen eller forskellen af sådanne brøker kan kun være et heltal, hvis hver brøk er et heltal [30] , så det er et multiplum af , men et multiplum af . $2N-2$ $n-1$ $2N$ $n$

Som et resultat antager løsningsalgoritmen følgende form [29] :

Skriv alle de naturlige delere af tallet (inklusive sig selv ). $2N$ $en$ $2N$
Skriv alle naturlige delere af tallet ned . $2N-2$
Vælg fra det første sæt de tal, der er større end et hvilket som helst tal fra det andet sæt. Disse tal stemmer overens . $en$ $n$
Beregn for hver valgt . $n$ ${\textstyle k={\frac {2N-2}{n-1}}-{\frac {2N}{n}}+2}$
Slet de par , hvor . $(n,\;k)$ $k<3$

Så er alle de tal, der svarer til de resterende par, lige store . ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $N$

Eksempel [29] . Lad . $N=105$

Afdelere . $2N=210\colon \quad 1,\;2,\;3,\;5,\;6,\;7,\;10,\;14,\;15,\;21,\; 30,\;35,\;42,\;70,\;105,\;210$
Afdelere . $2N-2=208\colon \quad 1,\;2,\;4,\;8,\;13,\;16,\;26,\;52,\;104,\;208$
Udvælgelse . $n=2,\;3,\;5,\;14,\;105$
Følgelig . Den sidste værdi skal kasseres. $k=105,\;36,\;12,\;14,\;2$

Svar: kan repræsenteres som , det vil sige som 2. 105-vinkel, 3. 36-vinkel, 5. 12-vinkel og 14. 14-vinkel tal. $105$ $P_{2}^{(105)},\;P_{3}^{(36)},\;P_{5}^{(12)},\;P_{14}^{(14) )}$

Opgave 2 : givet et naturligt tal , skal du afgøre, om det er et kultal . I modsætning til opgave 1 er det her givet. $N>2,$ $k$ ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $k$

Til løsningen kan du bruge Diophantus-identiteten [31] :

{\displaystyle 8(k-2)P_{n}^{(k)}+(k-4)^{2}=(2n(k-2)-(k-4))^{2))

Denne identitet er opnået fra ovenstående generelle formel for ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ og er ækvivalent med den. Løsningen følger af identiteten: hvis der er et -kultal, altså for nogle , så er der et eller andet kvadrattal , og omvendt. I dette tilfælde findes tallet ved formlen [31] : $N$ $k$ ${\displaystyle N=P_{n}^{(k)))$ $n,$ ${\displaystyle 8(k-2)N+(k-4)^{2))$ $R^2$ $n$

{\textstyle n={\frac {R+k-4}{2k-4))}

Eksempel [31] . Lad os afgøre, om tallet er 10-sidet. Værdien her er lig, så svaret er ja. derfor er det 20. 10-vinkeltal. $1540$ ${\displaystyle 8(k-2)N+(k-4)^{2))$ $98596=314^{2},$ $n=20,$ $1540$

Genererer funktion

Potensrækken , hvis koefficienter er -kultal, konvergerer ved : $k$ $|x|<1$

{\textstyle P_{1}^{(k)}x+P_{2}^{(k)}x^{2}+P_{3}^{(k)}x^{3}+\dots = {\frac {x(1+(k-3)x)}{(1-x)^{3))))

Udtrykket til højre er den genererende funktion for sekvensen af -kultal [32] . $k$

Apparatet til at generere funktioner gør det muligt at anvende matematisk analysemetoder i talteori og kombinatorik . Ovenstående formel forklarer også udseendet af -kultal blandt koefficienterne i Taylor-serien for forskellige rationelle fraktioner. Eksempler: $k$

På : ;

k=3

{\textstyle \qquad {\frac {x}{(1-x)^{3}}}=P_{1}^{(3)}x+P_{2}^{(3)}x^{2 }+P_{3}^{(3)}x^{3}+\dots +P_{n}^{(3)}x^{n}+\dots }

På : ;

k=4

{\textstyle \qquad {\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}=P_{1}^{(4)}x+P_{2}^{(4) }x^{2}+P_{3}^{(4)}x^{3}+\dots +P_{n}^{(4)}x^{n}+\dots }

kl .:

k=5

{\textstyle \qquad {\frac {x(2x+1)}{(1-x)^{3}}}=P_{1}^{(5)}x+P_{2}^{(5) }x^{2}+P_{3}^{(5)}x^{3}+\dots +P_{n}^{(5)}x^{n}+\dots }

etc.

For nogle klasser af polygonale tal er der specifikke genereringsfunktioner. For eksempel, for kvadratiske trekantede tal , har den genererende funktion følgende form [33] : $1,\;36,\;1225,\;41616,\;1413721\dots$

{\textstyle {\frac {x(1+x)}{(1-x)(1-34x+x^{2})}}=x+36x^{2}+1225x^{3}+\dots }

; serien konvergerer kl .

|x|<17-12{\sqrt {2}}

Klassiske polygonale tal fra mere end én sort

Der er et uendeligt antal "multi-figured" (eller "multi-polygonal") [34] tal, det vil sige tal, der samtidig hører til flere forskellige varianter af krøllede tal. For eksempel er der trekantede tal, der også er kvadratiske (" kvadratiske trekantede tal ") [35] :

1,\;36,\;1225,\;41616,\;1413721\dots

(sekvens A001110 i OEIS ).

Det trekantede tal kan også være på samme tid

femkantet (sekvens A014979 i OEIS ):

1, 210, 40755, 7906276, 1533776805, 297544793910, 57722156241751, 11197800766105800, 2172318282466…

sekskantet (alle trekantede tal med et ulige tal);
sekskantet (sekvens A046194 i OEIS ):

1; 21

osv. Det vides ikke, om der er tal, der samtidigt er trekantede, firkantede og femkantede; en computertest af tal mindre end det viste ikke noget sådant tal, men det er ikke blevet bevist, at der ikke er nogen [34] . $10^{22166},$

Et kvadrattal kan være på samme tid

femkantet (sekvens A036353 i OEIS ):

1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128691780580

sekskantet (sekvens A046177 i OEIS ):

1 1225 1413721 1631432881 1882672131025 2172602007770041 2507180834294496361 289328451017382510…,03

sekskantet (sekvens A036354 i OEIS ):

1, 81, 5929, 2307361, 168662169, 12328771225, 4797839017609, 350709705290025, 25635978392186449...

etc.

Et femkantet tal kan samtidig være:

sekskantet (sekvens A046180 i OEIS ):

1, 40755 1533776805, 57722156241751

sekskantet (sekvens A048900 i OEIS ):

1, 4347, 16701685, 64167869935, 246532939589097, 947179489733441251, 3639063353022941697757…

etc.

Et sekskantet tal er nødvendigvis også trekantet; den kan også være syvkantet på samme tid (sekvens A48903 i OEIS ):

1, 121771, 12625478965, 1309034909945503, 135723357520344181225, 14072069153115290487843091…

Andre kombinationer af tre eller flere typer figurative tal er også mulige. For eksempel, som bevist ovenfor , findes tallet i fire varianter: For en komplet liste over sådanne kombinationer fra trekantede til 16-gonale tal, se sekvens A062712 i OEIS . $105$ $P_{5}^{(12)},\;P_{14}^{(14)},\;P_{3}^{(36)},\;P_{2}^{(105 )}.$

Pivottabel

k	Forskellige krøllede tal	Generel formel	n										Summen af gensidige [36]	OEIS nummer
k	Forskellige krøllede tal	Generel formel	en	2	3	fire	5	6	7	otte	9	ti	Summen af gensidige [36]	OEIS nummer
3	trekantet	en2( n 2 + n )	en	3	6	ti	femten	21	28	36	45	55	2	A000217
fire	firkant	en2( 2n2 − 0n ) = n2 _	en	fire	9	16	25	36	49	64	81	100	$\pi$ 26	A000290
5	femkantet	en2(3 n 2 − n )	en	5	12	22	35	51	70	92	117	145	$3\ln 3-{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{3}}$	A000326
6	sekskantet	en2( 4n2 − 2n ) _	en	6	femten	28	45	66	91	120	153	190	2 ln 2	A000384
7	sekskantet	en2( 5n2 − 3n ) _	en	7	atten	34	55	81	112	148	189	235	${\tfrac {\pi }{3}}{\sqrt {1-{\tfrac {2}{\sqrt {5}}}}}$ $+{\tfrac {5}{6}}\ln 5-{\tfrac {\sqrt {5}}{3}}\ln \left({\tfrac {1+{\sqrt {5}} }{2}}\right)$	A000566
otte	ottekantet	en2( 6n2 − 4n ) _	en	otte	21	40	65	96	133	176	225	280	3fireln 3+ $\pi$ √ 312	A000567
9	ikke-kantet	en2( 7n2 − 5n ) _	en	9	24	46	75	111	154	204	261	325	${\tfrac {1}{5}}(2\ln 14+4\cos {\tfrac {\pi }{7}}\ln \cos {\tfrac {3\pi }{14}}$ $+\ln \sin {\tfrac {\pi }{7}}\sin {\tfrac {\pi }{14}}-\ln \cos {\tfrac {\pi }{14}}\sin {\tfrac {3\pi }{14}}$ $+\pi \operatørnavn {tg} {\tfrac {3\pi }{14)))$	A001106 A244646
ti	tikantet	en2( 8n2 − 6n ) _	en	ti	27	52	85	126	175	232	297	370	ln 2+ $\pi$ 6	A001107
elleve	11-kul	en2( 9n2 − 7n ) _	en	elleve	tredive	58	95	141	196	260	333	415		A051682
12	12-kul	en2( 10n2 − 8n ) _	en	12	33	64	105	156	217	288	369	460		A051624
13	13-kul	en2( 11n2 − 9n ) _	en	13	36	70	115	171	238	316	405	505		A051865
fjorten	14-kul	en2( 12n2 − 10n ) _	en	fjorten	39	76	125	186	259	344	441	550	25ln 2+3tiln 3+ $\pi$ √ 3ti	A051866
femten	15-kul	en2( 13n2 − 11n ) _	en	femten	42	82	135	201	280	372	477	595		A051867
16	16-kul	en2( 14n2 − 12n ) _	en	16	45	88	145	216	301	400	513	640		A051868
17	17-kul	en2( 15n2 − 13n ) _	en	17	48	94	155	231	322	428	549	685		A051869
atten	18-kul	en2( 16n2 − 14n ) _	en	atten	51	100	165	246	343	456	585	730	fire7log 2 -√2 _fjortenlog (3 − 2 √ 2 ) + $\pi$ ( 1 + √2 )fjorten	A051870
19	19-kul	en2( 17n2 − 15n ) _	en	19	54	106	175	261	364	484	621	775		A051871
tyve	ottekantet	en2( 18n2 − 16n ) _	en	tyve	57	112	185	276	385	512	657	820		A051872
21	21-kul	en2( 19n2 − 17n ) _	en	21	60	118	195	291	406	540	693	865		A051873
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
1000	1000-kul	en2( 998n2 − 996n ) _	en	1000	2997	5992	9985	14976	20965	27952	35937	44920		A195163
10.000	10000-kul	en2(9998 n 2 - 9996 n )	en	10.000	29997	59992	99985	149976	209965	279952	359937	449920		A167149

Centrerede polygonale tal

Definition

Centrerede vinkeltal ( ) er en klasse af formede tal opnået ved følgende geometriske konstruktion. Først er et bestemt centralt punkt fastgjort på flyet. Derefter bygges en regulær k -gon op omkring den med toppunkter, hver side indeholder to punkter (se figur). Yderligere bygges nye lag -goner udenfor, og hver af deres sider på det nye lag indeholder et punkt mere end i det forrige lag, det vil sige, startende fra det andet lag, indeholder hvert næste lag flere punkter end det forrige. Det samlede antal punkter inde i hvert lag og tages som et centreret polygonalt tal (punktet i midten betragtes som det indledende lag) [37] . $k$ $k \geqslant 3$ $k$ $k$ $k$

Eksempler på bygningscentrerede polygonale tal:

trekantet	Firkant	Femkantet	Sekskantet

Det kan ses af konstruktionen, at centrerede polygonale tal fås som delsummer af følgende rækker: (f.eks. centrerede kvadrattal, som de danner en sekvens for: ) Denne række kan skrives som , hvorfra den kan ses der i parentes er en genererende række for klassiske trekantstal (se fig. ovenfor ). Derfor kan hver sekvens af centrerede -kantede tal, startende fra det 2. element, repræsenteres som , hvor er en sekvens af trekantede tal. For eksempel er centrerede kvadrattal firdobbelte trekantede tal plus , den genererende serie for dem er: [38] $1+k+2k+3k+4k+\dots$ $k=4,$ $1,5,13,25,41\dots$ $1+k(1+2+3+4+\dots )$ $k$ $kT_{n-1}+1$ $T_{n}~(n=1,\;2,\;3\dots )$ $en$ $1+4+8+12\dots$

Fra ovenstående formel for trekantede tal kan man udtrykke den generelle formel for det th centrerede -gonale tal [38] : $n$ $k$ ${\displaystyle C_{n}^{(k)))$

{\textstyle C_{n}^{(k)}=1+k{\frac {n(n-1)}{2))={\frac {kn^{2}-kn+2}{2} };\ n=1,\;2,\;3\prikker }

(OCF)

Genereringsfunktionen for centrerede polygonale tal har formen [39] :

{\tekststil f(x)={\frac {x(1+(k-2)x+x^{2})}{(1-x)^{3))};\quad |x|<1 }

Varianter af centrerede polygonale tal

Centrerede trekantede tal

$n$ Det centrerede trekanttal i rækkefølge er givet ved formlen:

{\textstyle C_{n}^{(3)}={\frac {3n^{2}-3n+2}{2))}

Konsekvens (for ): . $n>1$ ${\textstyle C_{n}^{(3)}=3T_{n-1}+1}$

De første elementer i rækken af centrerede trekantede tal er:

1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, 166, 199, 235, 274, 316, 361, 409, 460, 514, 571..., ( 544 sekvens A 0 ).

{\textstyle {\frac {3n^{2}-3n+2}{2))}

Nogle ejendomme [40]

Hvert centreret trekanttal, der starter ved 10, er summen af tre på hinanden følgende klassiske trekanttal: $C_{n}^{(3)}=P_{n}^{(3)}+P_{n-1}^{(3)}+P_{n-2}^{(3)} .$
Det kan ses af konsekvensen af den generelle formel, at hvert centreret trekanttal , når det divideres med 3, giver en rest af 1, og kvotienten (hvis den er positiv) er det klassiske trekanttal . ${\displaystyle C_{n}^{(3)))$ ${\displaystyle T_{n-1))$
Nogle centrerede trekanttal er primtal [10] : 19, 31, 109, 199, 409 … (sekvens A125602 i OEIS ).

Centrerede kvadrattal

en		5		13		25

$n$ Det th i rækkefølge centrerede 4-vinklede (kvadratiske) tal er givet ved formlen:

{\textstyle C_{n}^{(4)}={(2n-1)^{2}+1 \over 2}=2n^{2}-2n+1=(n-1)^{2} +n^{2}}

De første elementer i rækken af centrerede kvadrattal er:

1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761..., ( OEIS sekvens A 0 ).

n^{2}+(n-1)^{2}\dots

Nogle ejendomme [41]

Som det kan ses af den generelle formel , er et centreret kvadrattal summen af to på hinanden følgende kvadrater.
Alle centrerede kvadrattal er ulige, og det sidste ciffer i deres decimalrepræsentation ændres i en cyklus: 1-5-3-5-1.
Alle centrerede kvadrattal og deres divisorer efterlader en rest på 1, når de divideres med 4, og når de divideres med 6, 8 eller 12 giver en rest på 1 eller 5.
Alle centrerede kvadrattal undtagen 1 repræsenterer længden af hypotenusen i en af Pythagoras tripler (f.eks. 3-4-5, 5-12-13). Således er hvert centreret kvadrattal lig med antallet af punkter inden for en given afstand, i blokke, fra midtpunktet på kvadratgitteret.
Forskellen mellem to på hinanden følgende klassiske ottekantede tal er et centreret kvadrattal.
Nogle centrerede kvadrattal er primtal (som vist ovenfor er de klassiske kvadrattal, startende fra den tredje i rækkefølge, naturligvis sammensatte). Eksempler på simple centrerede kvadrattal:

5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761, 1013, 1201, 1301, 1741 , 1861 , 2113, 2381 . Centrerede femkantede tal

$n$ Det centrerede femkantede tal i rækkefølge er givet ved formlen:

{\textstyle C_{n}^{(5)}={\frac {5(n-1)^{2}+5(n-1)+2}{2))}

Flere første centrerede femkantede tal:

1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226, 276, 331, 391, 456, 526, 601, 681, 766, 856, 951 …, … ( 05OEIS 9 ) sekvens 1

{\textstyle {\frac {5(n-1)^{2}+5(n-1)+2}{2))}

Pariteten af centrerede femkantede tal ændres i henhold til reglen: lige-lige-ulige-ulige, og det sidste decimalciffer ændres i en cyklus: 6-6-1-1.

Nogle centrerede femkantede tal er primtal [10] : 31, 181, 331, 391, 601. . . (sekvens A145838 i OEIS ).

Centrerede sekskantede tal

$n$ Det th i rækkefølge centrerede sekskantede tal er givet ved formlen:

C_{n}^{(6)}=n^{3}-(n-1)^{3}=3n(n-1)+1

Flere første centrerede sekskantede tal:

1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469, 547, 631, 721, 817, 919 … … (sekvens A003215 i OEIS ).

1+3n(n-1)

Nogle ejendomme [42]

Den sidste decimal for centrerede sekskantede tal ændres i en 1-7-9-7-1 cyklus.
Summen af de første n centrerede hexagonale tal er lig med det " kubiske tal " . $n^3$
Den rekursive lighed er sand: . $C_{n}^{(6)}=2C_{n-1}^{(6)}-C_{n-2}^{(6)}+6$
Nogle centrerede hexagonale tal er primtal [10] : 7, 19, 37, 61, 127... (sekvens A002407 i OEIS ).

Centrerede syvkantede tal

$n$ Det th i rækkefølge centrerede sjukantede tal er givet af formlen . Det kan også beregnes ved at gange et trekantet tal med 7 og lægge 1 sammen. ${\textstyle {\frac {7n^{2}-7n+2}{2))}$ $(n-1)$

Adskillige første centrerede syvkantede tal:

1, 8, 22, 43, 71, 106, 148, 197, 253, 316, 386, 463, 547, 638, 736, 841, 953 …, … (sekvens A069099 i OEIS ).

{\textstyle {\frac {7n^{2}-7n+2}{2))}

Pariteten af centrerede syvkantede tal ændres i den ulige-lige-lige-ulige cyklus.

Nogle centrerede syvkantede tal er primtal [10] :

43, 71, 197, 463, 547, 953, 1471, 1933, 2647, 2843, 3697... ( OEIS -sekvens A144974 ).

Der er også centrerede syvkantede tal inkluderet i par af tvillingeprimtal :

43, 71, 197, 463, 1933, 5741, 8233, 9283, 11173, 14561, 34651... ( OEIS -sekvens A144975 ). Centrerede ottekantede tal

$n$ Det th i rækkefølge centrerede ottekantede tal er givet ved . $(2n-1)^{2}=4n^{2}-4n+1$

Adskillige første centrerede ottekantede tal:

1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361, 441, 529, 625, 729, 841, 961, 1089. Nogle ejendomme [43]

Alle centrerede ottekantede tal er ulige, og deres sidste decimaltal ændres i en cyklus på 1-9-5-9-1.
Det centrerede ottekantede tal er det samme som det klassiske kvadrattal med ulige nummer: Med andre ord er et ulige tal et centreret ottekantet tal, hvis og kun hvis det er kvadratet af et heltal. $C_{n}^{(6)}=P_{2n-1}^{(4)}.$
Det følger af den tidligere egenskab, at alle centrerede ottekantede tal undtagen 1 er sammensatte.

Centrerede ikke-hexagonale tal

$n$ Det th i rækkefølge centrerede ni-vinklede tal bestemmes af den generelle formel . ${\frac {(3n-2)(3n-1)}{2))$

Ved at gange det -th trekanttal med 9 og lægge 1 sammen får vi det -th centrerede sekskantet tal, men der er også en enklere sammenhæng med trekanttal - hvert tredje trekanttal (1., 4., 7. osv.) er også et centreret tal. ikke-agonalt tal, og på denne måde kan alle centrerede ikke-kantede tal opnås. Formel notation :. $(n-1)$ $n$ ${\displaystyle C_{n}^{(9)}=P_{3n-2}^{(3)))$

Første centrerede ni-vinklede tal:

1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406, 496, 595, 703, 820, 946... ( OEIS -sekvens A060544 ).

Med undtagelse af 6 er alle lige perfekte tal også centrerede sekskantede tal. I 1850 foreslog amatørmatematiker Frederick Pollock , hvilket endnu ikke er blevet bevist eller afkræftet, at ethvert naturligt tal er summen af maksimalt elleve centrerede ni-gonale tal [44] .

Det følger af den generelle formel, at alle centrerede ni-vinklede tal, undtagen 1, er sammensatte.

Centrerede tikantede tal

$n$ Det th i orden centreret tikanttal er givet af formlen . $5(n^{2}-n)+1$

De første repræsentanter for centrerede dekagonale tal:

1, 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 361, 451, 551, 661, 781, 911, 1051... ( OEIS -sekvens A062786 ).

5(n^{2}-n)+1

Ligesom andre k -gonale tal kan det -th centrerede tikanttal beregnes ved at gange det -th trekanttal med , i vores tilfælde 10, og derefter tilføje 1. Som en konsekvens kan centrerede dekagonale tal opnås ved blot at lægge 1 til nummerets decimalrepræsentation. Således er alle centrerede dekagonale tal ulige og ender altid på 1 i decimalrepræsentation. $n$ $(n-1)$ $k$

Nogle af de centrerede dekagonale tal er primtal, for eksempel:

11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 661, 911, 1051, 1201, 1361, 1531 , 1901 , 2311, 2531 .

Polygonale tal, både klassiske og centrerede

Nogle centrerede polygonale tal falder sammen med de klassiske, for eksempel: ; For kortheds skyld vil vi kalde sådanne polygonale tal for dobbelt . $1,\;10,\;25,\;51$

1. Dobbelttal med en fælles parameter (antal hjørner): identiteten [45] indeholder :

k

C_{k}^{(k)}=P_{k+1}^{(k)}\quad

. 2. Dobbelte trekantede tal med forskellige Eksempel: (sekvens A128862 i OEIS ). For at finde dem skal du løse den diofantiske ligning :

k.

1,\;10,\;136,\;1891,\;26335\dots

m^{2}+m=3n^{2}-3n+2,

derefter . Nogle løsninger:

{\displaystyle P_{m}^{(3)}=C_{n}^{(3)))

m=1,\;4,\;16,\;61,\;229\dots

(sekvens A133161 i OEIS ), henholdsvis:

n=1,\;3,\;10,\;36,\;133\dots

(sekvens A102871 i OEIS ). 3. Klassiske kvadrattal, der er centrerede trekanttal. De bestemmes af den diofantiske ligning:

{\textstyle m^{2}={\frac {3n^{2}-3n+2}{2}}.\quad }

Så .

{\displaystyle C_{m}^{(3)}=P_{n}^{(4)))

Løsninger:

m=1,\;2,\;8,\;19,\;79\dots

(sekvens A129445 i OEIS ).

n=1,2,7,16,65\dots

De første tal er:

1,\;4,\;64,\;361,\;6241\dots

4. Klassiske trekantede, som er centrerede sekskantede tal. De første sådanne numre er: (sekvens A006244 i OEIS ). De bestemmes af den diofantiske ligning:

1,\;91,\;8911,\;873181,\;85562821\dots

{\frac {m(m+1)}{2}}=3n^{2}+3n+1.\quad

Så .

{\displaystyle P_{m}^{(3)}=C_{n+1}^{(6)))

Løsninger:

m=1,13,133,1321,13081\dots

(sekvens A031138 i OEIS );

n=0,\;5,\;54,\;539,\;5340\dots

(sekvens A087125, i OEIS ). 5. Klassiske kvadrattal, der er centrerede sekskantede tal. De første sådanne numre er: (sekvens A006051 i OEIS ). De bestemmes af den diofantiske ligning:

1,\;169,\;32761,\;6355441,\;1232922769\dots

m^{2}=3n^{2}+3n+1.\quad

Så .

{\displaystyle P_{m}^{(4)}=C_{n+1}^{(6)))

Løsninger:

m=1,\;13,\;181,\;2521,\;35113\dots

(sekvens A001570 i OEIS );

n=0,\;7,\;104,\;1455,\;20272\dots

(sekvens A001921, i OEIS ).

Rumlige figurative tal

Sammen med de figurative tal, der er betragtet ovenfor for plane figurer, kan man definere deres rumlige eller endda multidimensionelle analoger. Allerede gamle matematikere studerede tetraedriske og firkantede pyramidetal . Det er let at bestemme de tal, der er forbundet med pyramider , som er baseret på enhver anden polygon, for eksempel:

Femkantet pyramidenummer .
Sekskantet pyramidetal .
Heptagonal pyramide nummer .

Andre varianter af rumlige figurative tal er forbundet med klassiske polyedre .

Pyramidetal

Pyramidetal er defineret som følger:

$n$ Det th i rækkefølge k -gonale pyramidetal er summen af de første flade figurative tal med det samme antal vinkler : ${\displaystyle \Pi _{n}^{(k)))$ $n$ $k$

\Pi _{n}^{(k)}=P_{1}^{(k)}+P_{2}^{(k)}+P_{3}^{(k)}+\ prikker +P_{n}^{(k)}

Geometrisk kan et pyramidetal repræsenteres som en pyramide af lag (se figur), som hver indeholder fra 1 (øverste lag) til (nedre) kugler. ${\displaystyle \Pi _{n}^{(k)))$ $n$ ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$

Ved induktion er det ikke svært at bevise den generelle formel for pyramidetallet, som allerede var kendt af Archimedes [46] :

\Pi _{n}^{(k)}={\frac {n(n+1)((k-2)n-k+5)}{6))

(OPF)

Den højre side af denne formel kan også udtrykkes i form af flade polygonale tal:

\Pi _{n}^{(k)}={\frac {(k-2)n-k+5}{3}}P_{n}^{(3)}={\frac { n+1}{6}}(2P_{n}^{(k)}+n)

Der er en tredimensionel analog af Nicomachus-formlen for pyramidetal [47] :

{\displaystyle \Pi _{n}^{(k+1)}=\Pi _{n}^{(k)}+\Pi _{n-1}^{(3)))

Den genererende funktion af pyramidetal har formen [48] :

f(x)={\frac {x(1+(k-3)x)}{(1-x)^{4}}};\quad |x|<1

. Trekantede pyramideformede (tetraedriske) tal

Trekantede pyramidetal, også kaldet tetraedriske tal, er figurative tal, der repræsenterer et tetraeder , det vil sige en pyramide, ved hvis basis ligger en trekant. Ifølge ovenstående generelle definition af pyramidetal er e-rækkefølgen af det tetraedriske nummer defineret som summen af de første trekantede tal : $n-$ $n$

{\displaystyle \Pi _{n}^{(3)}=T_{1}+T_{2}+\dots +T_{n))

Generel formel for tetraedrisk tal :. $\Pi _{n}^{(3)}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6))$

De første par tetraedriske tal:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969... ( OEIS -sekvens A000292 ).

Interessant nok er det femte tal lig med summen af alle de foregående.

Der er en tredimensionel analog til Basche de Meziriac-formlen , nemlig udvidelsen af et vilkårligt pyramidetal i tetraedriske tal [47] :

{\displaystyle \Pi _{n}^{(k)}=\Pi _{n}^{(3)}+(k-3)\Pi _{n-1}^{(3)))

Fem tetraedriske tal er trekantede på samme tid (sekvens A027568 i OEIS ):

1, 10, 120, 1540, 7140.

Kun tre tetraedriske tal er kvadrattal (sekvens A003556 i OEIS ):

1^{2}=1

, , .

2^{2}=4

140^{2}=19\,600

En af Pollocks "formodninger " (1850): hvert naturligt tal kan repræsenteres som summen af højst fem tetraedriske tal. Det er endnu ikke bevist, selvom det er blevet testet for alle tal mindre end 10 milliarder [49] [50] .

Firkantede pyramidetal

Firkantede pyramidetal omtales ofte kort som blot pyramidetal. For dem har pyramiden en firkantet base. Startsekvens:

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819... ( OEIS -sekvens A000330 ).

Den generelle formel for et kvadratisk pyramidetal er: . $\Pi _{n}^{(4)}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6))$

Det kvadratiske pyramidetal udtrykker også det samlede antal kvadrater [51] i et kvadratnet . ${\displaystyle \Pi _{n}^{(4)))$ $n\ gange n$

Der er følgende forhold mellem kvadratiske og trekantede pyramidetal [52] :

{\displaystyle 4\Pi _{n}^{(4)}=\Pi _{2n}^{(3)))

Det blev bemærket ovenfor, at summen af successive trekanttal er et kvadrattal; på samme måde er summen af successive tetraedriske tal et kvadratisk pyramidetal [52] : . ${\displaystyle \Pi _{n}^{(4)}=\Pi _{n}^{(3)}+\Pi _{n-1}^{(3)))$

Polyedriske tal

Analogt med kvadrattal kan du indtaste "kubiske tal" samt tal, der svarer til andre regulære og uregelmæssige polyedre - for eksempel platoniske faste stoffer : $Q_{n}=n^{3},$

Centrerede muligheder er også tilvejebragt.

Kubiktal

Kubiske tal er produktet af tre identiske naturlige tal og har en generel form begyndelsesværdier: $Q_{n}$ $Q_{n}=n^{3}.$

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000. . . (sekvens A000578 i OEIS ).

Kubiktallet kan udtrykkes som forskellen mellem kvadraterne af successive trekanttal [53] :

{\displaystyle Q_{n}=(T_{n})^{2}-(T_{n-1})^{2))

, .

n\geqslant 2

Følge: summen af de første kubiktal er lig med kvadratet af det trekantede tal: $n$ $n$

{\displaystyle Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}+\dots +Q_{n}=(T_{n})^{2))

Forskellen mellem to tilstødende kubiktal er et centreret sekskantet tal. Følge: summen af de første centrerede sekskantede tal er et kubiktal [53] . $n$ $Q_{n}$

Udtryk af kubiktallet i form af tetraedrisk [53] :

Q_{n}=\Pi _{n}^{(3)}+4\Pi _{n-1}^{(3)}+\Pi _{n-2}^{(3) }

, hvor .

n > 2

En af " Pollocks formodninger " (1850): hvert naturligt tal kan repræsenteres som summen af højst ni kubiktal. Påvist i begyndelsen af det 20. århundrede. Normalt er syv terninger nok, men 15 tal kræver otte (15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454 , sekvens A018IS ) tal alle ni er nødvendige: 23 og 239. Hvis der udover addition er subtraktion tilladt, så er fem terninger tilstrækkeligt (muligvis endda fire, men det er endnu ikke bevist) [54] .

Den genererende funktion af kubiske tal har formen [53] :

{\displaystyle f(x)={\frac {x(x^{2}+4x+1)}{(x-1)^{4))))

; .

|x|<1

Oktaedriske tal Dodekaedriske tal Icosaedriske tal

Multidimensionelle generaliseringer

De ovenfor beskrevne tredimensionelle strukturer kan generaliseres til fire eller flere dimensioner. En analog af tetraedriske tal i det dimensionelle rum er " simplex tal", også kaldet hypertetraedriske [55] : $d$

S_{n}^{[d]}={\frac {(n-1+d)!}{(n-1)!\ d!)))

Deres særlige tilfælde er:

$S_{n}^{[2]}$ er trekantede tal .
$S_{n}^{[3]}$ er tetraedriske tal .
$S_{n}^{[4]}$ er pentatopnumre .

Andre varianter af flerdimensionelle tal er hyperkubiske :. Firedimensionelle hyperkubiske tal kaldes bi -kvadrat [55] . ${\displaystyle Q_{n}^{[d]}=n^{d))$ $(d=4)$

Tal fra mere end én sort

Nogle figurative tal kan tilhøre mere end én slags flade og/eller flerdimensionelle tal, eksempler på flade tal er allerede givet ovenfor . For multidimensionelle tal er dette en ret sjælden situation [56] .

Fem tal (og kun dem) er både trekantede og tetraedriske (sekvens A027568 i OEIS ). $1,10,120,1540,7140$
De fire tal er både trekantede og firkantede pyramideformede (sekvens A039596 i OEIS ). $1,55,91,208335$
Tre tal er både fladt kvadratisk og tetraedrisk (sekvens A003556 i OEIS ). $1,4,19600$
To tal er samtidigt kvadratiske flade og kvadratiske pyramideformede. Denne udtalelse blev kendt som " Luc 's hypotese " eller " kanonkugleproblemet " (1875). Den komplette løsning blev givet i 1918 af George Neville Watson [57] . $1.4900$

Intet naturligt tal, undtagen 1, kan samtidigt være [58] [56] :

trekantet og kubisk;
trekantet og tokvadrisk [59] ;
trekantet og femte potens af et heltal [58] ;
centreret sekskantet og kubisk.

I 1988 beviste F. Bakers og J. Top, at intet andet tal end 1 kan være både tetraedrisk og firkantet pyramideformet [60] . Det er også blevet bevist, at der ikke er nogen tal, der samtidigt [56] :

tetraedrisk og kubisk;
kvadratisk pyramideformet og kubisk;
tetraedrisk og biquadratisk;
firkantet pyramideformet og bi-kvadratisk.

Arkaiske typer af krøllede tal

I oldtiden, hvor aritmetik ikke var adskilt fra geometri, skelnede pythagoræerne (6. århundrede f.Kr.) adskillige flere typer figurative tal [61] .

Lineære tal er tal "kun målt ved en enhed", det vil sige i moderne terminologi primtal (Euklid bruger udtrykket " første tal ", andre græske πρώτοι αριθμοί ).
Flade (eller flade) tal er tal, der kan repræsenteres som et produkt af to faktorer større end én, det vil sige sammensatte .
- Et specialtilfælde er rektangulære tal (nogle gange kaldet " aflange " i kilderne ) , som er produktet af to på hinanden følgende heltal [62] , dvs. har formen $n(n+1),n\geqslant 0.$
Faste tal er tal, der kan repræsenteres som et produkt af tre faktorer større end én.

Euklids kommentator D. D. Mordukhai-Boltovskoy forklarer [63] :

Udtrykkene "plan" og "fast" tal er sandsynligvis et levn fra en tidligere periode af matematisk tænkning, hvor tal og geometrisk billede var endnu tættere forbundet, hvor produktet af antallet af objekter med et abstrakt tal blev tænkt som arrangement af disse objekter i rækker af objekter i hver, med udfyldning af rektanglets område. Det samme skal siges om produktet af tre tal, som ifølge euklidisk terminologi er et solidt tal. $-en$ $b$ $b$ $-en$

På nuværende tidspunkt klassificeres primtal ikke som figurative, og begreberne "fladt tal" og "fast tal" er faldet ud af brug [63] .

Rolle i talteori

Pascals trekant

Tal fra Pascals trekant viser en sammenhæng med mange varianter af krøllede tal.

På den tredje linje i Pascals trekant er trekantede tal, og på den fjerde - tetraedriske tal (se figur). Dette skyldes, at det -te tetraedriske tal er summen af de første trekantede tal, som er placeret på den tredje linje. Tilsvarende er firedimensionelle pentatoptal placeret på den femte linje osv. Alle er, ligesom andre tal inde i Pascals trekant, binomiale koefficienter . $n$ $n$

Således er alle de indre elementer i Pascals trekant figurative tal, og deres forskellige varianter er repræsenteret. Langs hver linje, fra venstre mod højre, er hypertetraedriske antal af stigende dimension. Det er kendt, at summen af alle tal i den th række er lig , derfor følger det, at summen af alle tal i de første rækker er lig med Mersenne-tallet . Derfor kan Mersenne-tallet repræsenteres som summen af hypertetraedriske tal [64] . $n$ $2^{n},$ $n$ $M_{n}.$

Andre anvendelser

Mange teoremer i talteori kan formuleres i form af krøllede tal. For eksempel siger den catalanske formodning , at blandt hyperkubiske antal af vilkårlige dimensioner er der kun ét par, der adskiller sig med 1: (bevist i 2002) [65] . $3^{2}=2^{3}+1$

Ethvert lige perfekt tal er trekantet [66] (og samtidig sekskantet, og tallet på det sekskantede tal er en potens af to). Et sådant tal kan ikke samtidig være et kvadrat-, kubik- eller andet hyperkubisk tal [67] .

Legendres formodning (1808, også kendt som Edmund Landaus tredje problem ): der er altid et primtal mellem på hinanden følgende kvadrattal . Stadig ikke bevist.

Summen af de første centrerede trekantede tal er den "magiske konstant" for det magiske kvadrat af dimension . Andre måder at få den samme konstant på er gennem et trekantet tal , eller ved at lægge alle naturlige tal fra til inklusive [68] . $n$ $(n>2)$ $n\ gange n$ ${\frac {T_{n^{2}}}{n}}$ ${\displaystyle T_{n-1))$ $T_{n}$

Et Mersenne-tal større end 1 kan ikke være kvadratisk, kubisk eller på anden måde hyperkubisk, men det kan være trekantet. Der er kun fire trekantede Mersenne-tal: , deres søgning svarer til at løse Ramanujan-Nagel-ligningen i naturlige tal : . Som det viser sig, eksisterer løsningen til denne ligning kun for (sekvens A060728 i OEIS ), og for , vil det tilsvarende Mersenne-tal så være trekantet [64] . $1,3,5,4095$ $2^{n}-7=x^{2}$ $n=3,4,5,7,15$ $n>3$ ${\displaystyle M_{n-3))$

Fermat-tallet kan heller ikke være kvadratisk, kubisk eller på anden måde hyperkubisk, men i det eneste tilfælde kan det være trekantet: . Fermat-tallet kan heller ikke være tetraedrisk og hypertetraedrisk af nogen dimension over 2 [64] . $F_{0}=3$

Blandt Fibonacci-tallene er der kun tre kvadrattal (0, 1 og 144) og fire trekantede (1, 3, 21, 55, OEIS -sekvens A039595 ). Hvis du drejer Pascals trekant som vist på figuren, så kan Fibonacci-tallene fås som summer langs de stigende diagonaler; dette faktum giver udvidelsen af Fibonacci-tallet i form af hypertetraedriske tal [69] .

Blandt Lucas- tallene er der to kvadrattal (1 og 4) og tre trekantede (1, 3, 5778) [69] .

Catalanske tal udtrykkes i form af hypertetraedriske tal som følger [70] : $Cat_{n}$

Cat_{n}=S_{n+1}^{[n]}-S_{n+2}^{[n-1]}

En anden klasse af tal, der er tæt forbundet med krøllede tal, er Stirling-tal af den anden slags . Denne klasse omfatter alle trekantede tal: , og udtrykket er lig med det 2. i orden -dimensionelle hyperkubiske tal . Endelig kan ethvert -dimensionelt hyperkubisk tal udvides på følgende måde [70] : $S(n,m)$ $T_{n}=S(n+1,n)$ $S(n,2)+1$ $n$ $Q_{2}^{[n]}$ $n$ $S(n,m)$

{\displaystyle Q_{n}^{[d]}=\sum _{m=0}^{d}{S(d,m)n(n-1)\dots (n-m+1)))

Noter

↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 9.
↑ Matematikkens historie. Fra oldtiden til begyndelsen af den nye tidsalder // Mathematics History / Redigeret af A.P. Yushkevich , i tre bind. - M. : Nauka, 1970. - T. I. - S. 68. - 352 s.
↑ Krøllede tal // Mathematical Encyclopedic Dictionary . - M . : Soviet Encyclopedia, 1988. - S. 607 . — 847 s.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , s. ti.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , s. 12-13.
↑ Ozhigova E.P. Hvad er talteori. - M . : Viden, 1970. - S. 56-57.
↑ Aritmetiske serier // Mathematical Encyclopedia (i 5 bind) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - V. 1. Arkivkopi dateret 13. november 2013 på Wayback Machine
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , s. femten.
↑ Bag siderne i en lærebog i matematik, 1996 , s. halvtreds.
↑ 1 2 3 4 5 Deza E., Deza M., 2016 , s. 217.
↑ Sameen Ahmed Khan. Summer af potenserne af gensidige af polygonale tal (formel 23)
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. fjorten.
↑ Diophantus af Alexandria . Aritmetik og bogen med polygonale tal / Pr. I. N. Veselovsky; Ed. og kommentere. I. G. Bashmakova. - M. : Nauka, 1974. - S. 48. - 328 s. Arkiveret 24. april 2007 på Wayback Machine
↑ 1 2 Matvievskaya G.P. Læren om tal i det middelalderlige nære og mellemøsten. - Tasjkent: FAN, 1967. - S. 22-23. — 344 s. Trods titlen sporer bogen talbegrebets historie siden de ældste tider.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , s. 237.
↑ Vilenkin N. Ya. Populær kombinatorik . - M . : Nauka, 1975. - S. 10-11. — 208 s. Arkiveret 5. juni 2016 på Wayback Machine
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. ti.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 19-24.
↑ Dickson, 2005 , s. 27.
↑ Weisstein, Eric W. Telescoping Sum på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ Dickson, 2005 , s. 3.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 225.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 19.
↑ 12 Dickson , 2005 , s. 2.
↑ Nogle endelige talrækker . Math24.ru . Hentet 14. juni 2019. Arkiveret fra originalen 14. juni 2019. (Russisk)
↑ Kokhas K. P. Summen af inverse kvadrater // Matematisk uddannelse. - 2004. - Udgave. 8 . - S. 142-163 .
↑ Weinstein F.V. Opdeling af numre. : [ bue. 9. august 2019 ] // Kvant magazine. - 1988. - Nr. 11.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 22.
↑ 1 2 3 Deza E., Deza M., 2016 , s. 37-38.
↑ Faktisk, lad (alle tal er heltal) være et heltal , og , er coprime. Multiplicerer vi begge sider med , får vi:. Til højre er et heltal, derfor deler det , og deler ifølge det generaliserede Euklids lemma . ${\frac {a}{n_{1}}}+{\frac {b}{n_{2}}}$ $K$ $n_{1}$ $n_{2}$ $n_{1}$ ${\frac {bn_{1}}{n_{2}}}=Kn_{1}-a$ $n_{2}$ $bn_{1}$ $n_{2}$ $b$
↑ 1 2 3 Deza E., Deza M., 2016 , s. 38-39.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 17-19.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 33.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , s. 34-37.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 25-34.
↑ Lawrence Downey, Boon W. Ong . Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers Arkiveret 29. december 2019 på Wayback Machine
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 39-40.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , s. 40-41.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 42.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 43.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 44-46.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 45-46.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 46.
↑ Dickson, 2005 , s. 23.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 48.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 70-71.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , s. 76.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 74-75.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 239.
↑ Frederick Pollock. Om udvidelsen af princippet i Fermats sætning om de polygonale tal ultimative til den højere rækkefølge af rækker, hvis forskelle er konstante. Med et nyt sætning foreslået, gældende for alle ordrer // Abstracts of the Papers Communicated to the Royal Society of London: journal. - 1850. - Bd. 5 . - S. 922-924 . — .
↑ Robitaille, David F. Matematik og skak // The Arithmetic Teacher. - 1974. - Bd. 21, nr. 5 (maj). - S. 396-400. — .
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , s. 75.
↑ 1 2 3 4 Deza E., Deza M., 2016 , s. 78-81.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 231-232.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , s. 126-134.
↑ 1 2 3 Deza E., Deza M., 2016 , s. 77-78.
↑ Watson GN Problemet med den firkantede pyramide // Messenger. Matematik. 1918 Bd. 48. S. 1-16.
↑ 1 2 Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers . Hentet: 9. marts 2021.
↑ Dickson, 2005 , s. otte.
↑ Beukers F., Top J. Om appelsiner og integrerede punkter på visse plane kubiske kurver // Nieuw Archief voor Wiskunde (4). - 1988. - Bd. 6, nr. 3. - S. 203-210.
↑ Gaidenko P. P. Udviklingen af videnskabsbegrebet (dannelsen og udviklingen af de første videnskabelige programmer) Arkiveksemplar af 19. august 2014 på Wayback Machine , kapitel 1. M .: Nauka, 1980.
↑ Ben-Menahem, Ari. Historical Encyclopedia of Natural and Mathematical Sciences, bind 1 : [ arch. 11. november 2021 ]. - Springer-Verlag, 2009. - S. 161. - (Springer reference). — ISBN 9783540688310 .
↑ 1 2 Euklids begyndelse / Oversættelse fra græsk og kommentarer af D. D. Mordukhai-Boltovsky med redaktionel deltagelse af M. Ya. Vygodsky og I. N. Veselovsky. - M. - L. : GTTI, 1948. - T. 2. - S. 10, 268-270. - (Klassikere af naturvidenskab).
↑ 1 2 3 Deza E., Deza M., 2016 , s. 203-205.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 196-197.
↑ Bag siderne i en lærebog i matematik, 1996 , s. 51.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 200-201.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 222-223.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , s. 208.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , s. 214-215.

Litteratur

Vilenkin N. Ya., Shibasov L. P. Shibasova 3. F. Bag siderne i en matematik lærebog: Aritmetik. Algebra. Geometri . - M . : Uddannelse, 1996. - S. 48 -52. - 320 sek. — ISBN 5-09-006575-6 .
Glazer G.I. Matematikkens historie i skolen (4-6 klassetrin). - M . : Uddannelse, 1964. - S. 84-86. — 376 s.
Deza E. Naturseriens særlige numre: Lærebog .. - M . : Boghuset "LIBROKOM", 2011. - 240 s. - ISBN 978-5-397-01750-3 .
Deza E., Deza M. Krøllede tal. - M. : MTSNMO, 2016. - 349 s. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .
Depman I. Ya. Aritmetikkens historie. En guide til lærere . - Ed. sekund. - M . : Uddannelse, 1965. - S. 150-155.
Matvievskaya G.P. Noter om polygonale tal i Eulers notesbøger // Historisk og matematisk forskning . - M . : Nauka , 1983. - Nr. 27 . - S. 27-49 .
Serpinsky V. Pythagoras trekanter. - M . : Uchpedgiz, 1959. - 111 s.
Stillwell D. Kapitel 3. Græsk talteori // Matematik og dens historie. - Moskva-Izhevsk: Institut for Computerforskning, 2004.
Dickson LE Polygonal. pyramide- og figurtal //Talteoriens historie . - New York: Dover, 2005. - Vol. 2: Diophantinanalyse. - S. 22-23.

Links

Krøllede tal . OSNOVA Publishing Group. Dato for adgang: 10. februar 2021. (Russisk)
Weisstein, Eric W. Figurate Number (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
- Weisstein, Eric W. Centered Polygonal Numbe (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .

Ordbøger og encyklopædier	Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	GND : 7532594-9

krøllede tal

flad

Klassisk polygonal	trekantet Firkant Femkantet Sekskantet Heptagonal Ottekantet Dodecagonal
Centreret	trekantet Firkant Femkantet Sekskantet Heptagonal Ottekantet Ni-vinklet Dekagonal

Pyramideformet	tetraedrisk Firkantet pyramideformet
mangefacetteret	kubik Oktaedral Dodekaedral icosahedral Stellet oktaedral

mangefacetteret	Pentatopisk Bisquare

Sekvenser og rækker
Sekvenser	Numerisk rækkefølge Grundlæggende rækkefølge Lineær tilbagevendende sekvens Fibonacci-tal krøllede tal Faktoriel Barker-sekvens de bruijn rækkefølge
Rækker, grundlæggende	Rækkesum Resten af rækken Betinget konvergens Skiftende serie Række multisektion
Talserier ( operationer med talserier )	harmoniske serier Leibniz-serien En række omvendte firkanter En række gensidige primtal Dirichlet række Mercator serien Række Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funktionelle rækker	Taylor-serien Laurent-serien Fourier-serien Trigonometrisk Fourier-serie trigonometriske serier Wiener-serien
Andre rækketyper	Neumann-serien Puiseux række