Skiftende serier af naturlige tal

En fortegnsvekslende række af naturlige tal er en fortegnsvekslende række , hvis led modulo er på hinanden følgende naturlige tal og har et vekslende fortegn: 1 - 2 + 3 - 4 + .... Delsummen med nummer m af denne serie er beskrevet ved udtrykket:

\sum _{{n=1}}^{m}n(-1)^{{n-1}}

En sådan talrække divergerer , det vil sige, at rækkens delsummer ikke har en tendens til nogen endelig grænse . Men i midten af det 18. århundrede foreslog Leonhard Euler et udtryk, som han beskrev som " paradoksalt ":

1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}.

Det matematiske apparat til fortolkning af dette udtryk blev udviklet meget senere. Begyndende i 1890 formulerede Cesaro , Borel og andre matematikere strengt metoder til at opnå generaliserede summer af divergerende serier og supplerede også Eulers ideer med nye fortolkninger. Mange af disse metoder for summen af en serie giver et resultat lig med 1⁄4 . Cesaro summation er en af de få metoder, der ikke tillader dig at bestemme summen 1 − 2 + 3 − 4 + .. . For at opnå den endelige sum ved den generaliserede summeringsmetode for denne serie kræves en anden tilgang, for eksempel ved at bruge Abel-summeringsmetoden .

Den vekslende naturlige serie er tæt beslægtet med Grandi-serien ( 1 − 1 + 1 − 1 + … ). Euler behandlede disse serier som to specielle tilfælde af serierne 1 − 2 n + 3 n − 4 n + … , som han studerede for vilkårlig n , mens han arbejdede på Basel-problemet , og opnåede funktionelle ligninger for de funktioner, der nu er kendt som Dirichlet eta . funktion og zeta-Riemann funktion .

Divergens

Betingelserne for sekvensen (1, −2, 3, −4, ...) har ikke tendens til nul , derfor divergerer rækken ifølge den nødvendige konvergensbetingelser [1] :8 :

1 = 1 1 − 2 = −1 , 1 − 2 + 3 = 2 , 1 − 2 + 3 − 4 = −2 , 1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3 , 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 = -3 , …

\sum _{n=1}^{m}(-1)^{n-1}n\;\;={\frac {(-1)^{m-1}(2m+1) +1}{4}}

Denne sekvens er bemærkelsesværdig ved, at hvert heltal er til stede i den - endda nul, givet den tomme delsum - og derfor kan værdisættet for medlemmerne af denne sekvens tælles [2] :23 . Denne sekvens af delsummer viser, at rækken ikke konvergerer til noget bestemt tal (for enhver x kan man finde et led, hvorefter alle efterfølgende delsummer vil ligge uden for intervallet ), og derfor divergerer den vekslende naturlige række. $[x-1,x+1]$

Heuristik til summering

Stabilitet og linearitet

Da termerne 1, -2, 3, -4, 5, -6, ... adlyder et simpelt mønster, kan den alternerende naturlige række transformeres ved forskydning og termisk addition for at tildele den en vis numerisk værdi. Hvis udtrykket s = 1 − 2 + 3 − 4 + … for nogle almindelige tal s giver mening, så giver den følgende formelle transformation os mulighed for at hævde, at dets værdi i en vis forstand er lig med s = 1 ⁄ 4 : [1] : 6 .

{\begin{array}{rclllll}4s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3 -4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )\\&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+1+(-2+3 -4+5+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}-1+(3-4+5-6\cdots )\\&=&1+[ &(1-2-2+3)&{}+(-2+3+3-4)&{}+(3-4-4+5)&{}+(-4+5+5-6 )+\cdots ]\\&=&1+[&0+0+0+0+\cdots ]\\4s&=&1\end{array}}

Derfor . Til højre er denne konklusion illustreret grafisk. $s={\frac {1}{4))$

Selvom den alternerende naturlige række divergerer og ikke har nogen sum i sædvanlig forstand, giver udtrykket s = 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1 ⁄ 4 et naturligt svar, hvis en sådan sum kan bestemmes. Den generaliserede definition af "summen" af en divergerende serie kaldes summeringsmetoden , som giver dig mulighed for at finde summer for en delmængde af alle sekvenser. Der er mange generaliserede seriesummationsmetoder (hvoraf nogle er beskrevet nedenfor ), som har nogle af egenskaberne ved konventionel seriesummation. Ovenfor blev følgende bevist: hvis du anvender en hvilken som helst metode til generaliseret summering, som er lineær og stabil , som giver dig mulighed for at få summen af rækken 1 − 2 + 3 − 4 + … , så vil denne sum være 1 ⁄ 4 . Desuden fordi:

{\begin{array}{rcllll}2s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&+&(1-2+3-4+\cdots )\\&=&1+&(-2+ 3-4+\cdots )&{}+1-2&+(3-4+5\cdots )\\&=&0+&(-2+3)+(3-4)+(-4+5) +\cdots \\2s&=&&1-1+1-1\cdots \end{array}}

denne metode vil også give summen for Grandi-serien , som vil være lig med 1 − 1 + 1 − 1 + … = 1 ⁄ 2 .

Cauchys produkt

I 1891 udtrykte Ernesto Cesaro håbet om, at analysen af divergerende serier ville resultere i en selvberegning , idet han påpegede: "Skriv allerede

{(1-1+1-1+\dots )}^{2}=1-2+3-4+\ldots

og hævder, at begge sider er lige ." [3] :130 . For Cesaro var dette udtryk en anvendelse af en sætning, han havde offentliggjort et år tidligere, og som kan betragtes som den første sætning i historien om opsummerbare divergerende serier. Detaljerne for denne summeringsmetode er angivet nedenfor ; hovedideen er, hvad Cauchy -produktet er på . $1/4$ $1-2+3-4+\ldots$ $1-1+1-1+\ldots$ $1-1+1-1+\ldots$

Cauchy-produktet for to uendelige sekvenser er defineret, selvom de begge divergerer. I tilfælde af hvornår

\sum {a_{n}}=\sum {b_{n}}=\sum {{(-1)}^{n}},

udtryk for Cauchy-produktet er opnået fra den endelige diagonale sum:

{\begin{array}{rcl}c_{n}&=&\displaystyle \sum _{{k=0}}^{n}a_{k}b_{{nk}}=\sum _{{k= 0}}^{n}(-1)^{k}(-1)^{{nk}}\\[1em]&=&\displaystyle \sum _{{k=0}}^{n}( -1)^{n}=(-1)^{n}(n+1).\end{array}}

Og så den resulterende sekvens: $\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(n+1)=1-2+3-4+\ldots .$

Derfor summeringsmetoden, der bevarer Cauchy-produktet og giver summen

1-1+1-1+\ldots ={\frac {1}{2)),

vil også give summen

1-2+3-4+\ldots ={\frac {1}{4)).

Ved at bruge resultaterne opnået i det foregående afsnit indebærer dette ækvivalensen af summerbarhed ved brug af summeringsmetoder, der er lineære, stabile og bevarer Cauchy-produktet. $1-1+1-1+\ldots$ $1-2+3-4+\ldots$

Cesaros sætning er blot et eksempel. Række

1-1+1-1+\ldots

er Cesaro summable i svag forstand, og kaldes -summable , mens $(C,\;1)$

1-2+3-4+\ldots

kræver en stærkere form af Cesaros sætning [1] :3 [4] :52-55 og kaldes -summable. Da alle former for Cesaro-summeringsmetoden er lineære og stabile, er værdierne af summerne som beregnet ovenfor. $(C,2)$

Private metoder

Cesaros og Hölders metode

For at finde Cesaro-summen (C, 1) for 1 − 2 + 3 − 4 + …, hvis den findes, skal man beregne det aritmetiske middelværdi af seriens partielle summer. Delbeløbene er:

1, -1, 2, -2, 3, -3, ...,

og deres aritmetiske middelværdi er:

1, 0, 2 ⁄ 3 , 0, 3 ⁄ 5 , 0, 4 ⁄ 7 , ….

Sekvensen konvergerer ikke, så 1 − 2 + 3 − 4 + … er ikke Cesaro summerbar.

Der er to velkendte generaliseringer af Cesaro summation: den begrebsmæssigt simplere er rækkefølgen af metoder (H, n ) for de naturlige tal n , hvor summen (H, 1) er Cesaro summationen, og de højere metoder opnås ved gentagne gange at anvende Cesaro-summeringsmetoden. . I eksemplet ovenfor konvergerer de lige middelværdier til 1 ⁄ 2 , mens de ulige er nul, så det aritmetiske middelværdi af de aritmetiske middelværdier konvergerer til middelværdien mellem nul og 1 ⁄ 2 , hvilket er 1 ⁄ 4 [1] :9 [ 4] :17 -18 Så 1 − 2 + 3 − 4 + … er (H, 2), hvilket giver summen 1 ⁄ 4 .

"H" er en forkortelse for navnet på Otto Hölder , som i 1882 var den første til at bevise, hvad matematikere nu betragter som sammenhængen mellem summering efter Abel-metoden og summering (H, n ); serien 1 − 2 + 3 − 4 + ... blev brugt af ham som det første eksempel. [3] :118 [5] :10 Det faktum, at 1 ⁄ 4 er summen (H, 2) af sekvensen 1 − 2 + 3 − 4 + … sikrer, at det også er en abelsk sum; dette vil blive direkte bevist nedenfor.

En anden ofte nævnt generalisering af Cesaro-summation er rækkefølgen af metoder (C, n ). Det er blevet bevist, at summering (C, n ) og (H, n ) giver de samme resultater, men har forskellige historier. I 1887 var Cesaro tæt på at definere summeringen (C, n ), men begrænsede sig til at give nogle få eksempler. Især opnåede han summen 1 ⁄ 4 for 1 − 2 + 3 − 4 + … ved en metode, der kunne omformuleres som (C, n ), men blev ikke opfattet som sådan på det tidspunkt. Han definerede formelt (C, n)-metoderne i 1890 for at formulere sin sætning om, at produktet af en (C, n )-summerbar og en (C, m )-summerbar række er (C, m + n + 1)- sammenfattende . [3] :123-128

Abel summation

I en rapport fra 1749 indrømmede Euler , at serien divergerer, men planlagde alligevel at finde sin sum:

…når det blev sagt, at summen af rækken 1−2+3−4+5−6 osv. er 1 ⁄ 4 , må det have virket paradoksalt. Tilføjes 100 led af denne række, får vi -50, men summen af 101 led giver +51, hvilket er meget forskelligt fra 1 ⁄ 4 og adskiller sig endnu mere, når antallet af led stiger. Men jeg har allerede bemærket før, at det er nødvendigt at give ordet sum en bredere betydning .... [6] :2

Euler foreslog en generalisering af begrebet "summen af en serie" flere gange. I tilfældet for 1 − 2 + 3 − 4 + …, ligner hans ideer det, der nu kaldes Abels summeringsmetode:

... der er ikke længere nogen tvivl om, at summen af rækken 1−2+3−4+5 + osv. er 1 ⁄ 4 ; da dette følger af offentliggørelsen af formlen 1 ⁄ (1+1) 2 , hvis værdi utvivlsomt er 1 ⁄ 4 . Ideen bliver tydeligere, når man betragter den generaliserede serie 1 − 2 x + 3 x ² − 4 x ³ + 5 x 4 − 6 x 5 + &c. opstået fra udvidelsen af udtrykket 1 ⁄ (1+ x ) 2 , som denne serie vil være ækvivalent til, efter at vi har tildelt x = 1. [6] :3, 25

Der er mange måder at se hvad i det mindste for absolutte værdier | x | < 1, det har Euler ret

1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots ={\frac {1}{(1+x)^{2}}}.

Du kan åbne højre side ifølge Taylor , eller anvende den formelle proces med at dividere polynomier med en kolonne [7] :23 . Startende fra venstre side kan man bruge den generelle heuristik ovenfor og gange (1+ x ) med sig selv [8] , eller kvadrere rækken 1 − x + x 2 − …. Euler foreslog tilsyneladende også term-for-term differentiering af denne serie [6] :3, 26 .

Fra et moderne synspunkt definerer sekvensen 1 − 2 x + 3 x ² − 4 x ³ + … ikke en funktion i punktet x = 1, så denne værdi kan ikke blot erstattes i det resulterende udtryk. Fordi funktionen er defineret for alle | x | < 1, kan man beregne grænsen som x har tendens til én, og dette vil være definitionen af en abelsk sum:

\lim _{{x\rightarrow 1-0}}\sum _{{n=1}}^{\infty }n(-x)^{{n-1}}=\lim _{{x\rightarrow 1-0}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac 14}.

Euler og Borel

Euler tog en anden tilgang til sekvenser: Euler-transformationen , en af hans opfindelser. For at beregne Euler-transformationen starter man med en sekvens af positive led - i dette tilfælde 1, 2, 3, 4, .... Det første medlem af denne sekvens er betegnet som 0 .

Dernæst skal du få en række af endelige forskelle mellem 1, 2, 3, 4, ... ; det er bare 1, 1, 1, 1, …. Det første element i denne nye sekvens er betegnet Δ a 0 . Euler-transformationen afhænger også af forskellen mellem forskelle og højere iterationer, men alle forskelle mellem 1, 1, 1, 1, ... er 0. I et sådant tilfælde er Euler-transformationen for 1 − 2 + 3 − 4 +. .. er defineret som følger:

{\frac 12}a_{0}-{\frac 14}\Delta a_{0}+{\frac 18}\Delta ^{2}a_{0}-\cdots ={\frac 12}-{\frac fjorten}.

I moderne terminologi kaldes 1 − 2 + 3 − 4 + … Euler summable, med summen lig med 1 ⁄ 4 .

Euler summerbarhed indebærer også en anden form for summerbarhed. Repræsenterer 1 − 2 + 3 − 4 + … som

\sum _{{k=0}}^{\infty}a_{k}=\sum _{{k=0}}^{\infty}(-1)^{k}(k+1),

en serie konvergerende i hvert punkt opnås:

a(x)=\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(k+1)x^{k}}{k!)}}= e ^{{-x}}(1-x).

Borelsummen af serien 1 − 2 + 3 − 4 + … er således [4] :59 :

\int _{0}^{\infty }e^{{-x}}a(x)\,dx=\int _{0}^{\infty}e^{{-2x}}(1-x )\,dx={\frac 12}-{\frac 14}.

Adskillelse af skalaer

Saichev og Voichynsky kom til værdien 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1 ⁄ 4 ved at anvende to fysiske principper: afvisningen af infinitesimals og opdelingen af skalaer . Mere præcist hjalp disse principper dem med at formulere en bred familie af " φ -summationsmetoder", som alle summer op til 1 ⁄ 4 :

Hvis φ ( x ) er en funktion, hvis første og anden afledede er kontinuerligt integrerbare på (0, ∞), således at φ(0) = 1 og grænserne φ( x ) og x φ( x ), da de har tendens til +∞ er begge nul, så [9] :260-264 :

\lim _{{\delta \rightarrow 0}}\sum _{{m=0}}^{\infty }(-1)^{m}(m+1)\varphi (\delta m)={\ frac 14}.

Dette resultat er en generalisering af den abelske summering, som opnås ved at erstatte φ ( x ) = exp(− x ). Det generelle udsagn kan bevises ved at gruppere efter par af termer i m -rækken og omdanne udtrykket til et Riemann-integral . For det sidste trin gælder det tilsvarende bevis for 1 − 1 + 1 − 1 + … Lagranges middelværdisætning , men kræver en stærkere Lagrange-form af Taylors sætning .

Generaliseringer af serien

Det tredobbelte Cauchy-produkt for serien 1 − 1 + 1 − 1 + … giver serien 1 − 3 + 6 − 10 + …, er en vekslende række af trekantede tal , dens Abelske og Euler-sum er 1 ⁄ 8 . [10] :313 Cauchy-firedoblet produkt af serien 1 − 1 + 1 − 1 + … giver serien 1 − 4 + 10 − 20 + …, en vekslende række af tetraedriske tal, hvis Abeliske sum er 1 ⁄ 16 .

En anden generalisering af rækken 1 − 2 + 3 − 4 + … er mulig i en lidt anden retning: det er familien af serier 1 − 2 n + 3 n − 4 n + … for andre værdier af n . For positiv n har en sådan serie følgende abelske sum:

1-2^{{n}}+3^{{n}}-\cdots ={\frac {2^{{n+1}}-1}{n+1}}B_{{n+1} }

hvor B n er Bernoulli tal . For selv n reduceres dette til

1-2^{{2k}}+3^{{2k}}-\cdots =0.

Sidstnævnte beløb blev genstand for latterliggørelse af Niels Abel i 1826:

"Divergerende rækker er helt og holdent djævelens værk, og en skam over enhver, der forsøger at finde beviser for dem. Man kan få, hvad man vil ud af dem, og det er dem, der har skabt så meget sorg og paradokser. Kan noget være mere forfærdeligt end at sige det

0 = 1 − 2n + 3n − 4n + osv.

hvor n er et positivt tal. Der er noget at grine af her, venner. [11] :80

Cesaros lærer, Eugène Catalan , var også afvisende over for divergerende serier. Under indflydelse af catalansk karakteriserede Cesaro oprindeligt de "betingede formler" for rækken 1 − 2 n + 3 n − 4 n + ... som "absurde udtryk", og i 1883 udtrykte Cesaro den almindeligt accepterede opfattelse, at disse formler er fejlagtig, men kan på en eller anden måde være formelt nyttig. Endelig, i sit værk fra 1890, Sur la multiplication des séries , nåede Cesaro frem til en moderne tilgang, begyndende med definitioner [3] :120-128 .

Serier blev også undersøgt for ikke-heltalsværdier af n ; de giver Dirichlet eta-funktionen . En del af Eulers motivation for at studere serierne forbundet med serierne 1 − 2 + 3 − 4 + … var den funktionelle ligning for eta-funktionen, som fører direkte til den funktionelle ligning for Riemann zeta-funktionen. Euler var allerede berømt for at finde værdierne af disse funktioner for positive lige heltal (herunder løsning af Basel-problemet ), og forsøgte også at finde værdier for positive ulige heltal (inklusive Apérys konstant ) - et problem, der ikke har været løst den dag i dag. Det er noget lettere at arbejde med Euler-metoder med denne funktion, fordi dens Dirichlet-serier er Abel-opsummerbare overalt; Dirichlet-rækker af zeta-funktionen er meget sværere at opsummere, hvor de divergerer [6] :20-25 . For eksempel svarer 1 − 2 + 3 − 4 + … i zeta-funktionen til serien med faste fortegn 1 + 2 + 3 + 4 + … , som bruges i moderne fysik , men kræver meget stærkere summeringsmetoder.

Noter

↑ 1 2 3 4 Hardy, GH Divergent Series . - Oxford University Press , 1949. :
↑ Beals, Richard. Analyse: en introduktion (neopr.) . - Cambridge University Press , 2004. - ISBN 0-521-60047-2 .
↑ 1 2 3 4 Ferraro, Giovanni. The First Modern Definition of the Sum of a Divergent Series: An Aspect of the Rise of the 20th Century Mathematics (engelsk) // Archive for History of Exact Sciences : journal. - 1999. - Juni ( bind 54 , nr. 2 ). - S. 101-135 . - doi : 10.1007/s004070050036 .
↑ 1 2 3 Weidlich, John E. Summability-metoder for divergerende serier (ubestemt) . - Stanford MS-afhandlinger, 1950.
↑ Tucciarone, John. Udviklingen af teorien om opsummerbare divergerende serier fra 1880 til 1925 (engelsk) // Archive for History of Exact Sciences : journal. - 1973. - Januar ( bind 10 , nr. 1-2 ). - S. 1-40 . - doi : 10.1007/BF00343405 .
↑ 1 2 3 4 Euler, Leonhard; Lucas Willis; og Thomas J Osler. Oversættelse med noter af Eulers papir: Bemærkninger om et smukt forhold mellem direkte såvel som gensidige magtserier . Euler-arkivet (2006). Hentet 22. marts 2007. Arkiveret fra originalen 10. juli 2012. (ubestemt) ; Værket blev skrevet i 1749, men blev oprindeligt først udgivet i 1968: Euler, Leonhard. Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques (fransk) // Memoires de l'academie des sciences de Berlin: magazine. - 1768. - Bd. 17 . - S. 83-106 .
↑ Lavine, Shaughan. Forståelse af det uendelige (neopr.) . - Harvard University Press , 1994. - ISBN 0-674-92096-1 .
↑ Vretblad, Anders. Fourier-analyse og dens anvendelser (neopr.) . - Springer, 2003. - ISBN 0-387-00836-5 .
↑ Saichev, A.I. og W. A. Woyczyński. Fordelinger i de fysiske og ingeniørvidenskabelige videnskaber, bind 1 . - Birkhaüser, 1996. - ISBN 0-8176-3924-1 .
↑ Kline, Morris Euler and Infinite Series (engelsk) // Mathematics Magazine : magazine. - 1983. - November ( bind 56 , nr. 5 ). - S. 307-314 . - doi : 10.2307/2690371 .
↑ Grattan-Guinness, Ivor Udviklingen af grundlaget for matematisk analyse fra Euler til Riemann . - MIT Press , 1970. - ISBN 0-262-07034-0 .

Sekvenser og rækker
Sekvenser	Numerisk rækkefølge Grundlæggende rækkefølge Lineær tilbagevendende sekvens Fibonacci-tal krøllede tal Faktoriel Barker-sekvens de bruijn rækkefølge
Rækker, grundlæggende	Rækkesum Resten af rækken Betinget konvergens Skiftende serie Række multisektion
Talserier ( operationer med talserier )	harmoniske serier Leibniz-serien En række omvendte firkanter En række gensidige primtal Dirichlet række Mercator serien Række Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funktionelle rækker	Taylor-serien Laurent-serien Fourier-serien Trigonometrisk Fourier-serie trigonometriske serier Wiener-serien
Andre rækketyper	Neumann-serien Puiseux række