Laurent-serien

Laurent-rækken af en kompleks funktion er en repræsentation af denne funktion som en potensrække, hvori der er udtryk med negative potenser. Opkaldt efter den franske matematiker P. A. Laurent .

Definition

Laurent-serien ved endepunktet er en funktionel række i heltalmagter over feltet af komplekse tal : $z_{0}\in \mathbb {C}$ $(z-z_{0})$

\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n},\quad

hvor er en variabel og koefficienter for .

{\displaystyle z\in {\mathbb {C} }\setminus \{z_{0}\))

c_{n}\in \mathbb {C}

n\in \mathbb {Z}

Denne serie er summen af to potensrækker:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n))$ er delen i ikke-negative magter , $(z-z_{0})$
$\sum _{n=-\infty }^{-1}{c_{n}}{(z-z_{0})^{n}}$ er en del af negative beføjelser af . $(z-z_{0})$

Laurent-serien konvergerer , hvis og kun hvis begge (både i negativ og positiv potens) af dens dele konvergerer.

Hvis er regionen for konvergens af Laurent-serien sådan, at , så for $A_{z_{0}}\subseteq ({\mathbb {C} }\setminus \{z_{0}\})$ ${\displaystyle z_{0}\in \partial {A_{z_{0))))$ $A_{z_{0))$

rækken kaldes den højre del ,

{\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n))

rækken kaldes hoveddelen .

\sum _{n=-\infty }^{-1}{c_{n}}{(z-z_{0})^{n}}

Laurent-serien ved uendelighed er en funktionel række i heltalspotenser over feltet af komplekse tal: $z_{0}=\infty \in {\overline {\mathbb {C} }}$ $z$

\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}z^{n},\quad

hvor er en variabel og koefficienter for .

z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}

c_{n}\in \mathbb {C}

n\in \mathbb {Z}

Udseendemæssigt falder serien for sammen med serien for , dog er den fra et formelt synspunkt opnået ved at erstatte for . $z_{0}=\infty$ $z_{0}=0$ $z\leftrightarrow {\frac {1}{\zeta }}$ $\zeta _{0}=0$

Hvis er regionen for konvergens af Laurent-serien sådan, at , så for $A_{\infty }\subseteq ({\mathbb {C} }\setminus \{0\})$ $\infty \in \partial {A_{\infty }}$ ${\displaystyle A_{\infty ))$

rækken kaldes den højre del ,

\sum _{n=-\infty }^{0}c_{n}z^{n}

rækken kaldes hoveddelen .

\sum _{n=+1}^{+\infty }{c_{n}}{z^{n}}

Egenskaber

Delen konvergerer i positive potenser i det indre af en cirkel med radius , $(z-z_{0})$ ${\displaystyle D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\))$ $R={\dfrac {1}{{\varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }}\,|c_{n}|^{1/n}}}\i [0;+\ infty ]$

delen i negative potenser konvergerer i det ydre af en cirkel med radius .

(z-z_{0})

\Delta _{r}={\overline {\mathbb {C} }}\setminus {\overline {D}}_{r}=\{z\in {\overline {\mathbb {C} } }:|z-z_{0}|>r\}

{\displaystyle D_{r))

r={\varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }}\,|c_{-n}|^{1/n}\in [0;+\infty ]

Derfor, hvis , så er det indre af konvergensområdet i Laurent-serien ikke-tom og er en cirkulær ring

r<R\,

EN

A=\{z\in \mathbb {C} \mid 0\leq r<|z-z_{0}|<R\leq +\infty \}=\Delta _{r}\cap D_{ R}

Laurent-seriens adfærd ved punkterne af grænsecirklen afhænger kun af en vilkårlig , ${\displaystyle C_{R}(z_{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|=R\))$ $\sum _{n=n_{s}}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}$ $n_{s}\in \mathbb {N}$

og på punkter af grænsecirklen - kun fra for vilkårlig .

{\displaystyle C_{r}(z_{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|=r\))

\sum _{n=-\infty }^{-n_{s}}{c_{n}}{(z-z_{0})^{n}}

n_{s}\in \mathbb {N}

Således, hvad angår power-serier , kan Laurent-seriens adfærd ved ringens grænsepunkter varieres.

EN

Laurent-serien konvergerer absolut på alle punkter af ringen . $EN$
På enhver kompakt delmængde konvergerer serien ensartet . $K\subset A$
For hvert punkt er der en værdi sådan , at Laurent-serien kan skrives som en række konvergerende i potenser af : $\zeta _{0}\in A$ $\rho (\zeta _{0})=\min\{{\textrm {dist}}(C_{r}(z_{0}),\zeta _{0}),{\textrm {dist }}(C_{R}(z_{0}),\zeta _{0})\}>0$ $D_{\rho }(\zeta _{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-\zeta _{0}|<\rho (\zeta _{0})\ }\delsæt A$ $f(z)$ $D_{\rho }(\zeta _{0})$ $(z-\zeta _{0})$

\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}=\sum _{k=0}^{+\infty } t_{k}(\zeta _{0})(z-\zeta _{0})^{k},\quad

hvor og for _

z\in D_{\rho }(\zeta _{0})

t_{k}(\zeta _{0})={\frac {f^{(k)}(\zeta _{0})}{k!)}}

k\in \{0\}\cup \mathbb {N}

de der. er for det rigtige punkt . Således er summen af Laurents serier en analytisk funktion .

{\displaystyle \zeta _{0))

f(z)

EN

f(z)

For på konvergensringens grænsecirkler er der ikke-tomme sæt af punkter, der ikke er regulære for. $0<r<R<+\infty$ $EN$ $I_{r}\subseteq C_{r}(z_{0})$ $I_{R}\subseteq C_{R}(z_{0})$ $f(z)$
Laurent-serien kan differentieres på en hvilken som helst kompakt term-for- term. $K\subset A$
Integrationen af Laurent-serien giver kun en funktion med en enkelt værdi for , da for enhver værdi $EN$ $c_{-1}=0$ $\rho >0$ $\int \limits _{\;\,|z-z_{0}|=\rho }c_{n}(z-z_{0})^{n}\cdot dz=\left\{{ \begin{array}{ll}c_{-1}\cdot 2\pi i\,,&n=-1\,;\\0\,,&n\neq -1\,.\end{array}}\ ret.$

Serien, der repræsenterer funktionen i et dobbeltforbundet domæne for enhver kompakt og enhver retificerbar orienteret kurve, kan integreres led for led, mens resultatet af integration kun afhænger af de indledende og afsluttende punkter og ikke afhænger af kurvens form .

\sum _{n=-\infty ,n\neq -1}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}\,

EN

f(z)-{\frac {c_{-1}}{z-z_{0}}}\,

K\subset A

\gamma \subset K

\gamma

\gamma

\gamma

Koefficienterne for Laurent-serien tilfredsstiller relationerne $(c_{n})_{n\in \mathbb {Z} }$ $f(z)$

c_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\gamma }{\frac {f(z)\,dz}{(z-z_{0} )^{n+1))}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|z-z_{0}|=\rho }{\frac {f(z)\ ,dz}{(z-z_{0})^{n+1}}}

, hvor er en retificerbar kurve, der ligger i en kompakt og går rundt om punktet mod uret én gang . Især kan man tage som enhver cirkel med radius centreret ved , placeret inde i konvergensringen og orienteret positivt (parameteren skal stige).

\gamma

K\subset A

z_{{0}}

\gamma

{\displaystyle C_{\rho }=\{z_{0}+\rho e^{it}\mid t\in [0;2\pi ]\))

\rho \in (r;R)

z_{{0}}

t

Udvidelsen til en Laurent-serie er unik , det vil sige, hvis for to Laurent-serier i potenser, der konvergerer i henholdsvis , og deres summer falder sammen på en bestemt cirkel eller på en retificerbar kurve homotopisk til den , så falder alle koefficienterne i disse serier sammen. $(z-z_{0})$ $A_{1}$ $A_{2}$ $C_{\rho }=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|=\rho \}\subset (A_{1}\cap A_{2})$ $A_{1}\cap A_{2}$ ${\displaystyle \gamma \sim C_{\rho ))$

Laurents sætning

Anvendelsen af Laurent-serien er hovedsageligt baseret på følgende Laurent-sætning:

Enhver funktion , der er enkeltværdi og analytisk i en ring , kan repræsenteres i en konvergent Laurent-række i potenser .

f(z)

{\displaystyle A=\{z\in \mathbb {C} \mid 0\leq r<|z-z_{0}|<R\leq +\infty \))

EN

(z-z_{0})

Repræsentationen af en utvetydig analytisk funktion i form af en Laurent-serie tjener som hovedværktøjet til at studere dens adfærd i nærheden af et isoleret enkeltpunkt : $f(z)$ $A_{z_{0))$

1) hvis punktet er , så er der en sådan radius i det punkterede kvarter $z_{0}\neq \infty$ $R_{z_{0}}\in (0;+\infty ]$

A_{z_{0}}=\{z\in \mathbb {C} \mid 0<|z-z_{0}|<R_{z_{0}}\}\quad

funktionen er repræsenteret ved en (konvergerende) Laurent-serie; $f(z)$

2) hvis punktet er , så er der en sådan radius i det punkterede kvarter $z_{0}=\infty$ $r_{\infty }\in [0;+\infty )$

{\displaystyle A_{\infty }=\{z\in \mathbb {C} \mid r_{\infty }<|z|<\infty \))

funktionen er repræsenteret ved en (konvergerende) Laurent-serie. $f(z)$

Typen af et isoleret ental punkt bestemmes af hoveddelen af Laurent-serien i det punkterede kvarter : $z_{{0}}$ $A_{z_{0))$

Aftageligt ental punkt - hoveddelen af Laurent-serien er lig med 0.
Pol - hoveddelen indeholder et begrænset antal led, der ikke er nul.
I det væsentlige ental punkt - hoveddelen indeholder et uendeligt antal termer, der ikke er nul.

Litteratur

Evgrafov M. A. Analytiske funktioner. - 2. udg., revideret. og yderligere — M .: Nauka , 1968 . — 472 s.
Markushevich AI teori om analytiske funktioner. Bind 1: Teoriens begyndelse. - Ed. 2. — M .: Nauka , 1967 . — 486 s.
Privalov II Introduktion til teorien om funktioner af en kompleks variabel. - 13. — M .: Nauka , 1984 . — 432 s.
Titchmarsh E. Funktionsteori: Pr. fra engelsk. - 2. udg., revideret. — M .: Nauka , 1980 . — 464 s.
Shabat BV Introduktion til kompleks analyse. — M .: Nauka , 1969 . — 577 s.

Sekvenser og rækker
Sekvenser	Numerisk rækkefølge Grundlæggende rækkefølge Lineær tilbagevendende sekvens Fibonacci-tal krøllede tal Faktoriel Barker-sekvens de bruijn rækkefølge
Rækker, grundlæggende	Rækkesum Resten af rækken Betinget konvergens Skiftende serie Række multisektion
Talserier ( operationer med talserier )	harmoniske serier Leibniz-serien En række omvendte firkanter En række gensidige primtal Dirichlet række Mercator serien Række Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funktionelle rækker	Taylor-serien Laurent-serien Fourier-serien Trigonometrisk Fourier-serie trigonometriske serier Wiener-serien
Andre rækketyper	Neumann-serien Puiseux række