Fermat nummer

Fermat-numre er tal på formen , hvor (sekvens A000215 i OEIS ). $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ $n\geqslant 0$

For Fermat-tallene er simple og lig med . Indtil videre er der ikke fundet andre Fermat-primtal, og det vides ikke, om de eksisterer for n > 4 , eller om alle andre Fermat-tal er sammensatte . ${\displaystyle n\in \{0,1,2,3,4\))$ $\ 3,\,5,\,17,\,257,\,65537$

Historie

Studiet af tal af denne art blev startet af Fermat , som fremsatte den hypotese , at de alle er primtal . Imidlertid blev denne hypotese tilbagevist af Euler i 1732 , da han fandt nedbrydningen af et tal til primfaktorer: $F_{5}$

F_{5}=4294967297=641\cdot 6700417

På tidspunktet for Fermat blev det anset for sandt, at hvis , så er en prime $2^{n}\equiv 2~({\text{mod}}~n)$ $n$ . Denne påstand viste sig at være falsk (modeksempel: ), men ifølge Tadeusz Banachevich var det netop denne påstand, der kunne få Fermat til at fremsætte sin formodning, eftersom påstanden er sand for alle [1] . $n=341$ $2^{F_{n}}\equiv 2~({\text{mod}}~F_{n})$ $n$

Fermat primtal

For 2022 kendes kun 5 Fermat-primtal — ved [2] $n\in \{0,1,2,3,4\}\colon$

F_{0}=2^{2^{0}}+1=2^{1}+1=3;

F_{1}=2^{2^{1}}+1=2^{2}+1=5;

F_{2}=2^{2^{2}}+1=2^{4}+1=17;

F_{3}=2^{2^{3}}+1=2^{8}+1=257;

F_{4}=2^{2^{4}}+1=2^{16}+1=65537.

Eksistensen af andre Fermat-primtal er et åbent problem . Det er kendt, at de er sammensatte $F_{n}$ $5\leq n\leq 32.$

Egenskaber

En regulær -gon $n$ kan konstrueres ved hjælp af et kompas og en straightedge , hvis og kun hvis ( ), hvor er forskellige Fermat-primtal ( Gauss-Wanzel-sætning ). ${\displaystyle n=2^{r}\cdot p_{1}\cdot p_{2}\cdot \ldots \cdot p_{k))$ $r=0,1,2,...$ $p_{1},\dots ,p_{k}$
Blandt tallene i formen kan kun Fermat-tallene være primtal (det vil sige, at tallet n skal være en potens af 2). Faktisk, hvis n har en ulige divisor og , så $2^{n}+1$ $d>1$ $n/d=m$

2^{n}+1=(2^{m}+1)(1-2^{m}+2^{{2m}}-\cdots +2^{{nm}}),

og er derfor ikke enkel.

2^{n}+1

Primaliteten af nogle Fermat-numre kan fastslås effektivt ved hjælp af Pepins test . Fermat-tallene vokser dog stærkt, og denne test blev kun med succes anvendt for 8 numre, hvis sammensætning ikke tidligere var bevist. Ifølge Mayer, Papadopoulos og Crandall vil det tage flere årtier at udføre Pepin-testene på efterfølgende Fermat-numre [3] .
Decimalnotationen for Fermat-tal større end 5 ender på 17, 37, 57 eller 97.
Hver divisor af tallet ved har formen ( Euler , Lucas , 1878). $F_{n}$ $n>2$ $k\cdot 2^{{n+2}}+1$
Fermat-tallene vokser meget hurtigt: det 9. tal er større end en googol og det 334. tal er større end et googolplex .

Dekomponering i primtal

I alt er der i juni 2022 fundet 360 primtalsdelere af Fermat-tal. For 316 Fermat-tal er det bevist, at de er sammensatte, mens for 2 af dem ( F 20 og F 24 ) kendes ingen divisor indtil videre [4] . Der findes flere nye divisorer af Fermats tal hvert år.

Nedenfor er nedbrydningen af Fermat-tallene til simple faktorer, med $n\in \{5,6,7,8,9\}\colon$

F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=(5\cdot 2^{5+2}+1)\cdot (52347\cdot 2^{5+2}+1)=641\cdot 6700417;

F_{6}=2^{2^{6}}+1=2^{64}+1=18446744073709551617=(1071\cdot 2^{6+2}+1)\cdot (262814145745\cdot 2^{6+2}+1)=274177\cdot 67280421310721;

{\begin{array}{lll}F_{7}=2^{2^{7}}+1=2^{128}+1&=&340282366920938463463374607431768211457=\\&=&(1316\,5 ,103\,764\,643\cdot 2^{7+2}+1)\cdot (11\,141\,971\,095\,088\,142\,685\cdot 2^{7+2 }+1)=\\&=&59\,649\,589\,127\,497\,217\cdot 5\,704\,689\,200\,685\,129\,054\,721; \end{array}}

{\begin{array}{lll}F_{8}=2^{2^{8}}+1=2^{256}+1&=&115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937=\\&=&(3853149761\cdot 157\ cdot 2^{8+3}+1)\cdot (1057372046781162536274034354686893329625329\cdot 31618624099079\cdot 13\cdot 7\cdot 5\cdot 3\cdot 2^{8+3}+1) 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321;\end{array}}

{\begin{array}{lll}F_{9}=2^{2^{9}}+1=2^{512}+1&=&13407807929942597099574024998205846127479365820592393377723561443721764030073546976801874298166903427690031858186486050853753882811946569946433649006084097=\\&=&(37\cdot 2^ {9+7}+1)\cdot (43226490359557706629\cdot 1143290228161321\cdot 82488781\cdot 47\cdot 19\cdot 2^{9+2}+1)\times \\&&\times (16975143302271505426897585653131126520182328037821729720833840187223\cdot 17338437577121\cdot 40644377\cdot 26813\cdot 1129\cdot 2^{9+2}+1)=\\&=&2424833\cdot 7455602825647884208337395736200454918783366342657\cdot 741640062627530801524787141901937474059940781097519023905821316144415759504705008092818711693940737.\end{array}}

Generaliserede Fermat-tal

Det generaliserede Fermat-tal er et tal af formen. Fermat-numre er deres specielle tilfælde forog $a^{{2^{n}}}+b^{{2^{n}}}$ $a=2$ $b=1.$

Noter

↑ V. Serpinsky . 250 problemer i talteori . - Oplysningstiden, 1968.
↑ OEIS -sekvens A019434 _
↑ Richard E. Crandall, Ernst W. Mayer & Jason S. Papadopoulos (2003), Det 24. Fermat-nummer er sammensat
↑ Fermat factoring status

Litteratur

Golomb, SW (1. januar 1963), Om summen af de gensidige af Fermat-tallene og relaterede irrationaliteter , Canadian Journal of Mathematics bind 15: 475-478 , DOI 10.4153/CJM-1963-051-0
Grytczuk, A.; Luca, F. & Wójtowicz, M. (2001), En anden note om de største primfaktorer for Fermat-tal , Southeast Asian Bulletin of Mathematics bind 25 (1): 111-115 , DOI 10.1007/s10012-0101-401
Guy, Richard K. (2004), Uløste problemer i talteori , vol. 1 (3. udgave), Problem Books in Mathematics, New York: Springer Verlag , s. A3, A12, B21, ISBN 978-0-387-20860-2 , < https://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-0-387-20860-2?otherVersion=978-0- 387-26677-0 >
Křížek, Michal; Luca, Florian & Somer, Lawrence (2001), 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry , vol. 10, CMS-bøger i matematik, New York: Springer, ISBN 978-0-387-95332-8 , < https://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-0-387-95332-8 > — Denne bog indeholder en omfattende liste over referencer.
Křížek, Michal; Luca, Florian & Somer, Lawrence (2002), Om konvergensen af serier af gensidige primtal relateret til Fermat-tallene , Journal of Number Theory bind 97(1): 95–112, doi : 10.1006/jnth.2002.2782 , < http://www.sciencedirect.com/science/journal/0022314X/97/1 >
Luca, Florian (2000), The anti-social Fermat number , American Mathematical Monthly bind 107 (2): 171–173, doi : 10.2307/2589441 , < http://www.maa.org/publications/periodicals/american -mathematical-monthly/american-mathematical-monthly-february-2000 >
Ribenboim, Paulo (1996), The New Book of Prime Number Records (3. udgave), New York: Springer, ISBN 978-0-387-94457-9 , < https://www.springer.com/mathematics/numbers /book/978-0-387-94457-9 >
Robinson, Raphael M. (1954), Mersenne og Fermat Numbers , Proceedings of the American Mathematical Society bind 5 (5): 842–846 , DOI 10.2307/2031878
Yabuta, M. (2001), Et simpelt bevis på Carmichaels sætning om primitive divisorer , Fibonacci Quarterly T. 39: 439–443 , < http://www.fq.math.ca/Scanned/39-5/yabuta.pdf >

Links

Leonid Durman. Lodret løb. Fermat-numre fra Euler til i dag: 1 , 2 , 3 // Computerra , 2001, nr. 393-395.
TOP-20 største divisorer af Fermat- tal
Leonid Durman , Luigi Morelli. FERMATSEARCH koordinerende projekt (engelsk) (italiensk) (russisk)
Wilfrid Keller. Primære faktorer for Fermat-tal

Ordbøger og encyklopædier	Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	GND : 4672709-7 NKC : ph195830