Fermat nummer

Fermat-numre  er tal på formen , hvor (sekvens A000215 i OEIS ).

For Fermat-tallene er simple og lig med . Indtil videre er der ikke fundet andre Fermat-primtal, og det vides ikke, om de eksisterer for n > 4 , eller om alle andre Fermat-tal er sammensatte .

Historie

Studiet af tal af denne art blev startet af Fermat , som fremsatte den hypotese , at de alle er primtal . Imidlertid blev denne hypotese tilbagevist af Euler i 1732 , da han fandt nedbrydningen af ​​et tal til primfaktorer:

.

På tidspunktet for Fermat blev det anset for sandt, at hvis , så  er en prime . Denne påstand viste sig at være falsk (modeksempel: ), men ifølge Tadeusz Banachevich var det netop denne påstand, der kunne få Fermat til at fremsætte sin formodning, eftersom påstanden er sand for alle [1] .

Fermat primtal

For 2022 kendes kun 5 Fermat-primtal — ved [2]

Eksistensen af ​​andre Fermat-primtal er et åbent problem . Det er kendt, at de er sammensatte

Egenskaber

og er derfor ikke enkel.

Dekomponering i primtal

I alt er der i juni 2022 fundet 360 primtalsdelere af Fermat-tal. For 316 Fermat-tal er det bevist, at de er sammensatte, mens for 2 af dem ( F 20 og F 24 ) kendes ingen divisor indtil videre [4] . Der findes flere nye divisorer af Fermats tal hvert år.

Nedenfor er nedbrydningen af ​​Fermat-tallene til simple faktorer, med

Generaliserede Fermat-tal

Det generaliserede Fermat-tal  er et tal af formen. Fermat-numre er deres specielle tilfælde forog

Noter

  1. V. Serpinsky . 250 problemer i talteori . - Oplysningstiden, 1968.
  2. OEIS -sekvens A019434 _
  3. Richard E. Crandall, Ernst W. Mayer & Jason S. Papadopoulos (2003), Det 24. Fermat-nummer er sammensat 
  4. Fermat factoring status

Litteratur

Links