Fermats sætning om polygonale tal
Fermats polygonale talsætning siger, at ethvert naturligt tal kan repræsenteres som summen af højst -gonale tal .
Eksempler
Eksempler på opdeling af naturlige tal fra 1 til 30 i overensstemmelse med Fermats sætning [1] :
| Nummer | Summen af ikke mere end tre trekantede tal |
Summen af ikke mere end fire kvadrattal |
Summen af ikke mere end fem femkantede tal |
|
|---|---|---|---|---|
| en | en | en | ||
| 2 | 1+1 | 1+1 | 1+1 | |
| 3 | 3 | 1+1+1 | 1+1+1 | |
| fire | 3+1 | 1+1+1+1 | ||
| 5 | 3+1+1 | 5 | ||
| 6 | 6 | 5+1 | ||
| 7 | 6+1 | 5+1+1 | ||
| otte | 6+1+1 | 5+1+1+1 | ||
| 9 | 6+3 | 5+1+1+1+1 | ||
| ti | ti | 5+5 | ||
| elleve | 10+1 | 5+5+1 | ||
| 12 | 6+6 | 12 | ||
| 13 | 10+3 | 12+1 | ||
| fjorten | 10+3+1 | 12+1+1 | ||
| femten | femten | 5+5+5 | ||
| 16 | 15+1 | 5+5+5+1 | ||
| 17 | 10+6+1 | 12+5 | ||
| atten | 15+3 | 12+5+1 | ||
| 19 | 10+6+3 | 12+5+1+1 | ||
| tyve | 10+10 | 5+5+5+5 | ||
| 21 | 21 | 5+5+5+5+1 | ||
| 22 | 21+1 | 22 | ||
| 23 | 10+10+3 | 22+1 | ||
| 24 | 21+3 | 12+12 | ||
| 25 | 15+10 | 12+12+1 | ||
| 26 | 15+10+1 | 12+12+1+1 | ||
| 27 | 21+6 | 22+5 | ||
| 28 | 28 | 22+5+1 | ||
| 29 | 28+1 | 12+12+5 | ||
| tredive | 15+15 | 12+12+5+1 |
Historie
Sætningen er opkaldt efter Pierre Fermat , som fremsatte denne udtalelse i 1638 uden bevis, men lovede at præsentere den i et separat papir, som aldrig udkom [2] . I 1770 beviste Lagrange denne teorem for kvadrattal [2] . Gauss beviste teoremet for trekantet tal i 1796. Den unge Gauss ledsagede sit fund med en dagbogsoptegnelse: " Eureka !" [3] og publicerede beviset i bogen Arithmetic Investigations . Dette resultat af Gauss er kendt som "Eureka-sætningen" [4] Cauchy beviste sætningen fuldstændigt i 1813. [2] De følgende beviser er baseret på de lemmaer, der er bevist af Cauchy [5] .
Særlige tilfælde
De mest interessante er de firkantede og trekantede sager. Lagranges fire-kvadrat -sumsætning løser sammen med Legendres tre-kvadrat-sætning Warings problem for . Og i tilfælde af trekantede tal, udskiftning af kvadratet med et kvadratisk polynomium giver dig mulighed for at reducere det nødvendige antal led.
Noter
- ↑ Violant-y-Holtz, Albert. Gårdsmysterium. En udfordring i tre århundreder til matematik. - M. : De Agostini, 2014. - S. 146. - 160 s. — (Matematikkens verden: i 45 bind, bind 9). — ISBN 978-5-9774-0625-3 .
- ↑ 1 2 3 Heath, Sir Thomas Little (1910), Diophantus af Alexandria; en historie om græsk algebra , Cambridge University Press, s. 188 , < https://archive.org/details/diophantusofalex00heatiala > .
- ↑ Bell, Eric Temple (1956), Gauss, the Prince of Mathematicians, i Newman, James R., The World of Mathematics , vol. I, Simon & Schuster , s. 295-339 . Dover genoptryk, 2000, ISBN 0-486-41150-8 .
- ↑ Ono, Ken; Robins, Sinai & Wahl, Patrick T. (1995), Om repræsentationen af heltal som summer af trekantede tal , Aequationes Mathematicae T. 50 (1-2): 73-94 , DOI 10.1007/BF01831114 .
- ↑ Nathanson, Melvyn B. (1987), Et kort bevis på Cauchys polygonale talsætning , Proceedings of the American Mathematical Society bind 99 (1): 22–24 , DOI 10.2307/2046263
Links
- Weisstein, Eric W. Fermats Polygonal Number Theorem (engelsk) på Wolfram MathWorld -webstedet .
- Nathanson, Melvyn B. (1996), Additive Number Theory The Classical Bases , Berlin: Springer , ISBN 978-0-387-94656-6 . Indeholder beviset for Lagranges sætning og den polygonale talsætning.