Fermats polygonale talsætning siger, at ethvert naturligt tal kan repræsenteres som summen af højst -gonale tal .
Eksempler på opdeling af naturlige tal fra 1 til 30 i overensstemmelse med Fermats sætning [1] :
Nummer | Summen af ikke mere end tre trekantede tal |
Summen af ikke mere end fire kvadrattal |
Summen af ikke mere end fem femkantede tal |
|
---|---|---|---|---|
en | en | en | ||
2 | 1+1 | 1+1 | 1+1 | |
3 | 3 | 1+1+1 | 1+1+1 | |
fire | 3+1 | 1+1+1+1 | ||
5 | 3+1+1 | 5 | ||
6 | 6 | 5+1 | ||
7 | 6+1 | 5+1+1 | ||
otte | 6+1+1 | 5+1+1+1 | ||
9 | 6+3 | 5+1+1+1+1 | ||
ti | ti | 5+5 | ||
elleve | 10+1 | 5+5+1 | ||
12 | 6+6 | 12 | ||
13 | 10+3 | 12+1 | ||
fjorten | 10+3+1 | 12+1+1 | ||
femten | femten | 5+5+5 | ||
16 | 15+1 | 5+5+5+1 | ||
17 | 10+6+1 | 12+5 | ||
atten | 15+3 | 12+5+1 | ||
19 | 10+6+3 | 12+5+1+1 | ||
tyve | 10+10 | 5+5+5+5 | ||
21 | 21 | 5+5+5+5+1 | ||
22 | 21+1 | 22 | ||
23 | 10+10+3 | 22+1 | ||
24 | 21+3 | 12+12 | ||
25 | 15+10 | 12+12+1 | ||
26 | 15+10+1 | 12+12+1+1 | ||
27 | 21+6 | 22+5 | ||
28 | 28 | 22+5+1 | ||
29 | 28+1 | 12+12+5 | ||
tredive | 15+15 | 12+12+5+1 |
Sætningen er opkaldt efter Pierre Fermat , som fremsatte denne udtalelse i 1638 uden bevis, men lovede at præsentere den i et separat papir, som aldrig udkom [2] . I 1770 beviste Lagrange denne teorem for kvadrattal [2] . Gauss beviste teoremet for trekantet tal i 1796. Den unge Gauss ledsagede sit fund med en dagbogsoptegnelse: " Eureka !" [3] og publicerede beviset i bogen Arithmetic Investigations . Dette resultat af Gauss er kendt som "Eureka-sætningen" [4] Cauchy beviste sætningen fuldstændigt i 1813. [2] De følgende beviser er baseret på de lemmaer, der er bevist af Cauchy [5] .
De mest interessante er de firkantede og trekantede sager. Lagranges fire-kvadrat -sumsætning løser sammen med Legendres tre-kvadrat-sætning Warings problem for . Og i tilfælde af trekantede tal, udskiftning af kvadratet med et kvadratisk polynomium giver dig mulighed for at reducere det nødvendige antal led.