Geometrisk algebra

Geometrisk algebra er en historisk konstruktion af algebra, der er fremsat i den anden bog af Euklids " principper " (3. århundrede f.Kr.), hvor operationer blev defineret direkte for geometriske størrelser, og teoremer blev bevist ved geometriske konstruktioner. Med andre ord voksede de gamle matematikeres algebra ikke kun ud af geometriens problemer, men var fuldstændig bygget på et geometrisk grundlag [1] .

For eksempel blev produktet af numeriske værdier defineret [2] som et rektangel med sider og .

Eksempler

Udsagnet fra Pythagoras sætning kan fortolkes som en algebraisk lighed, eller som en lighed mellem arealerne af kvadraterne bygget på benene og kvadratet bygget på hypotenusen . Den anden måde er et eksempel på den geometriske algebra-tilgang.

Fordelingsloven blev repræsenteret af gamle matematikere som ligheden mellem arealet af et rektangel og summen af ​​arealet af to rektangler opnået ved at skære det oprindelige parallelt med en af ​​siderne (se figur).

Historie

I det IV århundrede f.Kr. e. opdagede pythagoræerne , at diagonalen af ​​en firkant ikke kan sammenlignes med dens side, det vil sige, at deres forhold ( ) ikke kan udtrykkes hverken som et naturligt tal eller som en brøk . Men gamle matematikere genkendte ikke andre numeriske objekter, bortset fra naturlige tal, selv en brøkdel blev af dem betragtet ikke som et tal, men som et forhold ( proportion ) [3] .

Det lykkedes ham at finde en vej ud i det 4. århundrede f.Kr. e. Eudoxus af Cnidus - han introducerede sammen med tal begrebet geometriske størrelser (længder, arealer, volumener). For homogene mængder blev der defineret aritmetiske operationer svarende til numeriske. Eudoxus' teori blev forklaret af Euklid i den femte bog af hans Principia , og den blev brugt i Europa indtil det 17. århundrede. Euklid skulle genbevise sætningerne om tal separat for mængder, og aritmetikken af ​​mængder var meget dårligere end numerisk aritmetik, om ikke andet fordi den kun vedrørte homogene størrelser [4] [5] .

Kritik

I moderne tid blev det klart, at konstruktionen af ​​numerisk algebra på basis af geometri var en fejl. For eksempel, fra et synspunkt af geometri, udtryk og havde ikke engang en geometrisk fortolkning (den fysiske dimension af resultatværdien var ikke defineret) og gav derfor ikke mening; det samme gælder for negative tal [6] .

Startende med Descartes' Geometry (1637) tog europæiske matematikere en anden vej - de skabte analytisk geometri , som i stedet for at reducere algebra til geometri, reducerer geometri til algebra, og denne vej viste sig at være meget mere frugtbar. For at gøre dette muligt udvidede Descartes begrebet tal - det absorberede alle reelle tal , inklusive irrationelle , og er abstrakt , det vil sige adskilt fra geometri [7] . Det separate begreb om en geometrisk størrelse bliver da overflødigt. Algebraisering af geometri gjorde det også muligt at opdage fælles træk i geometriske problemer, der syntes at være fuldstændig uafhængige [8] .

Nogle historikere har sat spørgsmålstegn ved eksistensen af ​​geometrisk algebra. For eksempel mente Shabtai Unguru , at da matematikkens historie ikke blev skrevet af historikere, men af ​​matematikere, tog de i deres rekonstruktioner udgangspunkt i, at matematik i det væsentlige er uændret, og derfor brugte de frit, når de præsenterede historien, ideer og termer i moderne matematik.

Noter

  1. ↑ Nikiforovsky, Freiman, 1976 , s. 5.
  2. ↑ Zeiten, 1932 , s. 42-43.
  3. ↑ History of Mathematics, bind I, 1970 , s. 72-74.
  4. ↑ Kolmogorov A. N. Værdi // Mathematical Encyclopedia. - M . : Soviet Encyclopedia, 1977. - T. 1.
  5. ↑ History of Mathematics, bind I, 1970 , s. 78.
  6. ↑ Bashmakova I. G. Forelæsninger om matematikkens historie i det antikke Grækenland // Historisk og matematisk forskning . - M .: Fizmatgiz , 1958. - Nr. 11 . - S. 309-323 .
  7. ↑ Yushkevich A.P. Descartes and Mathematics, 1938 , s. 279-282.
  8. ↑ Scott, JF René Descartes' videnskabelige arbejde. - New York: Garland, 1987. - ISBN 0824046722 .

Litteratur