Trigonometrisk Fourier-serie

Trigonometrisk Fourierrække - repræsentation af en vilkårlig funktion med en periode i form af en række $f$ $2\pi$

f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{\infin}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)

(en)

eller ved at bruge kompleks notation, som en serie:

f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ikx}

Punktprodukt og ortogonalitet

Lad være to funktioner af rummet . Lad os definere deres skalære produkt $\phi _{n}$ $\phi_m$ $L^2\venstre[-\frac{\tau}{2},\frac{\tau}{2}\right]$

\langle \phi_m(x), \phi_n(x)\rangle:=\int\limits_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}\phi_m(x) \phi_n(x)dx

Ortogonalitetstilstand

\int \limits _{-{\frac {\tau }{2}}}^{\frac {\tau }{2}}\phi _{m}(x)\phi _{n}( x)dx=\|\phi _{m}(x)\|^{2}\delta _{nm}

hvor er Kronecker-symbolet . Således er det skalære produkt af ortogonale funktioner lig med kvadratet af normen for funktionen ved eller nul ellers. $\delta_{nm}$ $n=m$

Følgende observation er nøglen i teorien om Fourier-serier: funktioner af formen , er parvis ortogonale i forhold til dette skalarprodukt, det vil sige for alle ikke-negative heltal : $\sin(kx)$ $\cos(kx)$ $k\neql$

\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin(kx)\sin(lx)dx = \int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\cos(lx) dx = 0

og for alle ikke-negative heltal , $k$ $l$

\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\sin(lx)dx = 0

En anden vigtig egenskab er, at det trigonometriske funktionssystem er et grundlag i rummet $L^2[0,2\pi]$ . Med andre ord, hvis en funktion fra dette rum er ortogonal i forhold til alle funktioner i formen , så er den identisk lig nul (for at være mere præcis, er den lig med nul næsten overalt ). $\cos(kx), \sin(kx), k\in\mathbb{Z}$

Klassisk definition

Den trigonometriske Fourier-række af en funktion er en funktionel række af formen $f\in L_2([-\pi,\pi])$

f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{\infin}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)

(en)

hvor

a_0= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,

a_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx,

b_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx.

Tallene og ( ) kaldes funktionens Fourier-koefficienter . Formlerne for dem kan forklares som følger. Antag, at vi ønsker at repræsentere en funktion som en række (1), og vi skal bestemme de ukendte koefficienter , og . Hvis vi multiplicerer højre side af (1) med og integrerer over intervallet , på grund af ortogonaliteten på højre side, forsvinder alle led, undtagen én. Ud fra den resulterende lighed udtrykkes koefficienten let . Tilsvarende for $a_{0}$ $a_n$ $b_n$ $n = 1, 2, \ldprikker$ $f$ $f\in L_2([-\pi,\pi])$ $a_{0}$ $a_n$ $b_n$ $\cos(kx)$ $[-\pi,\pi]$ $a_{k}$ $b_{k}$

Serie (1) konvergerer til en funktion i rummet . Med andre ord, hvis vi angiver med partielle summer af serier (1): $f$ $L_2([-\pi,\pi])$ $S_k(x)$

S_k(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{k}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)

så vil deres standardafvigelse fra funktionen have en tendens til nul: $f$

\lim\limits_{k\rightarrow \infty}\int\limits_{-\pi}^{\pi}(f(x)-S_k(x))^2dx=0

På trods af rod-middel-kvadrat-konvergensen, er Fourier-rækken af en funktion generelt set ikke nødvendig for at konvergere punktvis til den (se nedenfor).

Kompleks notation

Ofte, når man arbejder med Fourier-serier, er det mere bekvemt at bruge eksponenterne for det imaginære argument i stedet for sinus og cosinus som grundlag. Vi betragter rummet $L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})$ af komplekst værdifulde funktioner med indre produkt

\langle f,g\rangle := \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx

Vi overvejer også funktionssystemet

\varphi_k(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx), k\in\mathbb{Z}

Som før er disse funktioner parvis ortogonale og danner et komplet system, og dermed kan enhver funktion udvides over dem i en Fourier-serie: $f\in L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})$

f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ikx}

hvor rækken i højre side konvergerer til i normen i . Her $f$ $f\in L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})$

\hat{f}_k= \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx

Koefficienterne: er relateret til de klassiske Fourier-koefficienter med følgende formler: $\hat{f}_k$

\hat{f}_k = (a_k-ib_k)/2, k>0;

\hat{f}_0 = a_0/2;

\hat{f}_k = (a_{|k|}+ib_{|k|})/2, k<0;

a_k = \hat{f}_k+\hat{f}_{-k}, k>0;

b_k = i(\hat{f}_k-\hat{f}_{-k}), k>0.

Den komplekse funktion af en reel variabel udvides i den samme Fourier-række i imaginære eksponenter som den reelle, men i modsætning til sidstnævnte, for dens udvidelse , og vil generelt set ikke være kompleks konjugeret. $\hat{f}_k$ $\hat{f}_{-k}$

Egenskaber for den trigonometriske Fourier-serie

Alle udsagn i dette afsnit er sande under den antagelse, at de funktioner, der deltager i dem (og resultaterne af operationer med dem) ligger i rummet $L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})$ .

Beregningen af Fourier-koefficienterne er en lineær operation:

\widehat{(\alpha f+\beta g)}_k=\alpha \hat{f}_k+\beta\hat{g}_k

Parsevals lighed er sand :

2\pi \sum_{k=1}^\infty \hat{|f|}_k^2 = ||f||^2

Fourier-koefficienterne for den afledte er let udtrykt i form af Fourier-koefficienterne for selve funktionen:

\widehat{(f')}_k=ik\hat{f}_k

Fourier-koefficienterne af produktet af to funktioner er udtrykt ved foldningen af Fourier-koefficienterne for faktorerne:

\widehat{(fg)}_k=\sum\limits_{j=-\infty}^{\infty}\hat{f}_j\hat{g}_{kj}

overvej funktionsfoldningsoperationen :

(f\ast g)(t):=\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(tx)g(x) dx,

hvor funktionerne antages periodisk at blive udvidet fra intervallet til hele linjen. Derefter $[-\pi,\pi]$

\widehat{(f\ast g)}_k =2\pi\hat{f}_k\hat{g}_k

Fourier-udvidelser af nogle funktioner

Fungere	Fourier-serien
	${\frac {4a}{\pi }}\left({\frac {\sin t}{1}}+{\frac {\sin 3t}{3}}+{\frac {\sin 5t }{5}}+\dots\right)$
	${\frac {4a}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}\sin {\frac {2\pi (2n -1)t}{T}}$

Se også

Noter

Litteratur

Zhuk V.V., Natanson G.I. Trigonometriske Fourier-serier og elementer af tilnærmelsesteori. - L . : Forlag Leningrad. un-ta, 1983. - S. 188.
Rudin U. Fundamentals of Mathematical Analysis. - 1976.
Piskunov N. S. Differential- og integralregning for VTUZ'er. - M . : "Nauka", 1964. - T. 2.

Sekvenser og rækker
Sekvenser	Numerisk rækkefølge Grundlæggende rækkefølge Lineær tilbagevendende sekvens Fibonacci-tal krøllede tal Faktoriel Barker-sekvens de bruijn rækkefølge
Rækker, grundlæggende	Rækkesum Resten af rækken Betinget konvergens Skiftende serie Række multisektion
Talserier ( operationer med talserier )	harmoniske serier Leibniz-serien En række omvendte firkanter En række gensidige primtal Dirichlet række Mercator serien Række Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funktionelle rækker	Taylor-serien Laurent-serien Fourier-serien Trigonometrisk Fourier-serie trigonometriske serier Wiener-serien
Andre rækketyper	Neumann-serien Puiseux række

Integralregning

Hoved

Generaliseringer
af Riemann-integralet

Integrale
transformationer

Numerisk
integration

måle teori

relaterede emner

Lister over integraler