Tilbagevendende formel

En tilbagevendende formel er en formel af den form , der udtrykker hvert medlem af sekvensen i form af de foregående medlemmer og nummeret på medlemmet af sekvensen . $a_{n}=f(n,a_{n-1},a_{n-2},\dots,a_{np})$ $a_n$ $s$ $n$

Den generelle problematik ved beregninger ved hjælp af rekursive formler er genstand for teorien om rekursive funktioner .

En tilbagevendende ligning er en ligning, der forbinder flere på hinanden følgende medlemmer af en bestemt numerisk sekvens. En sekvens, der opfylder en sådan ligning, kaldes en tilbagevendende sekvens .

Eksempler

Faktorialfunktionen af et naturligt tal opfylder den tilbagevendende formel: $n!={\begin{cases}1,&n=0;\\(n-1)!\cdot n,&n\geqslant 1.\end{cases))$

Fibonacci-tal er givet ved den lineære tilbagevendende formel : $F_{n}={\begin{cases}0,&n=0;\\1,&n=1;\\F_{n-1}+F_{n-2},&n\geqslant 2.\ slut{cases}}$

Værdien af integralet opfylder den tilbagevendende formel: $\textstyle I_{n}=\int \sin ^{n}x\,dx$ $I_{n}={\frac {-\cos x\cdot \sin ^{n-1}x}{n}}+{\frac {n-1}{n}}I_{n-2 }.$

Løsningen til Bessel differentialligningen kan skrives som en potensrække : $y''+(1/x)y'+(1-\nu ^{2}/x^{2})y=0$ $y=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{2n+\nu }.$

For at bestemme koefficienterne er det tilstrækkeligt at fastslå det for alle . Derefter opnås straks det velkendte resultat:

a_n

4n(n+\nu )a_{n}+a_{n-2}=0

n\geq 1

a_{n}={\frac {(-1)^{n}a_{0}}{2^{2^{n}}n!(1+\nu )(2+\nu)\ cdots (n+\nu )}}.

Sidelængde ved fordobling af antallet af sider af en indskrevet regulær n - gon : $a_{2n}={\sqrt {2R^{2}-2R{\sqrt {R^{2}-{\frac {a_{n}^{2}}{4}}}}} ,\qquad n\geq 2,$

hvor er radius af den omskrevne cirkel .

R

Lineære tilbagevendende ligninger

En lineær tilbagevendende ligning med konstante koefficienter har formen:

f_{n+r}+a_{1}f_{n+r-1}+a_{2}f_{n+r-2}+\ldots +a_{r}f_{n}=\varphi (n).

Her er ikke-negative heltal, er en sekvens af tal, er konstante tal, , er en given funktion af . $n$ $f_{{n}}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r))$ $a_{{r}}\neq 0$ $\varphi (n)$ $n$

Homogene lineære tilbagevendende ligninger

Antag, at en sekvens af tal opfylder en homogen lineær tilbagevendende ligning , hvor er ikke-negative heltal, gives konstante tal og . $f_{0},f_{1},\dots$ $f_{n+r}+a_{1}f_{n+r-1}+a_{2}f_{n+r-2}+\ldots +a_{r}f_{n}=0$ $n$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{r))$ $a_{{r}}\neq 0$

Betegn ved sekvensens genererende funktion . Lad os bygge et polynomium . Dette polynomium kan ses som en sekvensgenererende funktion . Overvej produktet af at generere funktioner . Koefficienten ved og er bestemt af relationen og er lig med nul. Det betyder, at polynomiet højst har grad , så graden af tælleren for den rationelle funktion er mindre end nævnerens grad. $F(z)$ $f_{0},f_{1},\dots$ ${\displaystyle K(z)=1+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\ldots +a_{r}z^{r))$ $1,a_{1},a_{2},\ldots,a_{r},0,0,\dots$ $C(z)=F(z)K(z)$ $c_{{n+r}}$ $z^{{n+r}}$ $n\geq 0$ $c_{n+r}=f_{0}0+\ldots +f_{n-1}0+f_{n}a_{r}+\ldots +f_{n+r}1=f_{n +r}+a_{1}f_{n+r-1}+\ldots +a_{r}f_{n}$ $C(z)$ $r-1$ $F(z)={\frac {C(z)}{K(z)}}$

Det karakteristiske polynomium i en lineær tilbagevendende ligning kaldes et polynomium . Rødderne til dette polynomium kaldes karakteristiske. Det karakteristiske polynomium kan repræsenteres som , hvor er forskellige karakteristiske rødder, er multiplicitet af karakteristiske rødder, . ${\displaystyle g(z)=z^{r}+a_{1}z^{r-1}+\ldots +a_{r))$ $g(z)=(z-\alpha _{1})^{e_{1}}(z-\alpha _{2})^{e_{2}}\cdots (z-\alpha _ {s})^{e_{s}}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{s))$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{s))$ $e_{1}+e_{2}+\ldots +e_{s}=r$

Det karakteristiske polynomium og polynomiet er forbundet med relationen . På denne måde $g(z)$ $K(z)$ $K(z)=z^{r}g\left({\frac {1}{z}}\right)$

K(z)=(1-\alpha _{1}z)^{e_{1}}(1-\alpha _{2}z)^{e_{2}}\cdots (1-\ alfa _{s}z)^{e_{s}}.

En rationel funktion kan repræsenteres som summen af brøker:

F(z)={\frac {C(z)}{K(z)}}=\sum _{i=1}^{s}\sum _{k=1}^{e_{i }}{\frac {\beta _{ik}}{(1-\alpha _{i}z)^{k}}}.

Hver brøk i dette udtryk har formen , så den kan udvides til en potensrække af følgende form $\beta (1-\alpha z)^{{-k}}$

\beta (1-\alpha z)^{-k}=\beta \left[1+(-k)(-\alpha z)+\ldots +{\frac {(-k)\cdots ( -k-n+1)}{n!}}(-\alpha z)^{n}+\ldots \right]

Koefficienten for i denne serie er lig med $z^{n}$

{\frac {\beta (n+k-1)\cdots k}{n!)}}\alpha ^{n}=\beta {\binom {n+k-1}{n}}\ alpha ^{n}=\beta {\binom {n+k-1}{k-1}}\alpha ^{n}.

Derfor er den genererende funktion og den generelle løsning af den lineære tilbagevendende ligning, hvor højst er et polynomium i grad . $F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=1}^{s}p_{i}(n)\alpha _{i}^ {n}\right)z^{n}$ $f_{{n}}=\sum _{{i=1}}^{{s}}p_{{i}}(n)\alpha _{{i}}^{{n}}$ $pin)$ $n$ $e_{{i}}-1$

Eksempel

Lad det kræves at finde en løsning på ligningen med randbetingelser og . $f_{{n+2}}-f_{{n+1}}+f_{{n}}=0$ $f_{{0}}=1$ $f_{{1}}=1$

Denne ligning har et karakteristisk polynomium , hvor , . Den generelle løsning har formen . Vi erstatter , vi får . Vi får værdier , . Således . $z^{2}-z+1=(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})$ $\alpha _{{1}}={\frac {1}{2}}+i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}=e^{{i{\frac {\pi } {3}}}}$ $\alpha _{{2}}={\frac {1}{2}}-i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}=e^{{-i{\frac {\pi }{3}}}}$ $f_{{n}}=c_{{1}}\alpha _{{1}}^{{n}}+c_{{2}}\alpha _{{2}}^{{n}}=c_ {{1}}e^{{{\frac {i\pi n}{3}}}}+c_{{2}}e^{({\frac {-i\pi n}{3}}} }$ $n=0,1$ $c_{{1}}+c_{{2}}=1$ $c_{{1}}\alpha _{{1}}+c_{{2}}\alpha _{{2}}=1$ $c_{{1}}={\frac {1}{2}}-i{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}$ $c_{{2}}={\frac {1}{2}}+i{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}$ $f_{n}=\left({\frac {1}{2}}-i{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\right)\left(\cos \left ({\frac {\pi n}{3}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi n}{3}}\right)\right)+\venstre({\frac {1 }{2}}+i{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\right)\left(\cos \left({\frac {\pi n}{3}}\right) -i\sin \left({\frac {\pi n}{3}}\right)\right)=\cos \left({\frac {\pi n}{3}}\right)+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\sin \left({\frac {\pi n}{3}}\right)$

Ansøgninger

Der er en formel, der udtrykker det generelle udtryk for en lineær tilbagevendende sekvens i form af rødderne af dets karakteristiske polynomium. For eksempel for Fibonacci-sekvensen er en sådan formel Binets formel . Rekursive formler bruges til at beskrive køretiden for en algoritme, der rekursivt kalder sig selv. I en sådan formel er den tid, der kræves for at løse problemet med inputvolumen , udtrykt som tiden til løsning af hjælpeunderopgaver. [en] $n$

Se også

Lineær tilbagevendende sekvens
rekursiv funktion
rekursion
Hovedsætning om rekursive relationer (en forenklet løsning af nogle typer rekursive relationer, der opstår i analysen af kompleksiteten af rekursive algoritmer)

Noter

↑ T. Kormen, C. Leizerson, R. Rivest, K. Stein. Algoritmer. Konstruktion og analyse = Introduktion til algoritmer / I. Krasikov. - Forlaget "Williams", 2005. - S. 79. - 1296 s.

Litteratur

Fujisawa T., Kasami T. Matematik for radioingeniører: teori om diskrete strukturer. - M. , forlag = Radio og kommunikation, 1984. - 240 s.