En række omvendte firkanter

En række af omvendte kvadrater er en uendelig række :

{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\ frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots

Problemet med at finde summen af denne serie forblev uløst i lang tid. Da europæiske matematikeres opmærksomhed på dette problem blev henledt af Basel- professoren i matematik Jacob Bernoulli (1689), kaldes det i historien ofte " Baselproblemet " (eller " Baselproblemet "). Den første til at finde summen af rækken i 1735 var den 28-årige Leonhard Euler , den viste sig at være lig med

{\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1{,}6449340668482264364724151666460251892189499012067984377355582293\dots

(Se OEIS -sekvens A013661 ).

Denne sum forekommer i mange andre problemer i talteorien .

Løsningen af dette problem (og relaterede) bragte ikke kun den unge Euler verdensberømmelse [1] , men havde også en betydelig indflydelse på den videre udvikling af analyse , talteori og efterfølgende kompleks analyse . Endnu en gang (efter opdagelsen af Leibniz-serien ) gik tallet ud over geometrien og bekræftede dets universalitet. Endelig viste den omvendte kvadratrække sig at være det første skridt mod introduktionen af Riemann zeta-funktionen [2] . Euler begyndte selv denne vej efter at have overvejet en generalisering af den omvendte kvadratrække - en række for en vilkårlig lige potens s , og også udledt den grundlæggende Euler-identitet : $\pi$

{\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\ frac {1}{4^{s}}}+\dots ={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s} }}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1 -11^{-s}}}\cdot \dots

Produktet i højre side overtages alle primtal .

Historie

Historikere opdagede først ræsonnement om en række omvendte kvadrater i den italienske matematiker Pietro Mengolis afhandling ( Novae quadraturae arithmeticae seu de additione fractionum , 1644, udgivet i 1650), men derefter vakte problemet ikke almen interesse. Mengoli bestemte, at rækken konvergerer og fandt summen af de første 10 led [3] :

{\frac {1968329}{1270080}}\approx 1{,}54977.

Senere forsøgte mange fremtrædende matematikere uden held at finde summen af serien, herunder Leibniz , Stirling , de Moivre , Christian Goldbach , brødrene Jacob og Johann Bernoulli . De beregnede også flere signifikante cifre af summen af serien. Goldbach viste, at summen er indeholdt i intervallet (41/25; 5/3), Stirling i afhandlingen Methodus Differentialis (1730) formåede at beregne en ret præcis værdi af summen: 1,644934066, men ingen kunne fastslå præcist, hvad dette værdien var kan være relateret [3] [4] [5] .

Jacob Bernoulli opfordrede i sine Arithmetic Propositions on Infinite Series (1689): "Hvis nogen formår at finde noget, der hidtil ikke har givet efter for vores bestræbelser, og hvis han meddeler det til os, så vil vi stå ham meget i gæld" [2] ] [6] . Men i Jacob Bernoullis liv dukkede løsningen ikke op.

Euler var den første til at få succes , næsten et halvt århundrede efter Bernoullis omvendelse. Sandsynligvis fortalte Johann Bernoulli, Jacobs bror, Euler om dette problem. Euler rapporterede opdagelsen i noten "Om summer af omvendte serier" ( De summis serierum reciprocarum , 1735) [7] til tidsskriftet "Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae" fra St. Petersburgs Videnskabsakademi . Værdien af summen fundet af ham Euler rapporterede også i et brev til hans ven Daniel Bernoulli , søn af Johann Bernoulli [8] :

For nylig fandt jeg, og ganske uventet, et elegant udtryk for summen af en serie relateret til kvadratering af en cirkel ... Nemlig den seksdobbelte sum af denne serie er lig med kvadratet af omkredsen af en cirkel, hvis diameter er 1.

Daniel fortalte sin far, som udtrykte tvivl om gyldigheden af Eulers udvidelse af sinus til et uendeligt produkt (se nedenfor ). Derfor begrundede Euler i 1748 resultatet mere stringent i sin monografi Introduktion til analysen af infinitesimals ( Introductio in analysin infinitorum , bind I, kapitel X) [9] .

Som John Derbyshire bemærker , gjorde den anden (efter Leibniz-serien ) optræden af et tal i en uventet, fuldstændig ikke-geometrisk sammenhæng et stærkt indtryk på matematikere fra det attende århundrede [10] . $\pi$

Som en kontrol beregnede Euler manuelt summen af den 20-cifrede serie (tilsyneladende ved hjælp af Euler-Maclaurin-formlen , da den omvendte kvadratrække konvergerer ret langsomt). Derefter sammenlignede han summen med værdien ved hjælp af den omtrentlige værdi af det tal, der allerede var kendt på det tidspunkt , og sørgede for, at begge værdier, inden for kontoens nøjagtighed, falder sammen. Efterfølgende (1743) offentliggjorde Euler yderligere to forskellige måder at summere en række af omvendte kvadrater på [11] . ${\frac {\pi ^{2}}{6)),$ $\pi$

Seriekonvergens

For at verificere, at den omvendte kvadratrække konvergerer, er det tilstrækkeligt at bevise, at følgende række konvergerer [12] :

1+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+{\frac {1}{4\cdot 5}}+\dots

Denne serie hoveder den omvendte kvadratrække, fordi hvert led i den (undtagen den første) er større end i den omvendte kvadratrække. Det kan repræsenteres som en teleskopisk sum :

1+\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right )+\venstre({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\right)+\prikker

Den partielle sum af denne serie er derfor rækken konvergerer, og dens sum er lig med 2. Derfor, ved sammenligning kriterium , og rækken af omvendte kvadrater konvergerer til nogle tal i intervallet (1, 2) [12] . $S_{n}$ $2-{1 \over n},$

For at estimere konvergenshastigheden af delsummer kan man bruge formlen

{\frac {1}{m+1}}=\int \limits _{m+1}^{\infty }{{\frac {1}{t^{2}}}dt}<\ sum _{n=m+1}^{\mathcal {\infty }}{\frac {1}{n^{2}}}<\int \limits _{m}^{\infty }{{\frac {1}{t^{2}}}dt}={\frac {1}{m}}.

Summen i midten af formlen er forskellen mellem serien og dens th delsum, det vil sige den absolutte fejl af delsummen. Det kan ses af formlen, at seriens konvergens er ret langsom - de første tusinde led i serien ( ) giver en rækkefølgefejl , det vil sige i tredje decimal. For at få 6 rigtige tegn skal du tilføje en million medlemmer af serien [13] . $m$ $m=1000$ $10^{-3}$

I 1988 beregnede Roy D. North of Colorado Springs summen af en million led af en række omvendte kvadrater på en computer og opdagede et mærkeligt mønster - den sjette decimal er, som man kunne forvente, fejlagtig, men de følgende 6 cifre er korrekte. Så er ét tegn forkert, og efter det er fem cifre igen korrekte:

Samlet rækkesum ( ) $\pi ^{2}/6$	1,64493 4 066848 2 26436 472415166646025189218949901…
Delvis sum af en million medlemmer	1,64493 3 066848 7 26436 305748499979391855885616544…
Fejl	0,0000009999995000001666666666666333333333333357…

Denne fejl kan repræsenteres som summen

10^{-6}-{\frac {1}{2}}10^{-12}+{\frac {1}{6}}10^{-18}-{\frac {1} {30}}10^{-30}+{\frac {1}{42}}10^{-42}+\dots \,,

hvor koefficienterne ved 10 potenser er Bernoulli-tallene [13] . Beviset for dette faktum kan findes i papiret fra 1989 af Borwein, Borwein og Dilcher [14] .

Eulers første metode til at finde summen af en serie

Ved slutningen af det 17. århundrede, takket være Newtons og andre matematikeres arbejde, var serieudvidelsen af sinusfunktionen kendt :

\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7} }{7!}}+\prikker

Euler formåede at opnå endnu en udvidelse af sinus - ikke til en sum, men til et uendeligt produkt [15] :

\sin x=x\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {x^ {2}}{4\pi ^{2}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdot \ venstre(1-{\frac {x^{2}}{16\pi ^{2}}}\right)\cdot \dots

Ved at sidestille begge udtryk og reducere med kan du få: $x,$

\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{4\ pi ^{2}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{16\pi ^{2}}}\right)\cdot \dots =1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{ 4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\dots

(en)

Da denne identitet gælder for alle , skal koefficienterne for i begge dens dele være ens: $x,$ $x^{2}$

-{\frac {1}{\pi ^{2}}}-{\frac {1}{4\pi ^{2}}}-{\frac {1}{9\pi ^{2 ))}-{\frac {1}{16\pi ^{2}}}-\dots =-{\frac {1}{6}}.

Ved at gange begge sider af ligheden med kan vi endelig få [16] : $-\pi ^{2},$

{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\ frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}.

Den angivne metode er baseret på udvidelsen af sinus til et uendeligt produkt, men Euler gav ikke denne udvidelse en ordentlig begrundelse, idet han begrænsede sig til at henvise til det faktum, at både venstre og højre del, betragtet som polynomier , har det samme rødder: Johann og Daniil Bernoulli påpegede urigtigheden af en sådan afledning, da den kun gælder for polynomier af endelig grad, og ikke for uendelige rækker. I denne henseende offentliggjorde Euler adskillige flere metoder til summering, begrundet mere strengt og førende til det samme resultat [11] . Ikke desto mindre viste den angivne udvidelse sig at være sand og blev efterfølgende bevist [17] . $0,\pm \pi ,\pm 2\pi ,\pm 3\pi ,\pm 4\pi \dots$

Eulers anden metode

I 1741 tog Euler hensyn til ovenstående kritik af sin oprindelige metode og offentliggjorde en anden summeringsmetode baseret på serieintegration [18] . Til dette betragter vi et integral af formen

E=\int \limits _{0}^{1}{{\frac {\arcsin x}{\sqrt {1-x^{2))))\ dx}=\int \limits _{ 0}^{1}{\arcsin x\ d\arcsin x}={\frac {\pi ^{2}}{8}}.

For at beregne integralet kan du bruge udvidelsen af arcsine i en serie på intervallet : $[0,1]$

\arcsin x=x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!))\cdot {\frac {x^{ 2n+1}}{2n+1}}.

Denne serie konvergerer ensartet , og den kan integreres term for term:

E=\int \limits _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2))))\ dx+\sum _{n=1}^{\ infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!(2n+1)}}\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2n+1} }{\sqrt {1-x^{2}}}}\ dx.

Det første integral er , og det andet efter substitution viser sig at være lig herfra: $en$ $x=\sin t$ ${\textstyle {\frac {(2n)!!}{(2n+1)!!)),}$

E=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2))}=\sum _{n=1}^{\ infty }{\frac {1}{(2n-1)^{2}}}.

Denne sum indeholder de omvendte kvadrater af ulige tal. Den nødvendige sum af rækken af omvendte kvadrater består af to dele, hvoraf den første er lig og den anden indeholder de omvendte kvadrater af lige tal: $S$ $E,$

S={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+ {\frac {1}{4^{2}}}+\dots =E+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{ \frac {1}{6^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{8}}+{1 \over 4}S.

Det er der ${3 \over 4}S={\frac {\pi ^{2}}{8)),$ $S={\frac {\pi ^{2}}{6}}.$

Alternative måder at finde summen på

Fourier-serien

En af de enkleste metoder til at opnå denne sum er at bruge Fourier-seriens udvidelse af funktionen . For en jævn funktion har denne udvidelse formen [19] $f(x)=x^{2}$

f(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nx.

Koefficienterne beregnes efter standardformler: $a_n$

a_{0}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }x^{2}dx={\pi ^{2} \ over 3};\quad a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }x^{2}\cos(nx)dx=( -1)^{n}{\frac {4}{n^{2}}}.

Som et resultat antager nedbrydningen formen [19]

x^{2}={\pi ^{2} \over 3}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {4\cos( nx)}{n^{2}}}.

At indsætte en værdi i denne formel giver resultatet $x=\pi$

\pi ^{2}={\pi ^{2} \over 3}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {4(- 1)^{n}}{n^{2}}},

eller

{2 \over 3}\pi ^{2}=4\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2))}.

Det endelige resultat opnås [19] ved at dividere begge sider med 4.

Hvis du i stedet for at erstatte , får en alternerende sum: $x=\pi$ $x=0,$

{\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\ frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-\dots ={\pi ^{2} \over 12}.

En anden måde at løse problemet på gennem Fourier-analyse er at bruge Parsevals lighed for funktionen $f(x)=x.$

Nedbrydningsmetode for hyperbolsk cotangens

Denne metode giver dig mulighed for at finde summen for alle serier af inverse lige potenser:

S_{2n}=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m^{2n))}.

Den er baseret på to ekspansionsformler for den hyperbolske cotangens . Den første [20] er gyldig for : $|x|<1$

\pi x\cdot \operatornavn {cth} (\pi x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}S_{2n}x ^{2n}.

Den anden formel [21] relaterer den hyperbolske cotangens til Bernoulli-tallene : $B_{n}$

\pi x\cdot \operatornavn {cth} (\pi x)=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2\pi )^{2n}B_{n }}{(2n)!}}x^{2n}

Ligestilling af koefficienterne ved de samme potenser giver en formel til at forbinde summen af rækken med Bernoulli-tallene: $x$

B_{n}=(-1)^{n-1}{\frac {2(2n)!}{(2\pi )^{2n))}S_{2n}.

Især det første resultat opnås, når man overvejer at tage hensyn $n=1$ ${\textstyle B_{1}={1 \over 6}.}$

Andre tilgange

I artiklen af K. P. Kokhas [16] er der givet flere forskellige måder at summere en serie på: gennem integraler , komplekse rester , gammafunktion , ekspansion af arcsine eller cotangens , kvadrering af Leibniz-serien . En anden samling af summeringsmetoder præsenteres i Chapmans papir [22] .

En interessant fysisk-geometrisk repræsentation af summeringen af en række omvendte kvadrater præsenteres i en artikel af Johan Westlund [23] og i et videoforedrag på YouTube-kanalen 3Blue1Brown [24] .

Variationer og generaliseringer

Baseret på formlen ( 1 ), beregnede Euler summerne ikke kun for en række inverse kvadrater, men også for rækker af andre lige potenser, op til den 26., for eksempel [2] :

{\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\ frac {1}{4^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+\dots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}),

{\frac {1}{1^{6}}}+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+{\ frac {1}{4^{6}}}+{\frac {1}{5^{6}}}+\dots ={\frac {\pi ^{6}}{945}}

osv. Euler fandt også ud af, at summen af sådanne serier er relateret til Bernoulli-tallene som følger [9] : $B_{{n}}$

S_{2k}=(-1)^{k-1}{\frac {(2\pi )^{2k}}{2(2k)!}}B_{2k}.

Euler opsummerede også en modifikation af en række inverse kvadrater indeholdende (i nævnere) kvadrater eller andre lige potenser af ulige tal [25] ; seriens summer viste sig også at være relateret til antallet $\pi.$

For rækker af ulige potenser er det teoretiske udtryk for deres summer stadig ikke kendt. Det er kun blevet bevist, at summen af en række af inverse terninger ( Aperis konstant ) er et irrationelt tal [2] .

Hvis vi betragter eksponenten i den generelle række af inverse potenser som en variabel (ikke nødvendigvis heltal), så får vi Riemann zeta-funktionen , som spiller en enorm rolle i analyse og talteori:

\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s))}.

Så summen af den omvendte kvadratrække er $\zeta (2).$

De første undersøgelser af zeta-funktionens egenskaber blev udført af Euler. I 1748 udgav han monografien "Introduktion til analyse af infinitesimals", hvor han beviste " Euler-identiteten " [26] :

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{- s}}},

hvor produktet overtages alle primtal Denne lighed spillede en stor rolle i udviklingen af analytisk talteori , den var baseret på Chebyshevs og Riemanns studier om fordelingen af primtal i den naturlige række. I 1859 udkom Riemanns dybe arbejde, som udvidede definitionen af zeta-funktionen til det komplekse domæne . Riemann overvejede i detaljer sammenhængen mellem zeta-funktionen og fordelingen af primtal [26] . $s.$

I 1768 foreslog Euler en anden generalisering af den omvendte kvadratrække, Euler -dilogaritmen [27] :

\operatorname {Li} _{2}(x)=-\int _{0}^{x}{\frac {\ln(1-t)}{t))\,\mathrm {d} t={\frac {x^{1}}{1^{2}}}+{\frac {x^{2}}{2^{2}}}+{\frac {x^{3}} {3^{2}}}+\dots

Nogle applikationer

Summen af en række omvendte kvadrater, det optræder også i mange problemer i talteori. $\zeta (2),$

Summen af divisorer af et naturligt tal vokser i gennemsnit [28] som en lineær funktion . $N$ $\zeta (2)\cdot N$

Sandsynligheden for, at to tilfældigt udvalgte naturlige tal i intervallet fra 1 viser sig at være coprime , har en tendens til Med andre ord er den gennemsnitlige tæthed af coprime tal i talrækken [29] lig med $N$ $N$ ${\textstyle 1/\zeta(2).}$ ${\textstyle 1/\zeta(2).}$

Lad være antallet af kvadratfrie naturlige tal i intervallet fra 1 til Det opfylder den omtrentlige formel [30] [31] [32] $Q(x)$ $x.$

Q(x)\ca. {\frac {x}{\zeta (2)))

Kumulativ Euler-funktion

\Phi (n):=\sum _{k=1}^{n}\varphi (k),\quad n\in \mathbf {N} ,

hvor er Euler-funktionen , har følgende asymptotik [33] : $\varphi (n)$

\Phi (n)\sim {\frac {1}{2\zeta (2)}}\cdot n^{2}+O\left(n\log n\right).

Noter

↑ Stewart, Ian . Professor Stewarts utrolige tal = Professor Stewarts utrolige tal. - M . : Alpina faglitteratur, 2016. - S. 222-223. — 422 s. - ISBN 978-5-91671-530-9 .
↑ 1 2 3 4 Derbyshire, 2010 , s. 90-92, 103-109.
↑ 1 2 Sofo, Anthony. Basel-problemet med en udvidelse . Hentet: 3. august 2020. (ubestemt)
↑ Leonhard Eulers biografi (utilgængeligt link) . Hentet 16. april 2016. Arkiveret fra originalen 17. marts 2008. (ubestemt)
↑ Euler et le problemème de Bale . Hentet 5. august 2020. Arkiveret fra originalen 23. januar 2021. (ubestemt)
↑ Poya D. Matematik og plausible ræsonnementer. - Ed. 2., rettet. - M . : Nauka, 1975. - S. 40.
↑ Leonhard Euler. Desummis serierum reciprocarum . Dato for adgang: 17. april 2016. (ubestemt)
↑ Navarro, Joaquin. Op til grænsen af antal . Hentet 10. august 2016. Arkiveret fra originalen 15. september 2016. (ubestemt)
↑ 1 2 History of Mathematics, bind III, 1972 , s. 337.
↑ Derbyshire, 2010 , s. 92.
↑ 1 2 Vileitner G. Matematikkens historie fra Descartes til midten af det 19. århundrede. - M. : GIFML, 1960. - S. 143-144. — 468 s.
↑ 1 2 Vorobyov N. N. Serieteori . - 4. udg. - M . : Nauka, 1979. - S. 52 . — 408 s. - (Udvalgte kapitler i højere matematik for ingeniører og studerende fra videregående uddannelsesinstitutioner).
↑ 1 2 Aigner, Ziegler, 2006 , s. 49.
↑ Borwein, Borwein, Dilcher, 1989
↑ Antonio Duran, 2014 , s. 109-114.
↑ 1 2 Kokhas K.P., 2004 .
↑ Fikhtengolts G. M., 1966 , s. 374-376.
↑ Fikhtengolts G. M., 1966 , s. 671.
↑ 1 2 3 Fikhtengolts G. M. Forløb af differential- og integralregning. - Ed. 3. - M . : Nauka, 1963. - T. III. - S. 443, 451. - 656 s.
↑ Fikhtengolts G. M., 1966 , s. 484.
↑ Fikhtengolts G. M., 1966 , s. 495-496.
↑ Robin Chapman .
↑ Wästlund, Johan. Summering af omvendte kvadrater ved euklidisk geometri . Hentet 6. august 2020. Arkiveret fra originalen 24. februar 2020. (ubestemt)
↑ Hvorfor er pi her? Og hvorfor er det firkantet? Et geometrisk svar på Basel-problemet på YouTube
↑ Zhukov A. V. Det allestedsnærværende tal "pi". - 2. udg. - M . : Forlaget LKI, 2007. - S. 145. - 216 s. - ISBN 978-5-382-00174-6 .
↑ 1 2 Otradnykh F.P. Matematik fra det 18. århundrede og akademiker Leonhard Euler. - M . : Sovjetvidenskab, 1954. - S. 33. - 39 s.
↑ Leonhard Euler , Institutions calculi integrals
↑ Arnold V. I. Dynamik, statistik og projektiv geometri af Galois-felter. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 70. - 72 s.
↑ Cohen E. Aritmetiske funktioner forbundet med vilkårlige sæt af heltal // Acta Arithmetica . - 1959. - Bd. 5 . - S. 407-415 . Arkiveret 2. maj 2019. (Se også artiklens note: Errata Arkiveret 14. august 2020 på Wayback Machine . Bemærk henviser til "Corollary 3.3" på s. 413).
↑ Jia C.-H. Fordelingen af kvadratfrie tal (engelsk) // Videnskab i Kina. Serie A - Matematik, Fysik, Astronomi og Teknologisk Videnskab. - 1993. - Bd. 36 , udg. 2 . - S. 154-169 . doi : 10.1360 /ya1993-36-2-154 .
↑ Pappalardi F. En undersøgelse om k -frihed // Talteori. Forløb af konferencen i analytisk talteori til ære for prof. Subbarao (engelsk) / Vol. Udg.: SD Adhikari, R. Balasubramanian, K. Srinivas. - Mysore: Ramanujan Mathematical Society, 2002. - S. 77-88. — 161 s. - (Forelæsningsnoteserie: Nummer 1). — ISBN 9788190254510 .
↑ Sinha K. Gennemsnitlige rækkefølger af visse aritmetiske funktioner // Journal of the Ramanujan Mathematical Society. - 2006. - Bd. 21 , udg. 3 . - S. 267-277 . Arkiveret fra originalen den 14. februar 2012.
↑ Weisstein, Eric W. Totient Summatory Function (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .

Litteratur

Aigner M. , Ziegler G. Beviser fra bogen . Det bedste bevis fra Euklids tid til i dag. - M . : Mir, 2006. - S. 49 . — 256 s. — ISBN 5-03-003690-3 .
Derbyshire, John. Simpel besættelse. Bernhard Riemann og det største uløste problem i matematik. - Astrel, 2010. - S. 90-92, 103-109. — 464 s. — ISBN 978-5-271-25422-2 .
Duran, Antonio. Poesi af tal. Fint og matematik. — M .: De Agostini, 2014. — 160 s. — (Matematikkens verden: i 45 bind, bind 27). — ISBN 978-5-9774-0722-9 .
Matematik i det 18. århundrede // Matematikkens historie / Redigeret af A.P. Yushkevich , i tre bind. - M . : Nauka, 1972. - T. III.
Fikhtengol'ts G. M. Forløb af differential- og integralregning. - udg. 6. - M . : Nauka, 1966. - T. II. - S. 461-462, 490, 496, 671. - 800 s. - ISBN 5-9221-0155-2 .
Borwein J. M., Borwein P. B., Dilcher K. Pi, Euler-tal og asymptotiske udvidelser // Amer. Matematik. Månedlige. - 1989. - Nr. 96. - S. 681-687.

Links

Kokhas K. P. Summen af inverse kvadrater // Matematisk uddannelse. - 2004. - Udgave. 8 . — S. 142–163 .
Sobolevsky A., doktor i fys.-matematik. Videnskaber (IPPI RAS). Omkring Basel-problemet: Bernoulli, Euler, Riemann (2014). - videoforedrag. Hentet: 24. maj 2016. (ubestemt)
Chapman, Robin. Evaluering af ζ(2) (engelsk) (1999). Dato for adgang: 17. april 2016.
Pengelley DJ Danser mellem kontinuerligt og diskret: Eulers summeringsformel (engelsk) (link ikke tilgængeligt) . Euler 2K+2 konference, Rumford, Maine (2002). Hentet 17. april 2016. Arkiveret fra originalen 9. august 2017.
Weisstein EW Riemann Zeta Funktion zeta(2 ) . MathWorld - En Wolfram-webressource. Dato for adgang: 17. april 2016.

Sekvenser og rækker
Sekvenser	Numerisk rækkefølge Grundlæggende rækkefølge Lineær tilbagevendende sekvens Fibonacci-tal krøllede tal Faktoriel Barker-sekvens de bruijn rækkefølge
Rækker, grundlæggende	Rækkesum Resten af rækken Betinget konvergens Skiftende serie Række multisektion
Talserier ( operationer med talserier )	harmoniske serier Leibniz-serien En række omvendte firkanter En række gensidige primtal Dirichlet række Mercator serien Række Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funktionelle rækker	Taylor-serien Laurent-serien Fourier-serien Trigonometrisk Fourier-serie trigonometriske serier Wiener-serien
Andre rækketyper	Neumann-serien Puiseux række