Almindelig polyeder

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 7. september 2021; checks kræver 3 redigeringer .

Et regulært polyeder eller platonisk fast stof er et konveks polyeder , der består af identiske regulære polygoner og har rumlig symmetri.

Definition

Et polyeder kaldes regulært , hvis:

den er konveks;
alle dens ansigter er lige regulære polygoner ;
det samme antal kanter konvergerer ved hver af dens toppunkter .

Liste over regulære polyedre

I det tredimensionelle euklidiske rum er der kun fem regulære polyedre [1] (ordnet efter antallet af ansigter):

almindelig polyeder	Antal hjørner	Antal kanter	Antal ansigter	Antal sider på et ansigt	Antal kanter, der støder op til et toppunkt	Type af rumlig symmetri
Tetraeder	fire	6	fire	3	3	T d
Hexahedron	otte	12	6	fire	3	Åh h
Oktaeder	6	12	otte	3	fire	Åh h
Dodekaeder	tyve	tredive	12	5	3	jeg h
icosahedron	12	tredive	tyve	3	5	jeg h

Navnet på hvert polyeder kommer fra det græske navn for antallet af dets ansigter og ordet "ansigt".

Historie

Regelmæssige polyedre har været kendt siden oldtiden. Deres ornamentale mønstre kan findes på udskårne stenkugler fra den sene neolitiske periode i Skotland , mindst 1000 år før Platon . I de terninger, som folk spillede med i civilisationens morgen, gættes formerne af regulære polyeder allerede.

I vid udstrækning blev regulære polyedre studeret af de gamle grækere . Nogle kilder (såsom Proclus Diadochus ) tilskriver Pythagoras æren af deres opdagelse . Andre hævder, at kun tetraederet, terningen og dodekaederet var kendt for ham, og æren ved at opdage oktaederet og icosahedron tilhører Theaetetus fra Athen , en samtidig med Platon. Under alle omstændigheder gav Theaetetus en matematisk beskrivelse af alle fem regulære polyedre og det første kendte bevis på, at der er præcis fem.

Regelmæssige polyedre er karakteristiske for Platons filosofi , efter hvem de fik navnet "platoniske faste stoffer". Platon skrev om dem i sin afhandling Timaeus (360 f.Kr.), hvor han sammenlignede hvert af de fire grundstoffer (jord, luft, vand og ild) med et bestemt regulært polyeder. Tetraederet svarede til ild, hexaederet til jorden, oktaederet til luft og icosahedronet til vand. Disse sammenligninger blev forklaret af følgende associationer: ildvarmen mærkes klart og skarpt, som tetraedriske pyramider; oktaederets mindste luftkomponenter er så glatte, at de næsten ikke kan mærkes; vand vælter ud, når det tages i hånden, som om det var lavet af mange små kugler, som ikosaeder er tættest på; i modsætning til vand udgør hexahedron-terningerne, helt ulig kuglen, jorden, som får jorden til at smuldre i hænderne, i modsætning til den jævne vandstrøm. Med hensyn til det femte element, dodekaederet, fremsatte Platon en vag bemærkning: "... Gud definerede det for universet og greb det som model."

Aristoteles tilføjede et femte element, æter , og postulerede, at himlen var lavet af dette element, men han sidestillede det ikke med Platons femte element.

Euklid gav en komplet matematisk beskrivelse af regulære polyedre i den sidste, XIII bog af begyndelsen . Propositionerne 13-17 i denne bog beskriver strukturen af tetraeder, oktaeder, terning, icosahedron og dodecahedron i denne rækkefølge. For hvert polyeder fandt Euklid forholdet mellem diameteren af den omskrevne kugle og længden af kanten. Proposition 18 siger, at der ikke er andre regulære polyedre. Andreas Speiser, en matematiker ved universitetet i Basel, hævdede, at konstruktionen af fem regulære polyedre er hovedmålet for det deduktive system af geometri, som det blev skabt af grækerne og kanoniseret i Euklids elementer [2] . Meget af informationen i Elementernes Bog XIII kan være kommet fra Theaetetus' skrifter.

I det 16. århundrede forsøgte den tyske astronom Johannes Kepler at finde en forbindelse mellem de fem planeter i solsystemet, der var kendt på det tidspunkt (ekskl. Jorden) og regulære polyedre. I The Secret of the World , udgivet i 1596, lagde Kepler sin model af solsystemet. I den blev fem regulære polyedre placeret den ene inde i den anden og adskilt af en række indskrevne og omskrevne kugler. Hver af de seks sfærer svarede til en af planeterne ( Merkur , Venus , Jorden , Mars , Jupiter og Saturn ). Polyedrene var arrangeret i følgende rækkefølge (fra indre til ydre): oktaeder, efterfulgt af icosahedron, dodecahedron, tetrahedron og til sidst terningen. Således blev solsystemets struktur og forholdet mellem afstande mellem planeterne bestemt af regulære polyedre. Senere måtte Keplers oprindelige idé opgives, men resultatet af hans søgen var opdagelsen af to love for orbital dynamik - Keplers love - som ændrede fysikkens og astronomiens forløb, såvel som regulære stjerneformede polyedre ( Kepler-Poinsot kroppe ) .

Kombinatoriske egenskaber

Euler udledte en formel, der relaterer antallet af hjørner (B), flader (G) og kanter (P) af ethvert konveks polyeder ved en simpel relation : C + D = P + 2.

Forholdet mellem antallet af hjørner af et regulært polyeder og antallet af kanter på en af dets flader er lig med forholdet mellem antallet af flader af det samme polyeder og antallet af kanter, der kommer ud fra en af dets spidser. For tetraeder er dette forhold 4:3, for hexahedron og oktaeder er det 2:1, og for dodecahedron og icosahedron er det 4:1.

Et regulært polyeder kan beskrives kombinatorisk med Schläfli-symbolet { p , q }, hvor: p er antallet af kanter i hver flade; q er antallet af kanter, der konvergerer ved hvert toppunkt.

Schläfli-symbolerne for regulære polyedre er angivet i følgende tabel:

Polyeder	Toppe	ribben	Facetter	Schläfli symbol
tetraeder	fire	6	fire	{3, 3}
sekskant (terning)	otte	12	6	{4, 3}
oktaeder	6	12	otte	{3, 4}
dodekaeder	tyve	tredive	12	{5, 3}
icosahedron	12	tredive	tyve	{3, 5}

Et andet kombinatorisk kendetegn ved et polyeder, som kan udtrykkes ved tallene p og q , er det samlede antal hjørner (B), kanter (P) og flader (D). Da enhver kant forbinder to hjørner og ligger mellem to flader, gælder følgende relationer: $p\Gamma =2{\mbox{P}}=q{\mbox{B}}.$

Fra disse relationer og Euler-formlen kan vi få følgende udtryk for V, P og G:

{\mbox{B}}={\frac {4p}{4-(p-2)(q-2))),\quad {\mbox{P}}={\frac {2pq}{4-( p-2)(q-2))),\quad \Gamma ={\frac {4q}{4-(p-2)(q-2))).

Geometriske egenskaber

Vinkler

Hvert regulært polyeder har visse vinkler forbundet med det, der karakteriserer dets egenskaber. Den dihedriske vinkel mellem tilstødende flader af et regulært polyeder {p, q} er givet ved:

$\sin {\theta \over 2}={\frac {\cos(\pi /q)}{\sin(\pi /p))).$

Nogle gange er det mere bekvemt at bruge udtrykket gennem tangenten :

\operatørnavn {tg}\,{\frac {\theta }{2}}={\frac {\cos(\pi /q)}{\sin(\pi /h))),

hvor tager værdierne 4, 6, 6, 10 og 10 for henholdsvis tetraeder, terning, octahedron, dodecahedron og icosahedron. $h$

Hjørnedefekten ved toppunktet af et polyeder er forskellen mellem 2π og summen af vinklerne mellem kanterne på hver flade ved det toppunkt. Defekt ved ethvert toppunkt af et regulært polyeder: $\delta$

\delta =2\pi -q\pi \venstre(1-{2 \over p}\højre).

Ifølge Descartes' sætning er det lig divideret med antallet af hjørner (det vil sige, at den samlede defekt for alle hjørner er lig ). $4\pi$ $4\pi$

Den tredimensionelle analog af en plan vinkel er rumvinklen . Rumvinklen Ω ved toppunktet af et regulært polyeder er udtrykt som den dihedriske vinkel mellem tilstødende flader af dette polyeder med formlen:

\Omega =q\theta -(q-2)\pi .

Den rumfangsvinkel, der er dækket af en flade af et regulært polyeder, med dets toppunkt i midten af dette polyeder, er lig med den fulde sfæres vinkel ( steradian) divideret med antallet af flader. Det er også lig med vinkeldefekten af polyederet, der er dobbelt til den givne. $4\pi$

Forskellige vinkler af regulære polyedre er angivet i følgende tabel. Numeriske værdier af solide vinkler er angivet i steradianer . Konstanten er det gyldne snit . $\varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

Polyeder	Dihedral vinkel θ	$\operatørnavn {tg}{\frac {\theta }{2}}$	Flad vinkel mellem kanter ved toppunktet	Hjørnedefekt (δ)	Vertex solid vinkel (Ω)		Solid vinkel fratrukket af et ansigt
tetraeder	70,53°	${1 \over {{\sqrt 2}}}$	60°	$\pi$	$\arccos \left({\frac {23}{27}}\right)$	$\ca. 0,551286$	$\pi$
terning	90°	en	90°	${\pi \over 2}$	${\frac {\pi }{2))$	$\ca. 1,57080$	${2\pi \over 3}$
oktaeder	109,47°	√2	60°, 90°	${{2\pi } \over 3}$	$4\arcsin \left({1 \over 3}\right)$	$\ca. 1,35935$	${\pi \over 2}$
dodekaeder	116,57°	$\varphi$	108°	${\pi \over 5}$	$\pi -\operatørnavn {arctg}\left({\frac {2}{11}}\right)$	$\ca. 2,96174$	${\pi \over 3}$
icosahedron	138,19°	$\varphi ^{2}$	60°, 108°	${\pi \over 3}$	$2\pi -5\arcsin \left({2 \over 3}\right)$	$\ca. 2,63455$	${\pi \over 5}$

Radier, arealer og volumener

Tre koncentriske sfærer er forbundet med hvert regulært polyeder:

Den omskrevne kugle går gennem polyederens hjørner;
Mediankugle, der rører hver af dens kanter i midten;
En indskrevet kugle, der tangerer hver af dens flader i midten.

Radierne af de omskrevne ( ) og indskrevne ( ) kugler er givet ved formlerne: $R$ $r$

R={a \over 2}\cdot \operatørnavn {tg}{\frac {\pi}{q))\cdot \operatørnavn {tg}{\frac {\theta }{2))

r={a \over 2}\cdot \operatornavn {ctg}{\frac {\pi }{p}}\cdot \operatornavn {tg}{\frac {\theta }{2)),

hvor θ er den dihedriske vinkel mellem tilstødende flader af polyederet. Radius af den midterste kugle er givet ved formlen:

\rho ={\frac {a\cos(\pi /p)}{2\sin(\pi /h))),

hvor h er værdien beskrevet ovenfor ved bestemmelse af dihedriske vinkler (h = 4, 6, 6, 10 eller 10). Forholdet mellem de omskrevne radier og de indskrevne radier er symmetriske med hensyn til p og q:

{R \over r}=\operatørnavn {tg}{\frac {\pi }{p}}\cdot \operatørnavn {tg}{\frac {\pi }{q}}.

Overfladearealet S af et regulært polyeder {p, q} beregnes som arealet af en regulær p-gon ganget med antallet af flader Г:

S=\venstre({a \over 2}\højre)^{2}\Gamma p\,\operatørnavn {ctg}{\frac {\pi}{p)).

Volumenet af et regulært polyeder beregnes som volumenet af en regulær pyramide ganget med antallet af flader , hvis basis er en regulær p-gon, og højden er radius af den indskrevne kugle r:

V={1\over 3}rS.

Tabellen nedenfor indeholder en liste over forskellige radier, overfladearealer og volumener af regulære polyedre. Kantlængdeværdien a i tabellen er lig med 2.

Polyeder ( a = 2)	Radius af den indskrevne kugle ( r )	Median sfæreradius (ρ)	Radius af den omskrevne kugle ( R )	Overfladeareal ( S )	Volumen ( V )
tetraeder	${1 \over {{\sqrt 6}}}$	${1 \over {{\sqrt 2}}}$	${\sqrt {3 \over 2}}$	$4{\sqrt 3}$	${\frac {2{\sqrt 2}}{3}}$
terning	$en$	${\sqrt {2}}$	${\sqrt {3}}$	$24$	$otte$
oktaeder	${\sqrt {2 \over 3}}$	$en$	${\sqrt {2}}$	$8{\sqrt 3}$	${\frac {8{\sqrt 2}}{3}}$
dodekaeder	${\frac {\varphi ^{2}}{\xi }}$	$\varphi ^{2}$	${\sqrt 3}\,\varphi$	$60{\frac {\varphi }{\xi }}$	$20{\frac {\varphi ^{3}}{\xi ^{2}}}$
icosahedron	${\frac {\varphi ^{2}}{{\sqrt 3}}}$	$\varphi$	$\xi \varphi$	$20{\sqrt 3}$	${\frac {20\varphi ^{2}}{3}}$

Konstanterne φ og ξ er givet ved udtrykkene

\varphi =2\cos {\pi \over 5}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\qquad \xi =2\sin {\pi \over 5} ={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=5^{1/4}\varphi ^{-1/2}={\sqrt {3-\varphi } }.

Blandt almindelige polyedre repræsenterer både dodecahedron og icosahedron den bedste tilnærmelse til en kugle. Ikosaederet har det største antal flader, den største dihedriske vinkel og er mest presset mod sin indskrevne kugle. På den anden side har dodekaederet den mindste vinkeldefekt, den største rumvinkel ved toppunktet, og fylder dens omskrevne kugle så meget som muligt.

I højere dimensioner

Der er seks regulære polyedre (polyedre) i firedimensionelt rum :

Fem-celler	tesseract	Hexadecimal celle	fireogtyve celler	120 celler	Seks hundrede celler

Der er tre regulære polyedre ( polytoper ) i hvert af de højere dimensionelle rum : $n>4$

n-dimensional regulær simplex
n-dimensionel hyperkube
n-dimensional hyperoktaeder

Se også

Noter

↑ Selivanov D. F. ,. Geometrisk krop // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 bind (82 bind og 4 yderligere). - Sankt Petersborg. , 1890-1907.
↑ Hermann Weil. "Symmetri". Oversættelse fra engelsk af B. V. Biryukov og Yu. A. Danilov, redigeret af B. A. Rosenfeld. Forlaget "Science". Moskva. 1968. s. 101

Links

Smirnov E. Yu. Coxeter-grupper og almindelige polyeder // Sommerskole "Modern Mathematics". - Dubna, 2008.
Weisstein, Eric W. Platonic Solids (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
Fans af matematik/geometri . (Engelsk)
Papirmodeller af almindelige polyedre . (Engelsk)
Videnskab/geometri/platoniske og arkimedeiske faste stoffer . (Engelsk)
Platoniske, arkimediske faste stoffer, prismer, Kepler-Poinsot-faste stoffer og afkortede Kepler-Poinsot-faste stoffer . (Engelsk)
M. Wenninger . polyedre modeller. - Moskva: Mir, 1974. - 236 s.
Gonchar VV Modeller af polyeder . - Moskva: Akim, 1997. - 64 s. — ISBN 5-85399-032-2 .
Gonchar V. V., Gonchar D. R. Modeller af polyedre . - Rostov ved Don: Phoenix, 2010. - 143 s. — ISBN 978-5-222-17061-8 .

Ordbøger og encyklopædier	Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	GND : 4046302-3

Polyeder

korrekt

Tredimensionelle (platoniske faste stoffer)	almindelig tetraeder terning Oktaeder Dodekaeder icosahedron
4D	Fem-celler tesseract Hexadecimal celle fireogtyve celler 120 celler Seks hundrede celler
Større dimension (angivet i parentes)	Almindelig simplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) Hyperoktaeder

Regelmæssig
ikke-konveks

Tredimensionel ved antallet af
ansigter (angivet i parentes)

Monohedron (1)
Dihedron (2)
Trihedron (3)
Tetraeder (4)
Pentahedron (5)
Hexahedron (6)
Heptahedron (7)
Oktaeder (8)
Enneahedron (9)
Dekaeder (10)
Endecahedron (11)
Dodekaeder (12)
Tridecahedron (13)
Tetradecahedron (14)
Pentadekaeder (15)
Hexadekaeder (16)
Heptadekaeder (17)
Octadecahedron (18)
Enneadekaeder (19)
Icosahedron (20)
Icosotetrahedron (24)
Triacontahedron (30)
Hexacontahedron (60)
Enneacontahedron (90)
Hectotriadiohedron (132)
Apeirohedron (∞)

konveks

Arkimediske faste stoffer

catalanske kroppe

Prismer
trekantet prisme firkantet prisme Femkantet prisme Sekskantet prisme Heptagonal prisme Ottekantet prisme Ni-vinklet prisme Tikantet prisme Ellevvinklet prisme Todekagonalt prisme

Johnson polyeder

Formler ,
teoremer ,
teorier

Andet