Femkantet hexecontahedron

Det femkantede hexecontahedron (fra andet græsk πέντε - "fem", γωνία - "vinkel", ἑξήκοντα - "tres" og ἕδρα - "ansigt") er et semi-regulært polyhedron , ( dokatalt polyhedron ) . Består af 60 identiske uregelmæssige femkanter .

Har 92 hjørner. Ved 12 toppunkter (arrangeret på samme måde som toppunkterne i icosahedron ) konvergerer 5 flader i deres spidse vinkler; i 20 spidser (placeret på samme måde som spidserne af dodekaederet ) konvergerer på 3 flader med de stumpe vinkler, der er længere fra det spidse; i de resterende 60 hjørner konvergerer to flader med deres stumpe vinkler tættest på en spids, og en med en stump vinkel langt fra en spids.

12 hjørner er arrangeret på samme måde som hjørnerne af icosahedron
20 toppunkter er arrangeret på samme måde som toppunkterne i dodekaederet

Det femkantede hexecontahedron har 150 kanter - 60 "lange" og 90 "korte".

I modsætning til de fleste andre catalanske faste stoffer er det femkantede hexecontahedron (sammen med det femkantede icositetrahedron ) chiralt og findes i to forskellige spejlsymmetriske (enantiomorfe) versioner - "højre" og "venstre".

Metriske karakteristika og vinkler

Når man bestemmer de metriske egenskaber for et femkantet sekskantet hexecontahedron, skal man løse kubiske ligninger og bruge terningrødder - mens der for achirale catalanske faste stoffer ikke kræves noget mere kompliceret end andengradsligninger og kvadratrødder . Derfor tillader det femkantede hexecontahedron, i modsætning til de fleste andre catalanske faste stoffer, ikke en euklidisk konstruktion . Det samme gælder for det femkantede icositetrahedron, såvel som for dets dobbelte arkimedeiske faste stoffer.

I formlerne nedenfor er konstanten den eneste reelle rod [1] af ligningen $\xi$

8x^{3}+8x^{2}=\Phi ^{2},

hvor er forholdet mellem det gyldne snit ; denne rod er $\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

\xi ={\frac {1}{12}}\left({\sqrt[{3}]{44+12\Phi \,(9+{\sqrt {81\Phi -15))) ))+{\sqrt[{3}]{44+12\Phi \,(9-{\sqrt {81\Phi -15))))))-4\right)\ca. 0{,}4715756.

Hvis de tre "korte" sider af et ansigt har længde , så har de to "lange" sider længde $b$

a={\frac {1+2\xi }{2(1-2\xi ^{2)))))b\approx 1{,}7498526b.

Polyhedronets overfladeareal og volumen udtrykkes derefter som

S={\frac {30(2+3\xi ){\sqrt {1-\xi ^{2)))){1-2\xi ^{2))}\;b^{2 }\ca. 162{,}6989642b^{2},

V={\frac {5(1+\xi )(2+3\xi )}{(1-2\xi ^{2}){\sqrt {1-2\xi ))))\ ;b^{3}\ca. 189{,}7898521b^{3}.

Radius af den indskrevne kugle (der berører alle polyederens flader ved deres incenter ) vil da være lig med

r={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1+\xi }{(1-\xi )(1-2\xi )))}\;b\ca. 3 {,}4995278b,

radius af en halvindskrevet kugle (berører alle kanter) -

\rho ={\sqrt {\frac {1+\xi }{2(1-2\xi )}}}\;b\approx 3{,}5976248b,

radius af cirklen indskrevet i ansigtet -

r_{\Gamma \mathrm {P} }={\sqrt {\rho ^{2}-r^{2))}={\frac {1}{2)){\sqrt {\frac { 1+\xi }{1-\xi }}}\;b\approx 0{,}8343915b,

vender diagonalt parallelt med en af de "korte" sider -

e=(1+2\xi )b\approx 1{,}9431513b.

Det er umuligt at beskrive en kugle omkring et femkantet hexecontahedron, så det passerer gennem alle hjørnerne.

Alle fire stumpe vinkler på ansigtet er ens ; den spidse vinkel på ansigtet (mellem de "lange" sider) er lig med $\arccos \,(-\xi )\approx 118{,}14^{\circ };$ $\arccos \,(8\xi ^{2}-8\xi ^{4}-1)\ca. 67{,}45^{\circ }.$

Den dihedriske vinkel for enhver kant er den samme og lig med $\arccos \,{\frac {\xi }{\xi -1))\ca. 153{,}18^{\circ }.$

Noter

↑ Se rødderne til denne ligning .

Links

Weisstein, Eric W. Pentagonal hexecontahedron hos Wolfram MathWorld .

Polyeder

Korrekt

Tredimensionelle (platoniske faste stoffer)	almindelig tetraeder terning Oktaeder Dodekaeder icosahedron
4D	Fem-celler tesseract Hexadecimal celle fireogtyve celler 120 celler Seks hundrede celler
Større dimension (angivet i parentes)	Almindelig simplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) Hyperoktaeder

Regelmæssig
ikke-konveks

Tredimensionel ved antallet af
ansigter (angivet i parentes)

Monohedron (1)
Dihedron (2)
Trihedron (3)
Tetraeder (4)
Pentahedron (5)
Hexahedron (6)
Heptahedron (7)
Oktaeder (8)
Enneahedron (9)
Dekaeder (10)
Endecahedron (11)
Dodekaeder (12)
Tridecahedron (13)
Tetradecahedron (14)
Pentadekaeder (15)
Hexadekaeder (16)
Heptadekaeder (17)
Octadecahedron (18)
Enneadekaeder (19)
Icosahedron (20)
Icosotetrahedron (24)
Triacontahedron (30)
Hexacontahedron (60)
Enneacontahedron (90)
Hectotriadiohedron (132)
Apeirohedron (∞)

konveks

Arkimediske faste stoffer

catalanske kroppe

Prismer
trekantet prisme firkantet prisme Femkantet prisme Sekskantet prisme Heptagonal prisme Ottekantet prisme Ni-vinklet prisme Tikantet prisme Ellevvinklet prisme Todekagonalt prisme

Johnson polyeder

Formler ,
teoremer ,
teorier

Andet