Oval Cassini

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 15. marts 2022; checks kræver 2 redigeringer .

Cassini-ovalen er en kurve , der er stedet for punkter , produktet af afstandene, hvorfra til to givne punkter (foci) er konstant og lig med kvadratet af et vist tal . Det er et særligt tilfælde af det toriske snit og Perseus-kurven . $-en$

Et særligt tilfælde af Cassini-ovalen med en brændvidde lig med , er Bernoullis lemniscat . $2a$

I moderne tid blev kurven introduceret (genopdaget) af astronomen Giovanni Cassini . Han troede fejlagtigt, at det mere præcist bestemmer Jordens kredsløb end en ellipse [ 1 ] . Selvom denne linje kaldes Cassini- ovalen , er den ikke altid oval (se nedenfor - Formegenskaber ).

Variationer (andre tilfælde)

Kurve af konstant sum af afstande til to givne punkter - ellipse , konstant forhold - cirkel af Apollonius , konstant forskel - hyperbel .

Ligninger

Afstand mellem brændpunkter . $2c$

I rektangulære koordinater :

\tekststil (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}

Konklusion
Fokuserer - og . Tag et vilkårligt punkt , find afstanden fra brændpunkterne til det, og lig det med : $F_{1}(-c;0)$ $F_{2}(c;0)$ $M(x;y)$ $a^2$ $\textstyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\cdot {\sqrt {(xc)^{2}+y^{2}}}=a^{2}$ Vi kvadrerer begge sider af ligningen: $\textstyle {\Big (}(x+c)^{2}+y^{2}{\Big )}\cdot {\Big (}(xc)^{2}+y^{2}{\Big )}=a^{4}$ Udvid beslagene i venstre side: $\tekststil (x^{2}-c^{2})^{2}+y^{4}+2y^{2}(x^{2}+c^{2})=a^{4}$ Vi åbner parenteserne, kollapser den nye kvadrat af summen og tager den fælles faktor ud: $\tekststil (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}$

Konklusion

Fokuserer - og . Tag et vilkårligt punkt , find afstanden fra brændpunkterne til det, og lig det med :

F_{1}(-c;0)

F_{2}(c;0)

M(x;y)

a^2

\textstyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\cdot {\sqrt {(xc)^{2}+y^{2}}}=a^{2}

Vi kvadrerer begge sider af ligningen:

\textstyle {\Big (}(x+c)^{2}+y^{2}{\Big )}\cdot {\Big (}(xc)^{2}+y^{2}{\Big )}=a^{4}

Udvid beslagene i venstre side:

\tekststil (x^{2}-c^{2})^{2}+y^{4}+2y^{2}(x^{2}+c^{2})=a^{4}

Vi åbner parenteserne, kollapser den nye kvadrat af summen og tager den fælles faktor ud:

\tekststil (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}

Eksplicit ligning i rektangulære koordinater:

\textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {a^{4}+4c^{2}x^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}

Konklusion
$\tekststil (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}$ Vi firkanter og åbner parenteserne: $\textstyle x^{4}+2x^{{2}}y^{2}+y^{4}-2c^{{2}}x^{2}+2c^{{2}}y^{ 2}=a^{4}-c^{4}$ Vi tænker på $\textstyle y^{4}+2y^{{2}}(x^{2}+c^{2})+x^{4}-2c^{{2}}x^{2}-a^ {4}+c^{4}=0$ Dette er en andengradsligning for . At løse det, får vi $y^{2}$ $\textstyle y^{2}=-(x^{2}+c^{2})\pm {\sqrt {a^{4}+4x^{{2}}c^{2}}}$ Tager vi roden og kasserer muligheden med en negativ anden term, får vi: $\textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {a^{4}+4x^{2}c^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}$ hvor den positive variant definerer den øvre halvdel af kurven, definerer den negative variant den nederste.

Konklusion

\tekststil (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}

Vi firkanter og åbner parenteserne:

\textstyle x^{4}+2x^{{2}}y^{2}+y^{4}-2c^{{2}}x^{2}+2c^{{2}}y^{ 2}=a^{4}-c^{4}

Vi tænker på

\textstyle y^{4}+2y^{{2}}(x^{2}+c^{2})+x^{4}-2c^{{2}}x^{2}-a^ {4}+c^{4}=0

Dette er en andengradsligning for . At løse det, får vi $y^{2}$

\textstyle y^{2}=-(x^{2}+c^{2})\pm {\sqrt {a^{4}+4x^{{2}}c^{2}}}

Tager vi roden og kasserer muligheden med en negativ anden term, får vi:

\textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {a^{4}+4x^{2}c^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}

hvor den positive variant definerer den øvre halvdel af kurven, definerer den negative variant den nederste.

I polært koordinatsystem:

\rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}\cos {2\varphi }=a^{4}-c^{4}

Konklusion
$\tekststil (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}$ Ved hjælp af formlerne for overgangen til det polære koordinatsystem får vi: $x=\rho \cos \varphi ,\,y=\rho \sin \varphi ,$ ${\Big (}\rho ^{2}\cos ^{{2}}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{{2}}\varphi {\Big )}^{2}-2c^ {2}{\Big (}\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi -\rho ^{2}\sin ^{2}\varphi {\Big )}=a^{4}-c ^{4}$ Vi tager de fælles faktorer ud og bruger den trigonometriske identitet : $\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$ $\textstyle \rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}(cos^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi )=a^{4}-c^{4}$ Lad os bruge en anden identitet : $\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =cos2\alpha$ $\textstyle \rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}\cos 2\varphi =a^{4}-c^{4}$

Konklusion

\tekststil (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}

Ved hjælp af formlerne for overgangen til det polære koordinatsystem får vi: $x=\rho \cos \varphi ,\,y=\rho \sin \varphi ,$

{\Big (}\rho ^{2}\cos ^{{2}}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{{2}}\varphi {\Big )}^{2}-2c^ {2}{\Big (}\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi -\rho ^{2}\sin ^{2}\varphi {\Big )}=a^{4}-c ^{4}

Vi tager de fælles faktorer ud og bruger den trigonometriske identitet : $\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$

\textstyle \rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}(cos^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi )=a^{4}-c^{4}

Lad os bruge en anden identitet : $\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =cos2\alpha$

\textstyle \rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}\cos 2\varphi =a^{4}-c^{4}

Funktioner af formularen

Kurveligningen indeholder to uafhængige parametre: - halvdelen af afstanden mellem brændpunkterne og - kvadratroden af produktet af afstandene fra brændpunkterne til ethvert punkt på kurven. Fra et formsynspunkt er det mest betydningsfulde forholdet mellem parametre og ikke deres værdier, som med et konstant forhold kun bestemmer størrelsen af figuren. Seks former for form kan skelnes afhængigt af størrelsen af forholdet : $c$ $-en$ $\tekststil {\frac {c}{a}}$

$\textstyle {\frac {c}{a}}=\infty$ , altså kl . $\tekststil a=0$ $\textstyle c\neq 0$

Kurven degenererer til to punkter, der falder sammen med brændpunkterne. Når formen af kurven har en tendens til to punkter.

c\to\infty

$\textstyle 1<{\frac {c}{a}}<\infty$ , det er $\tekststil 0<a<c$

Kurven deler sig i to separate ovaler , som hver strækker sig mod hinanden og er formet som et æg .

$\textstyle {\frac {c}{a}}=1$ , det er $\tekststil a=c$

Den højre side af ligningen i rektangulære koordinater (se ovenfor) forsvinder, og kurven bliver en Bernoulli-lemniscat .

$\textstyle {\frac {1}{{\sqrt {2}}}}<{\frac {c}{a}}<1$ , det er $\textstyle c<a<c{\sqrt {2}}$

Kurven har fire symmetriske bøjningspunkter (et i hver koordinatkvadrant). Krumningen ved skæringspunkterne med aksen har en tendens til nul, når den har tendens til, og til uendelig, når den har en tendens til .

OY

-en

c

-en

c{\sqrt {2}}

$\textstyle 0<{\frac {c}{a}}\leqslant {\frac {1}({\sqrt {2}}}}$ , det er $\textstyle a\geqslant c{\sqrt {2}}$

Kurven bliver en oval , det vil sige en konveks lukket kurve .

$\textstyle {\frac {c}{a}}=0$ , altså hvornår $\tekststil c=0$ $\tekststil a\neq 0$

Når forholdet stiger (dvs. tenderer mod nul), tenderer kurven til en cirkel med radius . Hvis , så når forholdet nul, i hvilket tilfælde kurven degenererer til en cirkel.

-en

\tekststil {\frac {c}{a}}

-en

c=0

\tekststil {\frac {c}{a}}

Egenskaber

Cassini-ovalen er en algebraisk kurve af fjerde orden.
Den er symmetrisk omkring midten af segmentet mellem brændpunkterne.
At har to absolutte maksimum og to minimumer: $0<a<c{\sqrt {2}}$

{\begin{cases}x=\pm {\frac {{\sqrt {4c^{4}-a^{4)))){2c}}\\y=\pm {\frac {a^{2 }}{2c}}\end{cases}}

Lokuset for punkter med absolutte maksima og minima er en cirkel med radius centreret i midten af segmentet mellem brændpunkterne.

c

Ved har kurven fire bøjningspunkter . Deres polære koordinater er: $c<a\leqslant c{\sqrt {2}}$

{\begin{cases}\rho ={\sqrt[ {4}]{{\frac {a^{4}-c^{4}}{3))))\\\cos 2\varphi =-{ \sqrt {{\frac {1}{3}}\left({\frac {a^{4}}{c^{4}}}-1\right)))\end{cases}}

Bøjningspunkternes sted er en lemniscate med toppunkter .

\venstre(0;\pm c\højre)

Krumningsradius for repræsentation i polære koordinater :

R={\frac {a^{2}\rho }{\rho ^{2}+c^{2}\cos {2\varphi ))}={\frac {2a^{2}\rho ^{ 3}}{c^{4}-a^{4}+3\rho ^{4}}}

Ansøgning

Med to-positionsradar er måldetektionsområdet en figur afgrænset af Cassini-ovalen, hvis vi tager positionen af strålingskilden som en af dens fokus, og modtagerens position som den anden. Tilsvarende i astronomi, når man observerer for eksempel asteroider , der skinner med Solens reflekterede lys, er betingelserne for deres detektion ved en given teleskopfølsomhed beskrevet af den ovale Cassini-formel. I dette tilfælde vil detekterbarhedsgrænsen være overfladen dannet af ovalens rotation omkring aksen, der forbinder Solen og observatøren.

Cassini ovaler på en torus (toroid)

Cassini-ovaler vises som flade sektioner af en torus , men kun når skæreplanet er parallelt med torusens akse, og dets afstand fra aksen er lig med radius af cirklens generatrix (se figur).

Generaliseringer

Cassini-ovalen er et specialtilfælde af lemniscaten .

Cassini-ovalen er et særligt tilfælde af Perseus-kurven .

Især ligningen for Perseus-kurven i det kartesiske koordinatsystem

(x^2 + y^2)^2 = ax^2 + by^2 + c

når går ind i ligningen for Cassini-ovalen ${\displaystyle a=-b=2c^{2},c=a^{4}-c^{4))$

\tekststil (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}

Se også

Litteratur

Mathematical Encyclopedia (i 5 bind), Moskva, "Soviet Encyclopedia", 1982, v. 2 D - Koo, s. 759.
Markushevich A. I. Remarkable curves , Populære forelæsninger i matematik Arkiveret 26. august 2017 på Wayback Machine , nummer 4, Gostekhizdat 1952 , 32 s.

Noter

↑ E. Sklyarevsky . Cassini rumovaler Arkiveret 5. december 2008 på Wayback Machine .

Kurver

Definitioner

Forvandlet

Ikke-plan

Flad
algebraisk

Keglesnit

3. orden ( kubisk )

Elliptisk	Elliptisk kurve Jacobi elliptiske funktioner Elliptisk integral Elliptiske funktioner
Andet	Verziera Agnesi Kartesisk ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Semikubisk parabel Trident Cissoid af Diocles

4. orden

Lemniscates

Tilnærmelse

Spline
- B-spline
- Kubik
- monospline
- Udglatning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cycloidal

Andet

Krogede Gård

Flad
transcendental

Spiraler	Archimedov Gård Galilæa hyperbolsk "Tryllestav" Gylden clothoid logaritmisk sinusformet
Cycloidal	trochoid Cycloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Rose" quadrifolium Hurtig nedstigning (brachistochrone, cycloid bue)
Andet	Quadratrix cochleoid Jage traktor trochoid kæde linje omvendt buet konstant bredde sinusformet Ribokura Super formel Superellipse Reuleaux trekant polygon Lissajous figurer

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper dragekurve Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologisk	Sierpinski serviet Sierpinski tæppe Svamp Menger cirkulær fraktal Apollonius tæppe