Gylden spiral

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 4. april 2022; verifikation kræver 1 redigering .

Den gyldne spiral eller Fibonacci-spiral er en logaritmisk spiral , hvis vækstfaktor er φ 4 , hvor φ  er det gyldne snit . Vækstkoefficienten for en logaritmisk spiral viser, hvor mange gange spiralens polære radius har ændret sig, når den drejes gennem en vinkel på 360° [1] . Denne spiral har fået sit navn på grund af dens forbindelse med en sekvens af indlejrede rektangler med et aspektforhold lig med φ , som almindeligvis kaldes gyldne . En gylden spiral kan både indskrives i et system af sådanne rektangler og beskrives omkring den. Den gyldne spiral vandt popularitet på grund af, at spiralen, kendt fra begyndelsen af ​​1500-tallet og brugt i kunsten [2] , bygget efter Dürer-metoden [3] [4] , viste sig at være en god tilnærmelse til den gyldne spiral (se figur).

Formel

Ligningen for den gyldne spiral i det polære koordinatsystem er den samme som for andre logaritmiske spiraler , men med en særlig værdi for vækstfaktoren - φ 4 :

,

hvor a  er en vilkårlig positiv reel konstant og a  er det gyldne snit .

Hovedegenskaben ved en logaritmisk spiral: vinklen mellem radiusvektoren, der udgår fra polen og tangenten til spiralen - μ - er konstant, og for den gyldne spiral bestemmes af formlen:

, hvor .

Hvor .

Approksimationer af den gyldne spiral

Der er flere lignende spiraler, der er tætte, men ikke helt de samme som den gyldne spiral [5] , som de ofte forveksles med.

Som allerede nævnt ovenfor, når en gylden spiral er indskrevet i en sekvens af indlejrede gyldne rektangler, tilnærmes den af ​​en spiral bygget efter Dürer-metoden. Det gyldne rektangel kan opdeles i et kvadrat og et lignende rektangel, som igen kan opdeles på samme måde, og denne proces kan fortsættes et vilkårligt antal gange. Hvis de fjerdedele af cirkler, der er forbundet med hinanden, indtastes i disse firkanter, opnås en spiral, vist i den første figur.

En anden tilnærmelse er Fibonacci-spiralen , som er bygget som spiralen ovenfor, bortset fra at du starter med et rektangel på to kvadrater og derefter tilføjer et kvadrat af samme længde til den større side af rektanglet. Efterhånden som forholdet mellem tilstødende Fibonacci-tal nærmer sig det gyldne snit, nærmer spiralen sig den gyldne spiral mere og mere, efterhånden som firkanter tilføjes (se anden figur).

Spiraler i naturen

I naturen er der tilnærmelser til logaritmiske spiraler med en vækstfaktor lig med φ k . Så skaller af bløddyr Nautilus pompilius og fossiliserede ammonitter er godt beskrevet ved k = 2, og skaller af nogle snegle ved k = 1. [ 6 ] spiralgalakser , på trods af de eksisterende udsagn [8] , hvis de er beskrevet med en logaritmisk, så ikke af en gylden spiral. I dette tilfælde er beskrivelsen af ​​hende en manifestation af tilfældig nærhed. En nylig analyse af spiraler fundet i musehornhindeepitel har vist, at både gyldne og andre logaritmiske spiraler forekommer der. [9]

Se også

Noter

  1. ↑ Vygodsky M. Ya. Håndbog i højere matematik. M.: Nauka, 1977, s. 884.
  2. ↑ Prokhorov A. Golden Spiral, Kvant, 1984, nr. 9.
  3. ↑ Arakelyan. G. Matematik og det gyldne snits historie, Moskva: Logos, 2014, s. halvtreds.
  4. ↑ Albrecht Durer (1525): Unterweysung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheyt, in Linien Ebnen und gantzen Corporen. Verlag Dr. Alfons Uhl (Genoptryk 2000), Nordlingen, ISBN 3 921503 65 5 (Engl. Transl.: The Painter's Manual, Abaris Books, New York 1977).
  5. ↑ Madden, 1999 , s. 14-16.
  6. ↑ A.N. Kovalev, Endnu en gang om gyldne spiraler // Academy of Trinitarianism, M., El No. 77-6567, publ . pdf Arkiveret 13. oktober 2017 på Wayback Machine
  7. ↑ Petukhov S. V. Matrixgenetik, genetiske kodealgebraer, støjimmunitet. - Moskva: Regular and Chaotic Dynamics, 2008. - S. 107.
  8. ↑ Gazale, 1999 , s. 3.
  9. ↑ Rhee, 2015 , s. 22-38.

Litteratur

 gyldne snit
"Gyldne" figurer
Andre afsnit
Andet