Sølv sektion

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 13. august 2022; verifikation kræver 1 redigering .

Irrationelle tal ζ (3) - ρ - √ 2 - √ 3 - √ 5 - ln 2 - φ,Φ - ψ - α,δ - e - e π og π
Notation	Skøn over antallet δs
Binær	10.0110101000001001111…
Decimal	2.4142135623730950488…
Hexadecimal	2.6A09E667F3BCC908B2F…
Fortsat brøkdel	$2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{\ddots )))))))))))$

Sølvsnittet er en matematisk konstant , der udtrykker et bestemt geometrisk forhold, adskilt æstetisk . I modsætning til det gyldne snit , som det hedder, har sølvforholdet ikke en enkelt definition. Den mest konsekvente er følgende:

To værdier er i "sølvsektionen", hvis forholdet mellem summen af den mindre og den dobbelte større værdi til den større er det samme som forholdet mellem den større værdi og den mindre.

Sølvforholdet er et irrationelt (men algebraisk ) tal lig med eller cirka 2,4142135623. Til brug i procentdeling bruges et forhold tæt på dette tal - 71/29 (de summerer til 100). $1+{\sqrt {2}}$

I det mindste for nylig betragtede nogle kunstnere og arkitekter denne holdning som "smuk". Måske er de baseret på teorien om dynamiske rektangler Jay Hembridge . Matematikere har forsket i sølvforholdet siden oldgræsk videnskabs dage (selvom et sådant navn måske først er dukket op for nylig), da det er forbundet med kvadratroden af 2 , dets konvergenter , kvadratiske trekanttal , Pell-tal , ottekanten , etc.

Lad os yderligere betegne sølvsektionen igennem (der er ingen almindeligt accepteret notation). Relationen beskrevet i definitionen ovenfor er skrevet algebraisk som følger: $\delta _{S}$

{\frac {b+2a}{a}}={\frac {a}{b}}=\delta _{S}\,.

Denne ligning har en enkelt positiv rod.

Bevis:

\frac{b+2a}{a}=\frac{a}{b}.

b^{2}+2ab=a^{2}.

b^2 + 2ab + a^2 = 2a^2.

(a+b)^{2}=2a^{2}.

a+b=\pm a{\sqrt {2)).

b=(\pm {\sqrt {2}}-1)\cdot a.

{\frac {a}{b}}={\frac {1}{\pm {\sqrt {2}}-1}}={\frac {\pm {\sqrt {2}}+1 }{(\pm {\sqrt {2}}-1)(\pm {\sqrt {2}}+1)))=\pm {\sqrt {2}}+1.

Kun roden er positiv . ${\sqrt {2}}+1=\delta _{S}$

\delta _{S}\approx 2{,}414\,213\,562\,373

(sekvens A014176 i OEIS )

Figuren til højre giver et geometrisk bevis på, at roden af to er irrationel, mens forholdet . ${\frac {AB}{BE}}={\frac {AC}{FC}}=\delta _{S}$

Formler

2,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 7846210703 8850387534 3276415727 3501384623 0912297024 9248360558 5073721264 4121497099 9358314132 2266592750 5592755799 9505011527 8206057147 0109559971 6059702745 3459686201 4728517418 6408891986 0955232923 0484308714 3214508397 6260362799 5251407989 6872533965 4633180882 9640620615 2583523950 5474575028 7759961729 8355752203 3753185701 1354374603 4084988471 6038689997 0699004815 0305440277 9031645424 7823068492 9369186215 8057846311 1596668713 0130156185 6898723723 5288509264 8612494977 1542183342 0428568606 0146824720 7714358548 7415565706 9677653720 2264854470 1585880162 0758474922 6572260020 8558446652 1458398893 9443709265 9180031138 8246468157 0826301005 9485870400 3186480342 1948972782 9064104507 2636881313 7398552561 1732204024 5091227700 2269411275 7362728049 5738108967 5040183698 6836845072 5799364729 0607629969 4138047565 4823728997 1803268024 7442062926 9124859052 1810044598 4215059112 02494413 41 7285314781 0580360337 1077309182 8693147101 7111168391 6581726889 4197587165 8215212828 94724

De første 1000 cifre af δ s beregnet af computer i 2008 (1 mere end √ 2 ) [1] .

$\delta _{S}=1+{\sqrt {2}}\ca. 2{,}414\,213\,562\,373\,095\,048\,801\,688\,724\,210$ . Dette følger af $(\delta _{S}-1)^{2}=2\,.$

$\delta _{S}=[2;2,2,2,\dots ]$ - i form af en fortsat fraktion :

\delta _{S}=2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddotter ))))))\,.

konvergenterne af denne fortsatte fraktion (2/1, 5/2, 12/5, 29/12, 70/29, ...) er forhold mellem successive Pell-tal . Disse fraktioner giver gode rationelle tilnærmelser af sølvforholdet, svarende til hvordan det gyldne snit tilnærmes ved forhold mellem successive Fibonacci-tal .

I form af uendelige indlejrede radikaler:

$\delta_S = 2\sqrt{\frac{1}{4}+\sqrt{\frac{1}{4}+\sqrt{\frac{1}{4}+...))}$
$\delta _{S}={\sqrt {1+2{\sqrt {1+2{\sqrt {1+...)))))))))$

Andre definitioner

Der er andre definitioner af sølvsektionen .

For eksempel, fra definitionen af det gyldne snit gennem en fortsat brøk, kaldes alle fortsatte brøker, hvori nævnerne er konstante, sølv:

[n;n,n,n,\prikker ]

Litteratur

Arakelyan G. B. Tal og mængder i moderne fysik. Jerevan: Red. AN, 1989, 300 s. — S. 90-95, 252.

Noter

↑ Kvadratroden af to, til 5 millioner cifre

Links

Forklaring af Sølvmidler
Weisstein, Eric W. Silver Ratio (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
Pell numre
plastik nummer
gyldne snit
Vera de Spinadel (1999) The Family of Metallic Means , Vismat 1(3) fra Mathematical Institute of Serbian Academy of Sciences and Arts

Tal med egennavne

Matematiske konstanter

Algebraisk

Transcendental ,
sandsynligvis transcendental

Tusind grader

Gamle russiske tal

Andre tipotenser

12 magter

Andet hele

Andre numre

imaginær enhed

Irrationelle tal
Apéry konstant ( ζ(3) ) Erdős-Borwein konstant ( E ) Feigenbaum konstanter Sofomorisk drøm Primtalskonstant (ρ) Plastnummer (ρ) Logaritme af to (ln 2) 12. rod af 2 ( 12 √ 2 ) Kvadratroden af 2 ( √ 2 ) Kvadratroden af 3 ( √ 3 ) Kvadratroden af 5 ( √5 ) Gyldne forhold (φ) Super gyldne snit (ψ) Sølvsektion ( δS ) e π Gelfond konstant ( e π ) Gelfond-Schneider konstant ( 2 √ 2 ) Invers Fibonacci konstant (ψ)
transcendental Trigonometrisk

gyldne snit
"Gyldne" figurer	gyldent rektangel Gyldne Trekant gylden rombe gylden ellipse Kepler trekant gyldne hjørne gylden spiral gylden gnomon
Andre afsnit	Super gyldne snit sølv sektion bronze sektion
Andet	Fibonacci-tal Tredjedelsregel gyldne snit metode Det gyldne snit i pentagrammet