Konstant Catalana

Den catalanske konstant er et tal, der findes i forskellige anvendelser af matematik - især i kombinatorik . Oftest angivet med bogstavet G , sjældnere - K eller C. Det kan defineres som summen af en vekslende række af uendelige tegn :

G=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1} {1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2 }}}+\dots

Dens numeriske værdi er cirka [1] :

G = 0,915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 … (sekvens A006752 i OEIS )

Det vides ikke, om G er et rationelt eller irrationelt tal.

Catalana-konstanten blev opkaldt efter den belgiske matematiker Eugène Charles Catalan ( fransk: Eugène Charles Catalan ).

Relation til andre funktioner

Den catalanske konstant er et specialtilfælde af Dirichlet beta-funktionen :

G=\beta (2).

Det svarer også til den særlige værdi af Clausen-funktionen , som er relateret til den imaginære del af dilogaritmen

G=\operatørnavn {Cl} _{2}(\pi /2)=\operatørnavn {Im} \left(\operatørnavn {Li} _{2}(e^{i\pi /2})\ højre)=\operatørnavn {Im} {\big (}\operatørnavn {Li} _{2}(i){\big )}.

Derudover er det forbundet med værdierne af trigammafunktionen (et specialtilfælde af polygammafunktionen ) af brøkargumenter

\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G,

\psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G,

så

G={\tfrac {1}{16}}\left[\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)-\psi _{1}\left( {\tfrac {3}{4}}\right)\right].

Simon Pluff fandt et uendeligt antal identiteter mellem trigammafunktionenogden catalanske konstant G . $\psi_{1}$ $\pi ^{2}$

Den catalanske konstant kan også udtrykkes i form af partielle værdier af Barnes G-funktionen og gammafunktionen :

G=4\pi \ln \left({\frac {G({\tfrac {3}{8)))G({\tfrac {7}{8)))}{G({\tfrac {1}{8)))G({\tfrac {5}{8))))}\right)+4\pi \ln \left({\frac {\Gamma ({\tfrac {3}{8) ))}{\Gamma ({\tfrac {1}{8))))}\right)+{\frac {\pi }{2))\ln \left({\frac {1+{\sqrt { 2}}}{2(2-{\sqrt {2}})))}\right).

Integrale repræsentationer

Nedenfor er nogle integralrepræsentationer af den catalanske konstant G i form af integraler af elementære funktioner :

G=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2))}\,dt,

G=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\ ,D y,

G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {t}{\sin t}}\,dt,

G=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan x}{x}}\,dx,

G={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{\cosh x}}\,dx.

Det kan også repræsenteres gennem integralet af det komplette elliptiske integral af den første slags K( x ):

G={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (x)\,dx.

Hurtig konvergent serie

Følgende formler indeholder hurtigt konvergerende serier og er nyttige til numeriske beregninger:

G={\frac {\pi }{8}}\ln({\sqrt {3}}+2)+{\frac {3}{8}}\sum _{n=0}^{ \infty }{\frac {(n!)^{2}}{(2n)!(2n+1)^{2}}}

$G=$	$3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n))}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{ 2))}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2))}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2} }}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}} +{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)-{}$
	${}-2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}( 8n+2)^{2))}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2))}-{\frac {1}{2^{9}(8n+ 5 )^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7) ^ {2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\right).$

Den teoretiske begrundelse for brugen af denne type serier blev givet af Srīnivāsa Rāmānujan Iyengar for den første formel [2] og af David J. Broadhurst for den anden formel [3] . Algoritmer til hurtig beregning af den catalanske konstant blev bygget af E. A. Karatsuba [4] [5] .

Fortsat brøker

Den fortsatte fraktion af den catalanske konstant (sekvens A014538 i OEIS ) er som følger:

G=[0;1,10,1,8,1,88,4,1,1,7,22,1,2,3,26,1,11,1,10,1,9, 3,1,1,1,1,1,1,\dots ]=

=0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+\ldots )))))) }}\;

Følgende generaliserede fortsatte fraktioner for den catalanske konstant er kendt:

2G=2-{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{3+{\cfrac {4^{2 }}{1+{\cfrac {4^{2}}{3+{\cfrac {6^{2}}{1+{\cfrac {6^{2}}{3+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {4n^{2}}{1+{\cfrac {4n^{2}}{3+\dots )))))))))))))))))) ))))} }}}

2G=1+{\cfrac {1}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {1^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {1\cdot 2}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {2^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {2\cdot 3}{ {\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {3^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^ {2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {n\cdot (n+1)}{{\cfrac {1}{2}}+\dots }}}}}}} }}}}}}}}}}}

[6]

Beregning af decimaltal

Antallet af kendte signifikante cifre i den catalanske konstant G er steget betydeligt i de seneste årtier, takket være både øget computerkraft og forbedrede algoritmer [7] .

Antal kendte signifikante cifre i den catalanske konstant G

datoen	Antal signifikante cifre	Beregningsforfattere
1865	fjorten	Eugene Charles catalansk
1877	tyve	James Whitbread Lee Glaisher
1913	32	James Whitbread Lee Glaisher
1990	20.000	Greg J Fee
1996	50.000	Greg J Fee
1996, 14. august	100.000	Greg J. Fee og Simon Plouff
1996, 29. september	300.000	Thomas Papanikolaou
1996	1 500 000	Thomas Papanikolaou
1997	3 379 957	Patrick Demichel
1998, 4. januar	12 500 000	Xavier Gourdon
2001	100 000 500	Xavier Gourdon og Pascal Sebah
2002	201 000 000	Xavier Gourdon og Pascal Sebah
oktober 2006	5.000.000.000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo [8]
august 2008	10.000.000.000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo [9]
31. januar 2009	15 510 000 000	Alexander J. Yee & Raymond Chan [10]
16. april 2009	31 026 000 000	Alexander J. Yee & Raymond Chan [10]

Se også

Noter

↑ Catalansk konstant til 1.500.000 steder (HTML). gutenberg.org. Hentet 5. februar 2011. Arkiveret fra originalen 24. september 2009. (ubestemt)
↑ B. C. Berndt, Ramanujans notesbog, del I, Springer Verlag (1985).
↑ DJ Broadhurst, " Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5) Archived 13 July 2019 at the Wayback Machine ", (1998) arXiv math.CA/9803067.
↑ EA Karatsuba. Hurtig beregning af transcendentale funktioner // Problemer med informationstransmission. - 1991. - T. 27 , nr. 4 . - S. 87-110 .
↑ E. A. Karatsuba, Hurtig beregning af nogle specielle integraler af matematisk fysik. Scientific Computing, Validated Numerics, Interval Methods, W. Krämer, J. W. von Gudenberg, red.; pp. 29-41 (2001).
↑ Steven R. Finch Matematiske konstanter 1.6.6
↑ X. Gourdon, P. Sebah, Constants and Records of Computation Arkiveret 15. januar 2011 på Wayback Machine
↑ Shigeru Kondos hjemmeside Arkiveret 11. februar 2008.
↑ Konstanter og beregninger . Hentet 6. februar 2011. Arkiveret fra originalen 15. januar 2011. (ubestemt)
↑ 12 Store beregninger . Hentet 6. februar 2011. Arkiveret fra originalen 9. december 2009. (ubestemt)