De Bruijn-Newman konstant

De Bruijn-Newman konstanten er en matematisk konstant , betegnet med Λ. Opkaldt efter Nicholas Govert de Bruyne og Charles M. Newman.

Beskrivelse

Overvej Riemann xi-funktionen:

\Xi (iz)={\frac {1}{2}}\left(z^{2}-{\frac {1}{4}}\right)\pi ^{-{\frac { z}{2}}-{\frac {1}{4}}}\Gamma \left({\frac {1}{2}}z+{\frac {1}{4}}\right)\zeta \ venstre(z+{\frac {1}{2}}\right)

Udtrykket kan repræsenteres som en Fourier-transformation : ${\frac {\Xi (z/2)}{8))$

\Phi (t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(2\pi ^{2}n^{4}e^{9t}-3\pi n^{2 }e^{5t}\right)e^{-\pi n^{2}e^{4t}}

for . Så betegner vi Fourier-transformationen som : $t\in \mathbb {R} \geq 0$ $\Phi (t)e^{\lambda t^{2))$ $H(\lambda ,z)$

{\mathcal {F}}_{t}\left[\Phi (t)e^{\lambda t^{2}}\right]=H(\lambda ,z)

Konstanten er defineret som nulpunkterne i funktionen H(λ, z). Den har reelle nuller, hvis og kun hvis λ ≥ Λ. Konstanten er tæt forbundet med Riemann-hypotesen vedrørende nullerne i Riemann-zetafunktionen .

Betydning

De Bruijn viste [1] i 1950, at H kun har reelle nuller for λ > 1/2, og desuden, at hvis H kun har reelle nuller for nogle λ, så har H også kun reelle nuller for større værdier af λ . De Bruijns øvre grænse Λ ≤ 1/2 blev ikke bevist før 2008, hvor Haseo Ki, Young-One Kim og Jungseob Lee beviste [2] at Λ < 1/2, hvilket gjorde beviset strengt [3] .

I december 2018 forbedrede Polymath- projektet den øvre grænse for konstanten Λ til 0,22 [4] [5] .

Fra april 2020 er den bedste øvre grænse for konstanten Λ ≤ 0,2 [6] .

Seriøse beregninger for at finde den nedre grænse er blevet foretaget siden 1988 og er stadig i gang (fra 2018):

År	Nedre grænse Λ
1988	−50
1991	−5
1990	-0,385
1994	−4,379×10 −6
1993	−5,895×10 −9 [7]
2000	−2,7×10 −9 [8]
2011	−1,1×10 −11 [9]
2018	≥ 0 [10] [11]

Da er en Fourier-transformation , så har H en Wiener-Hopf-repræsentation: $H(\lambda ,x)$ $F(e^{\lambda x}\Phi )$

\xi (1/2+iz)=A{\sqrt {\pi }}(\lambda )^{-1}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{{ \frac {-1}{4\lambda }}(xz)^{2}}H(\lambda,x)dx

som kun er gyldig for ikke-negative værdier af λ. I grænsen har λ tendens til 0, så hvis λ er negativ, er H defineret som følger: $H(0,x)=\xi (1/2+ix)$

H(\lambda ,z)=B{\sqrt {\pi }}(\lambda )^{-1}\int \limits _{-\infty }^{\infty}e^{{\frac {-1}{4\lambda }}(xz)^{2}}\xi (1/2+ix)dx

Her er A og B reelle konstanter.

I januar 2018 publicerede Brad Rogers og Terence Tao en artikel på arXiv.org , hvori de hævder, at de Bruijn-Newman-konstanten er ikke-negativ [10] [11] [5] .

Noter

↑ Nicolaas Govert de Bruijn. Rødderne til triginometriske integraler (engelsk) // Duke Math. J.. - 1950. - Vol. 17 , nr. 3 . — S. 197–226 . Arkiveret fra originalen den 10. september 2018.
↑ Haseo Ki, Young-One Kim, Jungseob Lee. Om de Bruijn-Newman konstanten // Fremskridt i matematik. - 2009. - Bd. 222 , nr. 1 . - S. 281-306 . — ISSN 0001-8708 . Arkiveret fra originalen den 9. august 2017.
↑ Nulfrie områder . Hentet 9. august 2018. Arkiveret fra originalen 12. juni 2018. (ubestemt)
↑ Går du under Λ ≤ 0,22? . Hentet 9. august 2018. Arkiveret fra originalen 13. august 2018. (ubestemt)
↑ 1 2 Charles M. Newman, Wei Wu. Konstanter af de Bruijn-Newman-typen i analytisk talteori og statistisk fysik . arXiv:1901.06596 [math-ph] (19. januar 2019). Hentet 15. marts 2019. Arkiveret fra originalen 22. januar 2020. (ubestemt)
↑ Dave Platt, Tim Trudgian. Riemann-hypotesen er sand op til 3⋅10^12 . arXiv:2004.09765 [math.NT] (21. april 2020). Hentet 2. maj 2021. Arkiveret fra originalen 17. april 2021. (ubestemt)
↑ G. Csordas, A.M. Odlyzko, W. Smith, R.S. Varga. Et nyt Lehmer-par af nuller og en ny nedre grænse for De Bruijn-Newman konstanten Lambda // Electronic Transactions on Numerical Analysis. - 1993. - Bd. 1 . — S. 104–111 . Arkiveret fra originalen den 19. august 2021.
↑ Andrew Odlyzko. En forbedret grænse for de Bruijn-Newman konstanten // Numeriske algoritmer. - 2000. - Vol. 25 . - S. 293-303 .
↑ G. Csordas, A.M. Odlyzko, W. Smith, R.S. Varga. En forbedret nedre grænse for de Bruijn-Newman konstanten // Mathematics of Computation. - 2011. - Bd. 80 , nr. 276 . — S. 2281–2287 .
↑ 1 2 Brad Rodgers, Terence Tao. De Bruijn-Newman konstanten er ikke-negativ. – 2018.
↑ 1 2 De Bruijn-Newman-konstanten er ikke-negativ (19. januar 2018). Hentet 9. august 2018. Arkiveret fra originalen 11. juli 2018. (ubestemt)

Tal med egennavne

Matematiske konstanter

Algebraisk

Transcendental ,
sandsynligvis transcendental

Tusind grader

Gamle russiske tal

Andre timagter

tolv magter

Andet hele

Andre numre

imaginær enhed