Glacier-Kinkelin konstant

Glaisher -Kinkelin-konstanten i matematik er et reelt tal , betegnet A , som er forbundet med K-funktionen og Barnes G-funktionen , og kan også udtrykkes i form af værdien af den afledte af Riemann zeta-funktionen , $\zeta '(-1)$

A=\exp \left({\tfrac {1}{12}}-\zeta '(-1)\right)

Denne konstant optræder i forskellige summer og integraler, især dem, der involverer gammafunktionen eller Riemann zetafunktionen .

Den numeriske værdi af Glaisher-Kinkelin-konstanten er udtrykt som en uendelig decimalbrøk [1] [2] :

A = 1,282427129100622636875342568869791727767688927 … (sekvens A074962 i OEIS )

Det blev opkaldt efter den engelske matematiker James Whitbread Lee Glaisher ( 1848-1928) og den schweiziske matematiker Hermann Kinkelin ( 1832-1913 ), som overvejede det i deres værker [3] [4] .

Repræsentationer via K-funktionen og Barnes G-funktionen

For positive heltalsværdier af argumentet kan K-funktionen repræsenteres som

{\displaystyle K(n)=\prod _{k=1}^{n-1}k^{k))

Det er relateret til Barnes G-funktionen , som for positive heltalsværdier af argumentet kan repræsenteres som

G(n)=\prod _{k=1}^{n-2}k!={\frac {\left[\Gamma (n)\right]^{n-1}}{K( n)}}

hvor er gammafunktionen ,. _ $\Gamma (n)$ $\Gamma (n)=(n-1)!$

Glaisher-Kinkelin konstanten A kan defineres som grænsen [5]

A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {K(n+1)}{n^{n^{2}/2+n/2+1/12}e^{- n^{2}/4}}}

eller hhv.

A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {(2\pi )^{n/2}n^{n^{2}/2-1/12}e^{-3n ^{2}/4+1/12}}{G(n+1)}}

Det er også kendt, at [6]

G\left({\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1/24}\pi ^{-1/4}e^{1/8}A^{-3/ 2}

Relation til Riemann zeta-funktionen

Glaischer-Kinkelin-konstanten A er relateret til den afledte af Riemann zeta-funktionen for nogle heltalsværdier af argumentet [5] [7] , især,

\zeta ^{\prime }(-1)={\tfrac {1}{12}}-\ln A

\zeta ^{\prime }(2)=-\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\ln k}{k^{2))}={\frac {\ pi ^{2}}{6}}\venstre[\gamma +\ln(2\pi )-12\ln A\right]

hvor er Euler-Mascheroni konstanten . $\gamma$

Nogle integraler og summer

Glaischer-Kinkelin-konstanten optræder i nogle bestemte integraler og uendelige summer [5] ,

\int _{0}^{1/2}\ln \Gamma (x)\;{\rm {d}}x={\tfrac {3}{2}}\ln {A}+{ \tfrac {5}{24}}\ln {2}+{\tfrac {1}{4}}\ln {\pi }

\int _{0}^{\infty }{\frac {x\ln x}{e^{2\pi x}-1}}\;{\rm {d}}x={\tfrac {1}{2}}\zeta ^{\prime }(-1)={\tfrac {1}{24}}-{\tfrac {1}{2}}\ln {A}

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\ln(2k+1)}{(2k+1)^{2))}=\pi ^{2}\left( {\tfrac {3}{2}}\ln {A}-{\tfrac {1}{6}}\ln {2}-{\tfrac {1}{8}}\ln {\pi }-{ \tfrac {1}{8}}\gamma \right)

Denne konstant kan også repræsenteres som en sum [8] [9] , som følger af repræsentationen for Riemann zeta-funktionen opnået af Helmut Hasse ,

\ln {A}={\tfrac {1}{8}}-{\tfrac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{ n+1}}\sum _{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}\left(k+1\right)^{ 2}\ln(k+1)

hvor er den binomiale koefficient . ${\displaystyle {\textstyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(nk)!))))$

Noter

↑ Fredrik Johansson et al. 20.000 cifre af Glaisher-Kinkelin-konstanten A = exp(1/12 - zeta'(-1)) (engelsk) (HTML) (downlink) . mpmath.googlecode.com. Hentet 11. september 2012. Arkiveret fra originalen 31. oktober 2012.
↑ A074962 - Decimaludvidelse af Glaisher-Kinkelin konstant A (engelsk) (HTML). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS), oeis.org. Hentet 11. september 2012. Arkiveret fra originalen 31. oktober 2012.
↑ Hermann Kinkelin , Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung Arkiveret 16. januar 2016 på Wayback Machine , Journal für die reine und angewandte Mathematik 57, 1860, pp. 122–138
↑ JWL Glaisher , Om produktet 1¹.2².3³...nⁿ , The Messenger of Mathematics 7, 1878, s. 43-47
↑ 1 2 3 Eric W. Weisstein. Glaisher–Kinkelin Constant (engelsk) på Wolfram MathWorld -webstedet .
↑ J. Choi og HM Srivastava. Visse klasser af serier, der involverer Zeta-funktionen // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 1999. - Bd. 231 . - S. 91-117. - doi : 10.1006/jmaa.1998.6216 .
↑ Weisstein, Eric W. Riemann Zeta-funktion på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ Jesus Guillera og Jonathan Sondow (2005), Dobbeltintegraler og uendelige produkter for nogle klassiske konstanter via analytiske fortsættelser af Lerchs transcendente, arΧiv : math.NT/0506319 .
↑ Jesus Guillera og Jonathan Sondow. Dobbeltintegraler og uendelige produkter for nogle klassiske konstanter via analytiske fortsættelser af Lerchs transcendente // Ramanujan Journal [ . - 2008. - Bd. 16 . - S. 247-270. - doi : 10.1007/s11139-007-9102-0 .

Glacier-Kinkelin konstant

Repræsentationer via K-funktionen og Barnes G-funktionen

Relation til Riemann zeta-funktionen

Nogle integraler og summer

Noter

Links