Wallis formel

Wallis-formlen (også Wallis-produktet ) er en formel, der udtrykker et tal $\pi$ i form af et uendeligt produkt af rationelle brøker:

{\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2 }-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right )\\[6pt]&={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{ 7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdot \;\cdots \\ \end{aligned}}

Historie

I 1655 foreslog John Wallis en formel til bestemmelse af et tal : $\pi$

{\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1 )}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}} \cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot {\frac {10}{9}}\cdot {\frac {10}{11}}\cdot \ldots

J. Wallis kom til hende og beregnede arealet af en cirkel. Historisk set var Wallis' formel betydningsfuld som et af de første eksempler på uendelige produkter.

Bevis

Bruger det uendelige Euler-produkt til sinusfunktionen: [1]

{\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2} \pi ^{2}}}\right).

Lad da $x=\pi /2$

{\frac {2}{\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{4n^{2}}}\right) ,

{\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n ^{2}-1}}\right)=\\&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1 )}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}} \cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot \ldots \end{aligned}}

Ansøgning

Dette produkt konvergerer ekstremt langsomt, så Wallis-formlen er af ringe nytte til den praktiske beregning af antallet. Det er dog nyttigt i forskellige teoretiske undersøgelser, for eksempel til at udlede Stirling-formlen . Men hvis vi en smule retter slutningen i denne formel: $\pi$

\pi \approx \left[\prod _{n=1}^{m-1}{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)))\ højre]\cdot \left[{\frac {2m}{2m-1}}\cdot \left({\frac {2m}{2m+1}}\cdot {\frac {1}{4}}+1 \right)+{\frac {3}{4}}\right]={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3 }}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot \left[{\frac {8}{ 7}}\cdot \left({\frac {8}{9}}\cdot {\frac {1}{4}}+1\right)+{\frac {3}{4}}\right],

så vil konvergenshastigheden stige med omkring fem størrelsesordener.

Noter

↑ Wallis Formel . mathworld.wolfram.com . Hentet 13. marts 2012. Arkiveret fra originalen 10. oktober 2020. (ubestemt)

Wallis formel

Historie

Bevis

Ansøgning

Noter

Links